Đề thi tuyển sinh đại học (dự trữ ) môn Toán năm 2005 và bài giải

PHẦN HAI: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC (DỰ TRỮ ) MÔN TOÁN NĂM 2005 VÀ BÀI GIẢI
DỰ BỊ 1 KHỐI A:
Câu I: (2 đ)Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số : y = (*) (m là tham số)
1.	Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) ứng với m = 1.
2. Tìm m để hàm số (*) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.	
Câu II: ( 2 điểm) 1.	Giải hệ phương trình : 
2. Tìm nghiệm trên khỏang (0; ) của phương trình :
Câu III: (3 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có trọng tâm G, phương trình đường thẳng BC là và phương trình đường thẳng BG là .Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1;1;0),B(0; 2; 0),C(0; 0; 2) . 
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O và vuông góc với BC.Tìm tọa độ giao điểm của AC với mặt phẳng (P).
b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Viết phương trình mặt cầu ngọai tiếp tứ diện OABC.
Câu IV: ( 2 điểm). 1.Tính tích phân .
2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm hàng ngàn bằng 8.
Câu V: (1 điểm) Cho x, y, z là ba số thỏa x + y + z = 0. Cmrằng : 
Bài giải CÂU I 
1/ Khi m = 1 thì (1) 
MXĐ: D = R \ {1} 
, 
BBT 
0
1
2
+
0
- -
0
+
y
2
6
Tiệm cận: 
 là pt t/c đứng
y = x + 3 là pt t/c xiên 
2/ Tìm m 
Ta có 
Hàm số (*) có 2 cực trị nằm về 2 phía trục tung 
 có 2 nghiệm trái dấu 
CÂU II: 1/ Giải hệ phương trình 
(I) 
Ta có 
 Vậy 
 vậy x, y là nghiệm của phương trình 
Vậy hệ có 2 nghiệm hay 
 vậy x,y là nghiệm của phương trình 
Þ . Vậy hệ có 2 nghiệm V 
Tóm lại hệ Pt (I) có 4 nghiệm V V V 
CÁCH KHÁC (I) 
 hay V V V 
2/ Tìm nghiệm 
Ta có (1)
(1) 
(1) 
(1) . Chia hai vế cho 2: 
(1) 
Do nên họ nghiệm (a) chỉ chọn k=0, k=1, họ nghiệm (b) chỉ chọn h = 1. Do đó ta có ba nghiệm x thuộc là 
CÂU III. 1/ Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ pt 
Vì cân tại A nên AG là đường cao của 
Vì Þ pt GA: 
Þ = H 
Ta có với A(x,y). 
Þ Þ 
Ta có : Þ 
Vậy 
2a/ Ta có 
mp (P) qua và vuông góc với BC có phương trình là 
Ta có , phương trình tham số của AC là .
Thế pt (AC) vào pt mp (P). Ta có . Thế vào pt (AC) ta có là giao điểm của AC với mp (P) 
2b/ Với .Ta có: , 
Þ Þ vuông tại A 
Ta dễ thấy cũng vuông tại O. Do đó A, O cùng nhìn đoạn BC dưới 1 góc vuông. Do đó A, O nằm trên mặt cầu đường kính BC, sẽ có tâm I là trung điểm của BC. Ta dễ dàng tìm dược 
Vậy pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là : 
CÂU IV. 
1/ Tính 
Þ , Đặt Þ 
Đổi cận 
 = 
2/ Gọi là số cần lập 
 Þ 
a) Khi 
Có 6 cách chọn 
Có 5 cách chọn 
Có 3! cách chọn 
Có 4 cách chọn 
Vậy ta có 6.5.6.4 = 720 số n
Khi tương tự ta cũng có 720 số n
Theo qui tắc cộng ta có 720 + 720 = 1440 số n
Cách khác Khi 
Có 3! = 6 cách chọn 
Có cách chọn 
Vậy ta có 6. 4.5.6 = 720 số n
Khi tương tự ta cũng có 720 số n
Theo qui tắc cộng ta có 720 + 720 = 1440 số n
CÂU V: Ta có: 
Þ . Tương tự 
Vậy 
DỰ BỊ 2 KHỐI A:
Câu I: (2 điểm) 1.	Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số .
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (- 1; 0) và tiếp xúc với đồ thị ( C ) .	
Câu II:( 2 điểm). 1. Giải hệ phương trình : 	
2. Giải phương trình : 
Câu III: (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn 
 (C): x2 + y2 . Viết phương trình đường tròn (C1) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngòai với đường tròn (C).
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4) a) Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, B, C, S.
 b) Tìm tọa độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC.
Câu IV: ( 2 điểm). 1.Tính tích phân .
2. Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức , trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn: = 1024. ( là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Câu V: (1 điểm) Cmrằng với mọi x, y > 0 ta có :
 . Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài giải:
CÂU I. 
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị 
MXĐ: . 
BBT 
-2
-1
0
+
0
- -
0
+
y
-3
1
Tiệm cận: 
 là phương trình tiệm cận đứng 
 là phương trình tiệm cận xiên 
2/ Phương trình tiếp tuyến qua ( hệ số góc k ) có dạng
: 
 tiếp xúc với hệ pt sau có nghiệm 
Þ phương trình hoành độ tiếp điểm là 
 Þ 
Vậy pt tiếp tuyến với qua là: 
CÂU II. 1/ Giải hệ pt : 
Đặt 
(I) thành 
Vậy 
2/ Giải phương trình 
(2) 
 hay 
CÂU III
1/ 
Vậy (C) có tâm và R=2
Vì đường tròn tiếp xúc với 2 trục Ox, Oy nên tâm nằm trên 2 đường thẳng vàvì (C) có tâm ,R = 2
 nên tâm với x > 0.
: Tâm đường thẳng y = x Þ , bán kính 
 tiếp xúc ngoài với (C) Û 
.Ứng với 
Có 2 đường tròn là: ; 
: Tâm đường thẳng ; 
Tương tự như trên, ta có x= 6
Có 1 đường tròn là 
Tóm lại ta có 3 đường tròn thỏa ycbt là: 
2a/ Tứ giác OABC là hình chữ nhật Þ Þ B(2,4,0)
* Đoạn OB có trung điểm là . H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OBC. Vì A, O, C cùng nhìn SB dưới một góc vuông nên trung điểm I ( 1; 2; 2 ) là tâm mặt cầu và bán kính R = , 
Vậy phương trình mặt cầu là 
2b/ chọn là vtcp của SC.
Pt tham số đường thẳng SC 
Mp (P) qua và vuông góc với SC có phương trình là 
Thế pt tham số của SC và pt (P) Ta có t=2 và suy ra 
Gọi là điểm đối xứng với A qua SC. Có M là trung điểm của nên
 Vậy 
CÂU IV: 1/ Tính 
Đặt 
Þ .Đổi cận t( 0) = 1 ; t (7 ) = 2.
Vậy 
2/ Ta có 
Cho Ta có (1) 
Cho Ta có (2) 
Lấy (1) - (2) Þ 
Þ . Vậy 2n=10
Ta có 
Suy ra hệ số của là hay 
CÂU V: Ta có: 
Þ 
Vậy 
 DỰ BỊ 1 KHỐI B:
Câu I: (2 điểm). 1.	Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số 
2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : .
Câu II: 2 điểm) 1.	Giải hệ phương trình : 	
2. Giải phương trình : 
Câu III: (3 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) : = 1. Viết phương trình tiếp tuyến d của (E) biết d cắt hai hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho AO = 2BO.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng và
 ( t là tham số )
a) Xét vị trí tương đối của d1 và d2 .
b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P) : và độ dài đọan MN = .
Câu IV: ( 2 điểm) 
Tính tích phân .
Một độ văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ.
Câu V: (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn : a + b + c = .. Cmrằng : 
. Khi nào đẳng thức xảy ra ?
Bài giải: CÂU I:
1/ Khảo sát . MXĐ: D=R
BBT
-1
0
1
-
0
+
+
0
-
-
0
+
+
+
0
-
-
0
+
+
5
-4
0
0
-4
Đồ thị 
2/ Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt. 
Đặt 
Ycbt đường thẳng y=k cắt (C) tại 4 điểm phân biệt 
CÂU II 1/ Giải pt 
Điều kiện 
(1) và 
 và 
 và ]
2/ Giải pt: 
Điều kiện : 
 và
 và
 và
 và
CÂU III.
1/ Do tính đối xứng của elíp (E). Ta chỉ cần xét trường hợp 
Gọi là giao điểm của tiếp tuyến của (E) với các trục tọa độ (). Pt AB: 
 AB tiếp xúc với (E) 
Vậy pt tiếp tuyến là 
Vì tính đối xứng nên ta có 4 tiếp tuyến là 
2/ a/ qua , VTCP 
 qua , VTCP 
,
 chéo nhau 
b/ ; 
Vì MN // (P) 
* t’=0 ta có 
* ta có 
CÂU IV. 1/ Tính 
Đặt ; 
2. Ta có trường hợp 
* 3 nữ + 5 nam. Ta có 
* 4 nữ + 4 nam. Ta có 
* 5 nữ + 3 nam. Ta có 
Theo qui tắc cộng. Ta có 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách 
CÂU V: 
Ta có 
Suy ra 
Dấu = xảy ra 
Cách 2: Đặt ;;
Þ . BĐT cần cm . 
Ta có : ; ; 
 Þ (Vì ). 
Vậy 
Hay 
Dấu = xảy ra Û
 và 
DỰ BỊ 2 KHỐI B:
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : y = (*) 
1.	Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số (*) .	
2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của ( C ).Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua điểm I .	
Câu II:( 2 điểm). 1. Giải bất phương trình : 
2. Giải phương trình : 
Câu III: (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 đường tròn :
 (C1 ): x2 + y2 và (C2 ): x2 + y2 . Viết phương trình trục đẳng phương d của 2 đường tròn (C1) và (C2). Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khỏang cách từ K đến tâm của (C1) nhỏ hơn khỏang cách từ K đến tâm của ( C2 ). 
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5;2; - 3) và mặt phẳng
 (P) : . a) Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ). Xác định tọa độ điểm M1 và tính độ dài đọan MM1. b) Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua M và chứa đường thẳng 
Câu IV: ( 2 điểm). 1.Tính tích phân .
2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ 1, 5 ?
Câu V: (1 điểm) Cmrằng nếu thì 
 . Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài giải
CÂU I 1/ Khảo sát (C) 
MXĐ: 
BBT
-2
-1
0
+
0
- -
0
+
y
-2
2
Tiệm cận
 là pt t/c đứng. là pt t/c xiên 
Đồ thị :Bạn đọc tự vẽ.
2/ Chứng minh không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua là giao điểm của 2 tiệm cận. 
Gọi 
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại 
Tiếp tuyến đi qua 
 Vô lí. Vậy không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua 
CÂU II 1/ Giải bất phương trình (1)
(1) 
Û 
2/ Giải phương trình (2) 
 (2) 
CÂU III 1/ Đường tròn có tâm bán kính 
Đường tròn có tâm , bán kính 
Phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn , là 
 (d)
Gọi 
Ta xét 
Vậy 
2/ Tìm là h/c của M lên mp (P) 
Mp (P) có PVT 
Pt tham số qua M, là 
Thế vào pt mp (P): 
. Vậy 
Ta có 
* Đường thẳng đi qua A(1,1,5) và có VTCP 
Ta có 
Mặt phẳng (Q) đi qua M, chứa mp (Q) qua A có PVT là hay nên pt (Q): 
Pt (Q): 
Cách khác: Mặt phẳng (Q) chứa nên pt mp(Q) có dạng:
. Mặt phẳng (Q) đi qua M(5;2; - 3) nên ta có 5 – 4 + 1 = 0 ( loại) hay m( 5 – 4 + 1) + 12 – 3 – 11 = 0 Û m = 1.
Vậy Pt (Q): 
CÂU IV: 1/ Tính 
Ta có: 
2/ Gọi là số cần lập 
Trước tiên ta có thể xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: ta có: cách 
Xếp 1,5 rồi ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại đầu tiên
	4 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 2 
	3 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 3
* Theo qui tắc nhân ta có: số n.
Cách khác : - Bước 1 : xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: ta có: cách 
 -Bước 2 : có cách bốc 3 trong 5 số còn lại rồi xếp vào 3 vị trí còn lại .
Vậy có 20.60 = 1200 số n thỏa ycbt. 
CÂU V. Ta có 
Ta có (1) 
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 
 Þ 
Dấu = xảy ra 
DỰ BỊ 1 KHỐI D:
Câu I: (2 điểm) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y= – x3+ ( 2m + 1) x2 – m – 1 (1) 
 (m là tham số). 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
	2) Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y= 2mx – m – 1.
Câu II:( 2 điểm). 1. Giải bất phương trình : 	
2. Giải phương trình : 
Câu III: (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn 
 (C): x2 + y2 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 
 d : sao cho MI = 2R , trong đó I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C).
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2;0;0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4) 
 a) Tìm tọa độ các điểm A1, B1. Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, O1.
 b) Gọi M là trung điểm của AB.Mặt phẳng ( P ) qua M vuông góc với O1A và cắt OA, OA1 lần lượt tại N, K . Tính độ dài đọan KN.
Câu IV: ( 2 điểm). 1.Tính tích phân .
2. Tìm k sao cho đạt giá trị lớn nhất. ( là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Câu V: (1 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 	
Bài giải
CÂU I
1/ Khảo sát khi m=1
Khi m = 1 thì 
MXĐ: D=R
BBT
0
1
2
-
0
+
+
-
+
+
0
-
-
2
lõm
-2
lõm
0
lồi
lồi
2/ Tìm m để tiếp xúc với 
(d) tiếp xúc với có nghiệm
 có nghiệm
 có nghiệm
 có nghiệm
 có nghiệm
CÂU II: 1/ Giải bpt (1) 
Điều kiện 
(1) 
 Û 
2/ Giải phương trình (2) 
 (2) 
 và 
 va 
 hay .
Ghi chú:Khi sinx ¹ 0 thì cos x ¹ ± 1 
CÂU III. 1/ Đường tròn (C) có tâm , R=5
2/ a/ Vì 
Viết pt mặt cầu (S) qua O, A, B, O1
Ptmc (S): 
Vì 
Vì 
Vì 
Vì 
Vậy (S) có tâm I(1,2,2)
Ta có 
Þ 
Vậy pt mặt cầu (S) là: 
b/ Tính KN
Ta có , 
Mp(P) qua M vuông góc với nên nhận hay (1;0; -2) làm PVT
Þ pt (P): 
(P): 
PT tham số OA là 
Thế vào pt (P): 
Pt tham số là: với hay (1;0;2) là vtcp.
Thế vào pt (P): 
Vậy 
CÂU IV: 1/ Tính 
Đặt Þ và 
Đổi cận: 
2. lớn nhất 
 Û 
CÂU V: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
Điều kiện là .Ta có 
Ta có: (1) và sai khi x > 1
Do đó (1) Û . Vậy, hệ bpt có nghiệm Û
 có nghiệm 
DỰ BỊ 2 KHỐI D:
Câu I: (2 điểm) 1.	Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
2. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt 
Câu II:( 2 điểm). 1. Giải bất phương trình : 	.
2. Giải phương trình : 
Câu III: (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(0;5), 
B(2; 3) . Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R = .
 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 với A(0;0;0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2) a) Xác định tọa độ các điểm còn lại của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1.Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng hai mặt phẳng ( AB1D1) và ( AMB1) vuông góc nhau.
 b) Chứng minh rằng tỉ số khỏang cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 ( N ≠ A ) tới 2 mặt phẳng ( AB1D1) và ( AMB1) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.
Câu IV: ( 2 điểm). 1.Tính tích phân .
2. Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức : . 
 ( Pn là số hóan vị của n phần tử và là số chỉnh hợp chập k của n phần tử)
Câu V: (1 điểm) Cho x, y, z là ba số dương và x yz = 1. Cmrằng : 
 .
Bài giải
CÂU I: 
1/ Khảo sát 
MXĐ: 
BBT
-2
-1
0
+
0
- -
0
+
y
-1
3
Tiệm cận: x=-1 là tc đứng 
 y = x + 2 là tc xiên 
2/ Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt 
Ta có 
Do đó đồ thị có được bằng cách 
Giữ nguyên phần đồ thị (C) có x > -1
Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) có x<-1
Do đó, nhờ đồ thị , ta có 
 pt có 4 nghiệm phân biệt Û m > 3
CÂU II. 1/ Giải bất phương trình 
Ta có (1) . Đặt , (1) thành 
 . Do đó, (1)
2/ Giải phương trình 
(2) 
( 3 )
(phương trình bậc 2 theo sinx) 
Có 
Vậy (2) 
Û 
 Û.
Cách khác: (3)Û 
CÂU III.
1/ Gọi là tâm của đường tròn (C)
Pt (C), tâm I, bán kính là 
(1)
(2)
(1) và ( 2)
Vậy ta có 2 đường tròn thỏa ycbt là 
2/ Ta có ;D(0;2;0)
Mp có cặp VTCP là: 
Þ mp có 1 PVT là 
mp có cặp VTCP là: 
Þ mp có 1 PVT là 
Ta có: Þ 
b/ Þ Pt tham số , 
Pt 
Þ 
Pt 
Þ 
Vậy tỉ số khoảng cách từ tới 2 mặt phẳng và không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. 
CÂU IV: 1/ Tính 
Þ
Do đó 
2/ Tacó: 
CÂU V. Cho x,y, z là 3 số dương thỏa mãn xyz=1
CMR: 
Ta có: 
Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế ta có: 
 ( vì )
 Vậy