Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Đề 2) - Năm học 2013-2014 - Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: TOÁN
Ngày thi: 21/6/2013
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1 (1,5 điểm). Cho biểu thức (với ). 
1. Rút gọn A.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Câu 2 (2,0 điểm). Cho phương trình 	(1)
(với x là ẩn, m là tham số).
1. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm .
2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm m để biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3 (2,0 điểm). 
1. Giải hệ phương trình .
2. Tìm tất cả các cặp số thực (x; y) thỏa mãn .
Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn tâm O bán kính R có đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy một điểm H (H khác O và H khác B). Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tại hai điểm M và N. Trên tia đối của tia NM lấy một điểm C. AC cắt đường tròn tại K khác A, hai dây MN và BK cắt nhau ở E.
1. Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.
2. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh rằng tam giác NKF là tam giác cân.
3. Giả sử KE = KC. Chứng minh rằng là không đổi khi H di chuyển trên đoạn thẳng OB.
Câu 5 (1,5 điểm). 
1. Cho x, y là các số thực thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho là số nguyên.
------HẾT------
Họ và tên thí sinh:..................................................... Số báo danh:...............................................
Họ và tên, chữ ký:
Giám thị 1:..................................................................................................
Giám thị 2:..................................................................................................