Đề thi HSG lớp 12 - Vòng 1 TP. Hà Nội môn Toán từ năm 1998 đến 2007

sở giáo dục và đào tạo hà nội
 .......................... 
 kỳ thi học sinh giỏi thành phố (Vòng I)
 Năm học 1998-1999
	...................
Ngày thi: 9 - 12 - 1998
Môn thi: Toán lớp 12
Thời gian làm bài: 180 phút
______________________
Bài I ( 5 điểm ):
 Cho họ đường cong (Cm): y=x3-3x2+mx+4-m ( m là tham số )
Đường thẳng (d): y=3-x cắt một đường cong bất kỳ (C) của họ (Cm) tại ba điểm phân biệt A,I,B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại B của (C) lần lượt cắt đường cong tại điểm thứ hai là M và N. Tìm tham số m để tứ giác AMBN là hình thoi.
Bài II ( 5 điểm ): Giải hệ phương trình
Bài III (5 điểm ): Chứng minh bất đẳng thức
 Với "a làm vế trái có nghĩa
 Có thể thay số 2 ở vế phải bằng một số vô tỷ để có một bất đẳng thức đúng và mạnh hơn không?
Bài IV (5 điểm ):
 Cho hai đường tròn thay đổi (C) và (C’) luôn tiếp xúc với một đường thẳng lần lượt tại hai điểm A và A’cố định. Tìm quĩ tích giao điểm M của (C) và (C’) biết rằng chúng luôn cắt nhau dưới một góc a cho trước (a là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đường tròn tại M ). 
 ___________________________________________
Họ và tên thí sinh: ........................................................
Phòng thi: ............. Số Báo danh: ................................
sở giáo dục và đào tạo hà nội
 .......................... 
 kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12 (Vòng I)
 Năm học 1999-2000
	...................
Ngày thi: 11 - 12 - 1999
Môn thi: Toán 
Thời gian làm bài: 180 phút
______________________
Bài I (5 điểm)
Cho hai hàm số f(x)= và g(x)=arctgx
1. Chứng minh đồ thị của chúng tiếp xúc nhau.
2. Giải bất phương trình: f(x)³g(x)+x
Bài II (5 điểm)
Cho tam giác ABC thoả mãn:
(ma, mb, mc là 3 trung tuyến ứng với 3 cạnh a, b, c ; A, B, C là 3 góc của tam giác)
Chứng minh tam giác ABC đều.
Bài III (5 điểm)
Tìm tham số a sao cho phương trình:
= 0
 	có ít nhất một nghiệm nguyên.
Bài IV (5 điểm)
 Trong hệ toạ độ trực chuẩn xOy cho đường tròn (C) có phương trình: x2+y2=4
Tìm tham số m để trên đường thẳng y=m có đúng 4 điểm sao cho qua mỗi điểm đó có hai đường thẳng tạo với nhau góc 450 và chúng đều tiếp xúc với đường tròn (C).
Cho hai điểm A(a; b), B(c; d) thuộc đường tròn (C) chứng minh:
________________________________________________	
Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội
Kỳ thi chọn đội tuyển lớp 12 thành phố
tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2000-2001.
Môn thi: Toán
Ngày thi: 29 tháng 12 năm 2000
Thời gian làm bài: 180phút
______________________
Câu I (4 điểm): 
Cho các số thực a1, a2, ... ,an ; b1, b2, ... , bn ; c1, c2, ... , cn thoả mãn điều kiện ai>0 và aici³bi2, "i=1, 2, 3, ..., n. 
Chứng minh rằng: (a1+a2+...+an).(c1+c2+...+cn)³(b1+b2+...+bn)2
Câu II (4 điểm): 
Gọi N* là tập hợp tất cả các số nguyên dương. 
Hãy tìm tất cả các hàm f : N*đ N* thoả mãn điều kiện:
Câu III (4 điểm): 
Một hình lập phương kích thước 8x8x8 được chia thành lưới các hình lập phương đơn vị. Ta gọi một cột của lưới là một hình hộp chữ nhật với các cạnh nằm trên các đường lưới có kích thước là: 1x8x8 hoặc 8x1x8 hoặc 8x8x1. Chứng minh rằng ta có thể đánh dấu 64 hình lập phương đơn vị sao cho trong 8 hình lập phương đánh dấu tuỳ ý có 2 hình lập phương cùng nằm trên một cột và trong bất kỳ một cột nào đều có 8 hình lập phương được đánh dấu.
Câu IV (4 điểm): 
Cho P(x) là một đa thức bậc n với hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt trong khoảng (1; Ơ).
Giả sử Q(x)=(x2+1).P(x).P’(x)+x.{[P(x)]2+[P’(x)]2}, xẻR
Chứng minh rằng đa thức Q(x) có ít nhất 2n-1 nghiệm thực phân biệt.
Câu V (4 điểm): 
Cho tam giác ABC. Giả sử P là một điểm di động trên đoạn thẳng AB, Q là một điểm di động trên đoạn thẳng AC. Gọi T là giao điểm của hai đoạn thẳng BQ và CP. Hãy tìm vị trí của P và Q sao cho DPQT có diện tích lớn nhất. 
________________________________________________
sở giáo dục và đào tạo hà nội
 kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12 (Vòng I)
 Năm học 2001-2002
Môn thi: Toán 
Ngày thi: 8 - 12 - 2001
Thời gian làm bài: 180 phút
______________________
Bài I (4 điểm)
Cho hàm số y=x4-2m2x2+n
 Tìm giá trị của các tham số m và n, để đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trị là các đỉnh của một tam giác đều ngoại tiếp được một đường tròn có tâm là gốc toạ độ.
Bài II (4 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của a và b thoả mãn điều kiện:
 và 
sao cho biểu thức P= đạt giá trị nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài III (4 điểm)
Giải bất phương trình: 
Bài IV (4 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của x, để với mọi giá trị của y luôn tồn tại giá trị của z thoả mãn: 
sin(x+y+z)=cos(2x+
Bài V (4 điểm)
Cho Elip (E) có 2 tiêu điểm là F1 và F2 . Hai điểm M, N trên (E). Chứng minh rằng 4 đường thẳng MF1 , MF2 , NF1 và NF2 cùng tiếp xúc với một đường tròn. 
sở gD-ĐT hà nội kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12
 Năm học 2002-2003
Môn thi: Toán 
Ngày thi: 7 - 12 - 2002
Thời gian làm bài: 180 phút
______________________
Bài I (4 điểm)
Cho hàm số y=
 Tìm giá trị của tham số m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tiếp xúc với đường tròn có tâm I(0; 1) và có bán kính lớn nhất.
Bài II (4 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh bất đẳng thức
tg5A+ tg5B+ tg5C ³ 9 (tgA+tgB+tgC)
Bài III (4 điểm)
Tìm quỹ tích điểm M(x; y) có toạ độ thoả mãn hệ:
Bài IV (4 điểm)
Tìm tham số a (a³ 0) để bất phương trình a3x4+6a2x2-x+9a+3 Ê 0 
nghiệm đúng với "x ẻ[2008; 2009]
Bài V (4 điểm)
Trong hệ toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình: xy=k2 (kạ0). Một đường tròn (C) tâm J cắt (H) tại 4 điểm A1, A2 , A3 , A4 . Chứng minh:
Nếu J thuộc A1A3 thì O thuộc A2A4
Các trực tâm của 4 tam giác A1A2A3 , A1A2A4 , A1A3A4 , A2A3A4 cùng nằm trên một đường tròn.
sở gD-ĐT hà nội kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12
 Năm học 2003-2004
Môn thi: Toán 
Ngày thi: 5 - 12 - 2003
Thời gian làm bài: 180 phút
______________________
Bài I (4 điểm)
Biện luận theo tham số a số nghiệm của phương trình: 
 (n+2)xn+3 - 2003(n+3) xn+2 + an+3 = 0 ( với n là số tự nhiên lẻ)
Bài II (4 điểm)
Cho đường cong (C) có phương trình y = - x4 + 4x2 - 3. Tìm m và n để đường thẳng y = mx + n cắt đường cong (C) tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D 
( theo thứ tự ) sao cho AB = CD = .
Bài III (4 điểm)
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi R và R’ lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và đường tròn ngoại tiếp tam giác có độ dài 3 cạnh là GA, GB, GC. Chứng minh rằng nếu có :
9R’ = 2R(sinA + sinB + sinC) thì tam giác ABC đều.
Bài IV (4 điểm)
Giải các phương trình:
2cosx + sin19x - 5 = sin21x - 3sin10x
32x5 - 40x3 + 10x - = 0
Bài V (4 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) : y2 = 2px (p > 0), tiêu điểm là F. Từ một điểm I kẻ 2 đường thẳng tiếp xúc với (P) tại M và N.
Chứng minh rằng DFIM đồng dạng với DFNI .
Một đường thẳng (d) tuỳ ý tiếp xúc với (P) tại T và cắt IM, IN tại Q và Q’. Chứng minh rằng không phụ thuộc vào vị trí của (d).
sở gD-ĐT hà nội kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12
 Năm học 2004-2005
Môn thi: Toán 
Ngày thi: 3 - 12 - 2004
Thời gian làm bài: 180 phút
______________________
Bài I (4 điểm)
 Cho hai hàm số có đồ thị là (C) và (C’). Hãy tìm tham số m để tồn tại 4 đường thẳng khác nhau, song song với trục tung và mỗi đường trong chúng đều cắt (C) và (C’) tại 2 điểm sao cho tiếp tuyến tương ứng tại 2 điểm đó song song với nhau. 
Bài II (4 điểm)
Cho bất phương trình: 
Giải bất phương trình khi a=-1
Tìm a để bất phương trình có nghiệm x>1
Bài III (4 điểm)
 Giải phương trình: 
Bài IV (4 điểm)
 Một tứ giác có ba cạnh bằng 1 và diện tích bằng . Hãy tính cạnh còn lại và độ lớn các góc của tứ giác.
Bài V (4 điểm)
 Cho khối tứ diện DABC có DA=a, DB=b, DC=c đôi một vuông góc với nhau. Một điểm M tùy ý thuộc khối tứ diện.
Gọi các góc tạo bởi tia DM với DA, DB, DC là α, β, γ.
Chứng minh: sin2α + sin2β + sin2γ = 2
Gọi SA, SB, SC, SD lần lượt là diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của khối tứ diện. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q=MA.SA+ MB.SB + MC.Sc + MD. SD
sở giáo Dục & Đào tạo hà nội 
 kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12
 Năm học 2005-2006
Môn thi: Toán 
Ngày thi: 01 - 12 - 2005
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài I (4 điểm)
Cho phương trình: 
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
Bài II (4 điểm)
Gọi A, B, C là 3 góc của tam giác ABC, chứng minh bất đẳng thức: 
Bài III (4 điểm)
Giải hệ phương trình: 
Bài IV (4 điểm)
 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Gọi diện tích tứ giác là S và độ dài các cạnh là AB=a, BC=b, CD=c, DA=d . 
Chứng minh đẳng thức: (4RS)2=(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)
Chứng minh rằng nếu 4(SR)4 = (abcd)3 thì tứ giác là hình vuông.
Bài V (4 điểm)
 Hình chóp S.ABC có các cạnh bên đôi một vuông góc và SA=a, SB=b, SC=c. Gọi A’, B’, C’ là các điểm di động lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC nhưng luôn thỏa mãn SA.SA’=SB.SB’=SC.SC’. Gọi H là trực tâm của tam giác A’B’C’ và I là giao điểm của SH với mặt phẳng (ABC).
Chứng minh mặt phẳng (A’B’C’) song song với một mặt phẳng cố định và H thuộc một đường thẳng cố định.
Tính IA2+IB2+IC2 theo a, b, c.
hết
Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội
Kỳ thi chọn đội tuyển Học Sinh Giỏi lớp 12 thành phố 
 năm học 2006-2007
 Môn thi: Toán
 Ngày thi: 28 tháng 11 năm 2006
 Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I (4 điểm) 
Giải hệ phương trình sau:
Câu II (4 điểm) 
Cho a, b ẻ R. Chứng minh rằng nếu tập hợp
Aa, b = 
là hữu hạn thì a và b là các số hữu tỷ.
Câu III (4 điểm) 
 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình :
 2x4 + 1 = y2
Câu IV (4 điểm) 
Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý nằm ở miền trong của tam giác đó. Chứng minh rằng: 
 min
Câu V (4 điểm) 
Cho dãy số thực (xn) với n ẻ N* thỏa mãn các điều kiện sau:
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n0 sao cho > 2006 !
Hết