Đề thi HSG Đồng Nai năm 2011-2012 môn Toán

ĐỀ THI HSG ĐỒNG NAI NĂM 2011-2012 
Câu 1. (4,5 điểm) Cho phương trình 3 2 33 3 2 0x ux vx u uv+ + - + = . Chứng minh rằng phương trình đã cho có ba nghiệm dương khi và chỉ khi 
2 2
0
2 4 3
u
u v u
ì <ï
í
< <ïî
Câu 2. (3 điểm) Giải phương trình 2 cos2 2
sin 3 sin5
x
x x
-
=
-
Câu 3. (4 điểm) Cho , , 0a b c ³ thỏa 1a b c+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
3 3 3( ) ( ) ( )P a b b c c a= - + - + - . 
Câu 4. Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D . Biết mặt phẳng ( )a cắt các cạnh ', ', ', 'AA BB CC DD lần lượt tại các điểm 1 1 1 1, , ,A B C D ; với các điểm , , ,A B C D không thuộc ( )a . Gọi 1,V V lần lượt là thể tích của khối chóp 1 1 1 1 1. , .A ABCD A A B C D . Chứng minh rằng 1V V= 
Câu 5. Cho m là số nguyên dương thảo 2nm p= (với n là số nguyên dương và p là số nguyên tố). Hãy tính tổng các ước của m theo n và p .