Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2009 môn thi: Toán − Giáo dục trung học phổ thông

t ph−ơng trình tham số của đ−ờng thẳng (d) đi qua điểm M và vuông góc với mặt 
phẳng (P). Tìm toạ độ giao điểm H của đ−ờng thẳng (d) với mặt phẳng (P). 
B. Thí sinh Ban KHXH&NV chọn câu 6a hoặc câu 6b 
 Câu 6a (2,0 điểm) 
1. Tính tích phân ∫=
3
1
ln2 xdxxK . 
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 13)( 3 +−= xxxf trên đoạn [ ]2;0 . 
Câu 6b (2,0 điểm) 
 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm E ( )3;2;1 và mặt phẳng ( )α có ph−ơng 
 trình x + 2y – 2z + 6 = 0. 
1. Viết ph−ơng trình mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ O và tiếp xúc với mặt phẳng ( )α . 
2. Viết ph−ơng trình tham số của đ−ờng thẳng ( )∆ đi qua điểm E và vuông góc với mặt 
 phẳng ( )α . 
.........Hết......... 
Thí sinh không đ−ợc sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh: ..................................................................... Số báo danh:......................................................................................... 
Chữ ký của giám thị 1: ....................................................... Chữ ký của giám thị 2: ............................................................ 
Bộ giáo dục và đào tạo 
Đề thi chính thức 
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2006 
Môn thi: toán - Trung học phổ thông phân ban 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề 
I. Phần chung cho thí sinh cả 2 ban (8,0 điểm) 
Câu 1 (4,0 điểm) 
 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = −x3 + 3x2. 
 2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của ph−ơng trình −x3 + 3x2 −m = 0. 
 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. 
Câu 2 (2,0 điểm) 
 1. Giải ph−ơng trình 2x 2 x2 9.2 2 0.+ − + = 
 2. Giải ph−ơng trình 2x2 −5x + 4 = 0 trên tập số phức. 
Câu 3 (2,0 điểm) 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với 
đáy, cạnh bên SB bằng a 3 . 
1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 
2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 
II. PHầN dành cho thí sinh từng ban (2,0 điểm) 
A. Thí sinh Ban KHTN chọn câu 4a hoặc câu 4b 
Câu 4a (2,0 điểm) 
1. Tính tích phân 
ln 5 x x
x
ln 2
(e 1)e
I dx .
e 1
+
=
−
∫ 
2. Viết ph−ơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
2x 5x 4
y
x 2
− +
=
−
, biết các tiếp 
tuyến đó song song với đ−ờng thẳng y = 3x + 2006. 
Câu 4b (2,0 điểm) 
 Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6). 
1. Viết ph−ơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC. 
2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết ph−ơng trình mặt cầu đ−ờng kính OG. 
B. Thí sinh Ban KHXH-NV chọn câu 5a hoặc câu 5b 
Câu 5a (2,0 điểm) 
1. Tính tích phân 
1
x
0
J (2x 1)e dx.= +∫ 
2. Viết ph−ơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2x 3y
x 1
+
=
+
 tại điểm thuộc đồ thị có 
 hoành độ x0 = −3. 
Câu 5b (2,0 điểm) 
 Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A( −1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4). 
1. Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết ph−ơng trình tham số của đ−ờng thẳng AB. 
2. Gọi M là điểm sao cho MB 2MC= −
JJJG JJJG
. Viết ph−ơng trình mặt phẳng đi qua M và 
 vuông góc với đ−ờng thẳng BC. 
.........Hết......... 
Họ và tên thí sinh: ..................................................................... Số báo danh:.............................................................................. 
Chữ ký của giám thị 1: ....................................................... Chữ ký của giám thị 2: .................................................. 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THễNG NĂM 2009 
Mụn thi: TOÁN – Giỏo dục trung học phổ thụng 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI 
Bản hướng dẫn gồm 05 trang 
I. Hướng dẫn chung 
1) Nếu thớ sinh làm bài khụng theo cỏch nờu trong đỏp ỏn nhưng đỳng thỡ cho đủ số điểm 
từng phần như hướng dẫn quy định. 
2) Việc chi tiết hoỏ (nếu cú) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo khụng làm sai 
lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn Hội đồng chấm thi. 
3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm trũn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm trũn thành 0,5; lẻ 0,75 
làm trũn thành 1,0 điểm). 
II. Đỏp ỏn và thang điểm 
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 
1. (2,0 điểm) 
 a) Tập xỏc định: { }\ 2D = \ 0,25 
 b) Sự biến thiờn: 
 • Chiều biến thiờn: y' = 2
5
( 2)x
− − < 0 ∀x ∈ D. 
 Suy ra, hàm số nghịch biến trờn mỗi khoảng ( ); 2−∞ và . ( )2;+∞
 • Cực trị: Hàm số đó cho khụng cú cực trị. 
0,50 
Lưu ý: Ở ý b), cho phộp thớ sinh khụng nờu kết luận về cực trị của hàm số. 
 • Giới hạn và tiệm cận: 
2
lim
x
y+→ = + ∞ , 2limx y−→ = −∞ ; lim lim 2x xy y→−∞ →+∞= = . 
 Suy ra, đồ thị hàm số cú một tiệm cận đứng là đường thẳng 2x = và 
một tiệm cận ngang là đường thẳng 2y = . 
0,50 
Cõu 1 
(3,0 điểm) 
 • Bảng biến thiờn: 
x – ∞ 2 + ∞ 
y' – – 
y 2 + ∞ – ∞ 2 
0,25 
 1
 c) Đồ thị (C): 
(C) cắt trục tung tại điểm 10;
2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 
và cắt trục hoành tại điểm 1 ;0
2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
0,50 
Lưu ý: - Cho phộp thớ sinh thể hiện toạ độ giao điểm của (C) và cỏc trục toạ độ chỉ 
 trờn hỡnh vẽ. 
 - Nếu thớ sinh chỉ vẽ đỳng dạng của đồ thị (C) thỡ cho 0,25 điểm. 
2. (1,0 điểm) 
Kớ hiệu d là tiếp tuyến của (C) và (x0; y0) là toạ độ của tiếp điểm. Ta cú: 
Hệ số gúc của d bằng – 5 ⇔ y'(x0) = – 5 0,25 
 ⇔ 2
0
5 5
( 2)x
− = −− ⇔ 
0
0
1
3
x
x
=⎡ =⎢⎣
0 0 0 01 3; 3x y x y= ⇒ = − = ⇒ = 7 . 
0,50 
Từ đú, ta được cỏc phương trỡnh tiếp tuyến theo yờu cầu của đề bài là: 
5y x= − + 2 2 và 5 2y x= − + . 0,25 
1. (1,0 điểm) 
Đặt 5x = t, t > 0, từ phương trỡnh đó cho ta cú phương trỡnh 
t2 – 6t + 5 = 0 (*) 0,50 
Giải (*), ta được t và t1= 5= . 0,25 
Với t , ta được: 51= 1x = ⇔ 0x = 
Với t , ta được: 55= 5x = ⇔ 1x = 
Vậy, phương trỡnh đó cho cú tất cả 2 nghiệm là 2 giỏ trị x vừa nờu trờn. 
0,25 
2. (1,0 điểm) 
Đặt u và , ta cú dx= d (1 cos )dv x= + x xdu = và v x sin x= + . 0,50 
Do đú: 0
0
( sin ) ( sin )dI x x x x x
ππ= + − +∫ x 0,25 
Cõu 2 
(3,0 điểm) 
 = 
2 2
2
0
4cos
2 2
x x
π ππ ⎛ ⎞ −− − =⎜ ⎟⎝ ⎠ . 0,25 
 y 
2
 x 2 O 
 1
2
−
1
2
−
 2
Lưu ý: 
• Thớ sinh được phộp trỡnh bày lời giải vừa nờu trờn như sau: 
2 2
2
0
0 0 0
4d( sin ) ( sin ) ( sin )d cos
2 2
xI x x x x x x x x x x
ππ ππ ππ ⎛ ⎞ −= + = + − + = − − =∫ ∫ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
• Ngoài cỏch 1 nờu trờn, cũn cú thể tớnh I theo cỏch sau: 
 Cỏch 2: 
0 0
2 2
0
0 00
2 2
0
d cos d (*)
d(sin ) sin sin d (**)
2 2
4cos .
2 2
I x x x x x
x x x x x x x
x
π π
π π ππ
π
π
π π
= +∫ ∫
= + = + −∫ ∫
−= + =
Trong trường hợp thớ sinh tớnh I theo cỏch 2, việc cho điểm được thực hiện như 
sau: 
- Biến đổi về (*): 0,25 điểm; 
- Biến đổi từ (*) về (**): 0,50 điểm; 
- Biến đổi tiếp từ (**) đến kết quả: 0,25 điểm. 
3. (1,0 điểm) 
Ta cú: 2 2(2 1)( 1)
2 1
x x
x x
'( ) 2
1 2
f x x + −−= + =− ∀x ∈(– 2; 0). 
Suy ra, trờn khoảng (– 2; 0): 1'( ) 0
2
f x x= ⇔ = − . 
0,50 
Ta cú: , , (0) 0f = ( 2) 4 ln 5f − = − 1 1 ln 2
2 4
f ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠ . 0,25 
Vỡ 
4
44 ln 5 ln 0 (do 5)
5
e e− = > > và 
4
41 ln 2 ln 0 (do 2 )
4 2
e e− = < < 
Nờn [ ]2;0
1min ( ) ln 2
4x
f x∈ − = − và [ ]2;0max ( ) 4 ln 5x f x∈ − = − . 
0,25 
Lưu ý: Giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất của hàm số f(x) trờn đoạn [– 2; 0] cũn 
được kớ hiệu tương ứng bởi 
[ 2;0]
min ( )f x
− và ma[ 2;0]x ( )f x− . 
Cõu 3 
(1,0 điểm) 
Vỡ SA ⊥ mp(ABC) nờn 
SA ⊥ AB và SA ⊥ AC. 
Xột hai tam giỏc vuụng SAB và SAC, ta cú 
}chungSA SAB SACSB SC ⇒ Δ = Δ= 
AB AC⇒ = 
0,25 
S 
 C 
 B 
a 
A 
 3
Áp dụng định lớ cụsin cho tam giỏc cõn BAC, ta được 
n2 2 2 2 2 02 . .cos 2 (1 cos120 ) 3a BC AB AC AB AC BAC AB AB= = + − = − = 2 
Suy ra 3
3
aAB = . 
Do đú 2 2 6
3
aSA SB AB= − = và SABC = n
2
21 3.sin
2 1
aAB BAC =
2
. 
0,50 
Vỡ vậy VS.ABC = 
1
3
SABC.SA = 
3 2
36
a . 0,25 
Lưu ý: Ở cõu này, khụng cho điểm hỡnh vẽ. 
1. (0,75 điểm) 
• Tõm T và bỏn kớnh R của (S): (1;2;2)T = và 6R = . 0,25 
• Khoảng cỏch h từ T đến (P): 
2 2 2
|1.1 2.2 2.2 18 | 9
1 2 2
h + + += =+ + 0,50 
2. (1,25 điểm) 
• Phương trỡnh tham số của d: 
Vỡ d ⊥ (P) nờn vectơ phỏp tuyến nG của (P) là vectơ chỉ phương của d. 
Từ phương trỡnh của (P), ta cú ( )1;2;2n =G . 
0,25 
Do đú, phương trỡnh tham số của d là: 
1
2 2
2 2
x t
y t
z t
= +⎧⎪ = +⎨ = +⎪⎩
 0,25 
• Toạ độ giao điểm H của d và (P): 
Do H∈ d nờn toạ độ của H cú dạng (1 + t ; 2 + 2t ; 2 + 2t). 0,25 
Vỡ H ∈ (P) nờn 1 + t + 2(2 + 2t) + 2(2 + 2t) + 18 = 0, hay . 3t = − 0,25 
Cõu 4a 
(2,0 điểm) 
Do đú ( 2; 4; 4)H = − − − . 0,25 
Ta cú: . 216 32 16 (4 )iΔ = − = − = 0,50 
Do đú, phương trỡnh đó cho cú 2 nghiệm là: 
1
4 4 1 1
16 4 4
iz i+= = + và 2 4 4 1 116 4 4
iz i−= = − . 0,50 
Cõu 5a 
(1,0 điểm) 
Lưu ý: Cho phộp thớ sinh viết nghiệm ở dạng 1, 2
1
4
iz ±= hoặc 1, 2 4 416
iz ±= . 
1. (0,75 điểm) 
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuụng gúc với d. 
Vỡ d ⊥ (P) nờn vectơ chỉ phương uG của d là vectơ phỏp tuyến của (P). 
Từ phương trỡnh của d, ta cú ( )2;1; 1u = −G . 
0,25 
Cõu 4b 
(2,0 điểm) 
Do đú, phương trỡnh tổng quỏt của mp(P) là: 
2.( 1) 1.( 2) ( 1)( 3) 0x y z− + + + − − = hay 2 3 0x y z+ − + = . 0,50 
 4
2. (1,25 điểm) 
• Khoảng cỏch h từ A đến d: 
Từ phương trỡnh của d suy ra điểm B(–1; 2; –3) thuộc d. 
Do đú 
,
| |
BA u
h
u
⎡ ⎤⎣ ⎦=
JJJG G
G . 
0,50 
Ta cú . Do đú: (2; 4;6)BA = −JJJG
( )1 1 1 2 2 1, ; ; (2; 14; 10)4 6 6 2 2 4BA u − −⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ − − − −JJJG G 0,25 
Vỡ vậy 
2 2 2
2 2 2
2 ( 14) ( 10) 5 2
2 1 ( 1)
h + − + −= =+ + − . 0,25 
• Phương trỡnh mặt cầu (S) tõm A(1; –2; 3), tiếp xỳc với d: 
Vỡ (S) tiếp xỳc với d nờn cú bỏn kớnh bằng h. Do đú, phương trỡnh của (S) là: 
2 2 2( 1) ( 2) ( 3) 5x y z− + + + − = 0 
0,25 
Lưu ý: 
Cú thể sử dụng kết quả phần 1) để tớnh khoảng cỏch h từ A đến d. Dưới đõy là 
lời giải túm tắt theo hướng này và thang điểm cho lời giải đú: 
Gọi H là giao điểm của d và mặt phẳng (P), ta cú H là hỡnh chiếu vuụng 
gúc của A trờn (P). Do đú h AH= . 0,25 
Toạ độ của H là nghiệm của hệ phương trỡnh 
1 2
2 1
2 3
x y z
x y z
3
1
0
+ − +⎧⎪ = =⎨ −⎪ + − + =⎩
Từ kết quả giải hệ trờn ta được ( )3 ; 1 ; 2H = − − . 
0,50 
Vỡ vậy ( ) ( ) ( )2 2 21 3 2 1 3 2 5 2h AH= = + + − − + + = . 0,25 
Ta cú: . ( )22 8 9 3i iΔ = − = − = 0,50 Cõu 5b 
(1,0 điểm) 
Do đú, phương trỡnh đó cho cú 2 nghiệm là: 
1
3
4
i iz i+= = và 2 3 14 2
i iz i−= = − . 0,50 
- Hết - 
 5
 1
Bộ giáo dục vμ đμo tạo 
 đề thi chính thức 
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2008 
 Môn thi: toán – Trung học phổ thông phân ban 
H−ớng dẫn chấm thi 
Bản h−ớng dẫn chấm gồm 04 trang 
I. H−ớng dẫn chung 
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì 
cho đủ điểm từng phần nh− h−ớng dẫn quy định. 
2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong h−ớng 
dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với h−ớng dẫn chấm và đ−ợc 
thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi. 
3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn 
thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm). 
II. Đáp án và thang điểm 
câu Đáp án Điểm
1. (2,5 điểm) 
a) Tập xác định: R 
0,25 
b) Sự biến thiên: 
• Chiều biến thiên: 
)1x(x6x6x6y 2 +=+=′ . Ph−ơng trình 0y =′ có nghiệm: x = -1, x = 0. 
0,50 
( ) ( )∞+∪−∞−∈⇔>′ ;01;x0y , ( )0;1x0y −∈⇔<′ . 
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( )1;−∞− và ( )∞+;0 , nghịch biến trên 
khoảng (-1; 0). 
• Hàm số đạt cực đại tại x = -1, yCĐ = 0, đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -1. 
• Giới hạn: −∞=
−∞→
y
x
lim ; +∞=
+∞→
y
x
lim 
 0,75 
Câu 1 
(3,5 điểm) 
• Bảng biến thiên: 
 0,50 
-1 0- ∞ +∞ x
y
y’ 0 0 ++ -
+ ∞ 
- ∞
0
-1
 2
c) Đồ thị: 
 Giao điểm với Oy: (0; -1). 
Giao điểm với Ox: (-1; 0) và ( )0;
2
1
0,50 
2. (1,0 điểm) 
Số nghiệm thực của ph−ơng trình 3 22x +3x -1= m bằng số giao điểm của đồ 
thị (C) của hàm số 1x3x2y 23 −+= và đ−ờng thẳng (d): y = m. 
Dựa vào đồ thị ta có: 
Với m 0, (d) và (C) có một điểm chung, do đó ph−ơng trình có 
một nghiệm. 
Với m = -1 hoặc m = 0, (d) và (C) có hai điểm chung, do đó ph−ơng trình có 
hai nghiệm. 
Với -1 < m < 0, (d) và (C) có ba điểm chung, do đó ph−ơng trình có ba nghiệm.
1,0 
Đặt 0t3x >= ta có ph−ơng trình 3t2 – 9t + 6 = 0 
ph−ơng trình trên có hai nghiệm t = 1 và t = 2 (đều thoả mãn). 
0,75 
Câu 2 
(1,5 điểm) 
Nếu t =1 thì 3x = 1 ⇔ x = 0. Nếu t = 2 thì 3x = 2 ⇔ x = log32. 
Vậy ph−ơng trình đã cho có hai nghiệm: x = 0, x = log32. 
0,75 
Khai triển đúng: + = + −2(1 3 i ) 1 2 3 i 3 và − = − −2(1 3 i ) 1 2 3 i 3 0,50 Câu 3 
(1,0 điểm) 
Rút gọn đ−ợc = −P 4 0,50 
Câu 4 
(2,0 điểm) 
1. (1,0 điểm) 
Tam giác SBC cân tại S, 
I là trung điểm BC suy ra SIBC ⊥ . 
Tam giác ABC đều suy ra AIBC ⊥ . 
0,50 
O
x
y
-1
-1
2
1 
O
S
A C 
B 
I 
 3
Vì BC vuông góc với hai cạnh AI và SI của tam giác SAI nên SABC ⊥ . 0,50 
2. (1,0 điểm) 
Gọi O là tâm của đáy ABC, ta có 
3
3a
2
3a
3
2AI
3
2AO === . Vì S.ABC là 
hình chóp tam giác đều nên ).ABC(SO ⊥ 
0,50 
Xét tam giác SOA vuông tại O: 
3
33aSO
9
a33)
3
3a()a2(AOSASO
2
22222
=⇒=−=−= 
Thể tích khối chóp S.ABI là: 
3
S.ABI ABI
1 1 1 1 a 3 a a 33 a 11
V S .SO AI.BI.SO
3 3 2 6 2 2 3 24
= = = = (đvtt). 
0,50 
1. (1,0 điểm) 
Đặt u = 1 – x3 ⇒ du = -3x2dx. Với x = -1 ⇒ u = 2, x = 1 ⇒ u = 0. 0,50 
 = − = = =∫ ∫
0 2
4 4 5
2 0
21 1 1 32
I ( u )du u du u
3 3 15 0 5
. 0,50 
2. (1,0 điểm) 
Xét trên đoạn ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π
2
;0 , hàm số đã cho có: xsin21)x(f −=′ ; 
4
x0)x(f π=⇔=′ . 
0,50 
Câu 5a 
(2,0 điểm) 
2
)
2
(f;1
4
)
4
(f;2)0(f π=π+π=π= . 
Vậy 2)x(fmin
]
2
;0[
=
π
, 1
4
)x(fmax
]
2
;0[
+
π
=
π
. 
0,50 
1. (1,0 điểm) 
Đ−ờng thẳng cần tìm vuông góc với (P), nhận )1;2;2(n −= là một vectơ chỉ 
ph−ơng. 
Ph−ơng trình tham số của đ−ờng thẳng là:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=
−−=
+=
t2z
t22y
t23x
 1,0 
2. (1,0 điểm) 
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là: 
3
7
1)2(2
1)2.(1)2.(23.2
))P(,A(d
222
=
+−+
−−+−−
= . 
 0,25 
Câu 5b 
(2,0 điểm) 
Ph−ơng trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) có dạng 
 2x – 2y + z + D = 0. 
 4
Chọn điểm M(0; 0; 1) thuộc mặt phẳng (P). Khoảng cách từ điểm M đến mặt 
phẳng (Q) là: 
3
D1
1)2(2
D1.10.20.2
))Q(,M(d
222
+
=
+−+
++−
= . 
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm M đến 
mặt phẳng (Q). 
Do đó từ giả thiết ta có: 7D1
3
7
3
D1
=+⇔=
+
⎢⎣
⎡
−=
=
⇔
8D
6D
Vậy có hai mặt phẳng (Q) thoả mãn đề bài: 
 (Q1): 2x – 2y + z + 6 = 0; (Q2): 2x – 2y + z - 8 = 0. 
0,75 
1. (1,0 điểm) 
Đặt ⎩⎨
⎧
=
−=
xdxcosdv
1x2u
 ⇒ ⎩⎨
⎧
=
=
xsinv
dx2du
 ⇒ [ ] 2
0
J (2x 1)sin x 2 sin xdx2
0
ππ
= − − ∫ 0,50 
J ( 1) 2 cos x 2
0
π
= π − + = (π -1)+2(0-1)= π -3. 
 0,50 
2. (1,0 điểm) 
Xét trên đoạn [0; 2], hàm số đã cho có: )1x(x4x4x4)x(f 23 −=−=′ ; 
⎢⎣
⎡
=
=
⇔=′
1x
0x
0)x(f 
0,50 
 Câu 6a 
 (2,0 điểm) 
 f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 9. 
Vậy
[0;2]
min f(x)=0, 
[0;2]
max f(x)=9. 0,50 
1. (1,0 điểm) 
Mặt phẳng cần tìm vuông góc với BC, nhận )4;2;0(BC −−= là một vectơ 
pháp tuyến. 
0,50 
Ph−ơng trình mặt phẳng cần tìm là: 
0(x -1) – 2(y - 4) – 4(z + 1) = 0 ⇔ y + 2z – 2 = 0. 
0,50 
2. (1,0 điểm) 
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi ADBC = (1). 
Gọi toạ độ của D là (x; y; z). Ta có )1z;4y;1x(AD +−−= 
và )4;2;0(BC −−= . 
0,50 
Câu 6b 
(2,0 điểm) 
Điều kiện (1) 
 ⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+
−=−
=−
41z
24y
01x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=
=
⇔
5z
2y
1x
⇒D(1; 2; -5). 0,50 
.Hết. 
 1
bộ giáo dục và đào tạo 
đề thi chính thức 
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2007 
Môn thi: toán – Trung học phổ thông phân ban 
H−ớng dẫn chấm thi 
Bản h−ớng dẫn chấm gồm 04 trang 
I. H−ớng dẫn chung 
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho 
đủ điểm từng phần nh− h−ớng dẫn quy định. 
2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong h−ớng dẫn 
chấm phải đảm bảo không sai lệch với h−ớng dẫn chấm và đ−ợc thống nhất 
thực hiện trong Hội đồng chấm thi. 
3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 
0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm). 
II. Đáp án và thang điểm 
Câu Đáp án Điểm
1. (2,5 điểm) 
1) Tập xác định: R 0,25 
2) Sự biến thiên: 
• Chiều biến thiên: 
Ta có: )1(444' 23 −=−= xxxxy ; 0'=y ⇔ x = 0, x = ± 1. 
Trên các khoảng ( )0;1− và ( )∞+;1 , y’ > 0 nên hàm số đồng biến. 
Trên các khoảng ( )1;−∞− và ( )1;0 , y’ < 0 nên hàm số nghịch biến. 
0,50 
• Cực trị: 
Từ các kết quả trên suy ra: 
Hàm số có hai cực tiểu tại x = ± 1; yCT = y( ± 1) = 0. 
Hàm số có một cực đại tại x = 0; yCĐ = y(0) = 1. 
• Giới hạn ở vô cực: 
∞+=
−∞→
y
x
lim ; ∞+=
+∞→
y
x
lim . 
0,75 
Câu 1 
(3,5 điểm) 
• Bảng biến thiên: 
0,50 
x ∞− 1− 0 1 ∞+ 
y’ - 0 + 0 - 0 + 
+ ∞ 1 + ∞ 
y 
 0 0 
 2
3) Đồ thị: 
Hàm số đã cho là chẵn, do đó đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng. 
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 1). 
Điểm khác của đồ thị: ( )9;2± . 
0,50 
2. (1,0 điểm) 
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm cực đại (0; 1) của đồ thị đã cho là 
y’(0) = 0. 
- Ph−ơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cực đại là y = 1. 
1,00 
Điều kiện xác định của ph−ơng trình là x > 0. 
Ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với 
 5log4loglog
2
1
222 =++ xx 
0,75 
Câu 2 
(1,5 điểm) 
⇔ 3log
2
3
2 =x 
⇔ 2log2 =x ⇔ x = 4 (thoả mãn điều kiện). 
Vậy ph−ơng trình đã cho có nghiệm x = 4. 
0,75 
 Ta có: '∆ = .33 2i=− 0,50 Câu 3 
(1,5 điểm) Ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt là: ix 32 −= và ix 32 += . 1,00 
Câu 4 
(1,5 điểm) 
 Giả thiết SA vuông góc với đáy suy ra đ−ờng cao của hình chóp là 
SA = a. Đáy là tam giác vuông (đỉnh B), có diện tích là 2
2
1 a . 
 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: 
 32
6
1.
2
1.
3
1 aaaV == (đvtt). 
1,50 
A 
B
a 
aa 
C
S 
-2 -1 O 1 2 x
1
9
y
 3
1. (1,0 điểm) 
Đặt tx =+12 ⇒ 2xdx = dt. 
Với x = 1 thì t = 2; với x = 2 thì t = 5. 
0,50 
Do đó J = ∫ −
5
2
2
1
dtt = 
2
5
.2 2
1
t = 2 )25( − . 0,50 
Câu 5a 
(2,0 điểm) 
2. (1,0 điểm) 
- Ta có 16163)(' 2 +−= xxxf . 
- Xét trên đoạn [ ]3;1 ta có 0)(' =xf ⇔ 
3
4
=x . 
- Ta có f(1) = 0, ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
3
4f = 
27
13
, f(3) = - 6. 
Vậy [ ] 27
13
3
4)(max
3;1
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
= fxf , [ ] 6)3()(min3;1 −== fxf . 
1,00 
1. (1,0điểm) 
Vì mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên ph−ơng trình mặt 
phẳng (Q) có dạng x + y – 2z + m = 0 (m ≠ - 4). 
0,50 
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(-1; -1; 0) ⇔ – 1 – 1 + m = 0 
⇔ m = 2. Vậy ph−ơng trình mặt phẳng (Q) là: x + y – 2z + 2 = 0. 
0,50 
2. (1,0điểm) 
- Vì đ−ờng thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) nên véctơ pháp 
tuyến )2;1;1( −=n của mặt phẳng (P) cũng là véctơ chỉ ph−ơng của 
đ−ờng thẳng (d). 
- Đ−ờng thẳng (d) đi qua điểm M(-1; -1; 0) nhận )2;1;1( −=n làm 
véctơ chỉ ph−ơng nên có ph−ơng trình tham số là: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
+−=
+−=
.2
1
1
tz
ty
tx
0,50 
Câu 5b 
(2,0 điểm) 
- Toạ độ H(x; y; z) thoả mãn hệ: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−+
−=
+−=
+−=
042
2
1
1
zyx
tz
ty
tx
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
=
=
=
.2
0
0
1
z
y
x
t
Vậy H(0; 0; - 2). 
0,50 
Câu 6a 
(2,0 điểm) 
1. (1,0 điểm) 
Đặt u = lnx và dv = 2xdx; ta có du = 
x
1
dx và v = 2x . 
Do đó ∫=
3
1
ln2 xdxxK = ∫−
3
1
2
1
3
)ln( xdxxx 
 = 
1
3
21
3
)ln(
2
2 xxx − = 43ln9 − . 
1,00 
 4
2. (1,0 điểm) 
- Ta có 33)(' 2 −= xxf . 
- Xét trên đoạn [ ]2;0 ta có f’(x) = 0 ⇔ x = 1. 
- Ta có f(0) = 1, f(1) = -1, f(2) = 3. 
Vậy [ ] 3)2()(max2;0 == fxf , [ ] 1)1()(min2;0 −== fxf . 
1,00 
1. (1,0 điểm) 
- Mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ O và tiếp xúc với mặt phẳng (α ) 
nên bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ O đến (α ). 
d(O; (α )) = 
222 )2(21
6000
−++
+−+
 = 2. 
0,50 
Mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ O và bán kính bằng 2 có ph−ơng 
trình là: 4222 =++ zyx . 0,50 
Câu 6b 
(2,0 điểm) 
2. (1,0 điểm) 
Vì đ−ờng thẳng ( ∆ ) vuông góc với mặt phẳng (α ) nên véctơ pháp 
tuyến )2;2;1( −=n của mặt phẳng (α ) cũng là véctơ chỉ ph−ơng của 
đ−ờng thẳng ( ∆ ). 
Đ−ờng thẳng ( ∆ ) đi qua điểm E(1; 2; 3) nhận )2;2;1( −=n làm v