Đề thi tuyển sinh môn Toán (Chuyên) Lớp 10 THPT Chuyên năng khiếu Trần Phú (Ngày thi 25-6-2012) - Năm học 2012-2013 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng (Có đáp án)

 1 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HẢI PHÒNG 
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NĂNG KHIẾU TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2012- 2013 
Môn thi: TOÁN (chuyên)Thời gian làm bài: 150 phút 
Ngày thi 25 tháng 6 năm 2012 
Đề thi gồm : 01 trang 
Câu I (2,0 điểm) 
1) Cho 
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
A
x x x x
  
  
   
Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của A 
2) Cho phương trình 
2 ax 0x b   có hai nghiệm nguyên dương biết a,b là hai số 
dương thỏa mãn 5a + b = 22.Tìm hai nghiệm đó. 
Câu II ( 2,0 điểm) 
1) Giải phương trình:
2 4 234 6 1 16 4 1
3
x x x x      
2) Giải hệ phương trình:
2
2 2
1
4 1
4
x x
y
y y xy

  

   
Câu III (1,0 điểm) Cho ba số dương a,b,c .Chứng minh rằng:
4 9
4
a b c
b c c a a b
  
  
Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < AC) có trực tâm H, nội tiếp đường tròn tâm O, 
đường kính AA’.Gọi AD là đường phân giác trong của góc BAC ( )D BC .M,I lần lượt là 
trung điểm của BC và AH. 
1) Lấy K đối xứng với H qua AD.Chứng minh K thuộc đường thẳng AA’. 
2) Gọi P là giao điểm của AD với HM.Đường thẳng HK cắt AB và AC lần lượt tại Q 
và R.Chứng minh rằng Q và R lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên AB,AC. 
Câu V (3,0 điểm) 
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
4 4 4 2012x y z   
2) Cho hình vuông 12x12, được chia thành lưới các hình vuông đơn vị. Mỗi đỉnh của 
hình vuông đơn vị này được tô bằng một trong hai màu xanh đỏ. Có tất cả 111 đỉnh màu đỏ. 
Hai trong số những đỉnh màu đỏ này nằm ở đỉnh hình vuông lớn, 22 đỉnh màu đỏ khác nằm 
trên cạnh cạnh của hình vuông lớn (không trùng với đỉnh của hình vuông lớn ) hình vuông đơn 
vị được tô màu theo các quy luật sau: cạnh có hai đầu mút màu đỏ được tô màu đỏ, cạnh có hai 
đầu mút màu xanh được tô màu xanh, cạnh có một đầu mút màu đỏ và một đầu mút màu xanh 
thì được tô màu vàng. Giả sứ có tất cả 66 cạnh vàng. Hỏi có bao nhiêu cạnh màu xanh. 
----------------------------Hết---------------------------- 
Họ và tên thí sinh. Số báo danh... 
Chữ kí của giám thị 1: . Chữ kí của giám thị 2:  
ĐỀ CHÍNH THỨC 
 2 
Lời giải một số câu 
Câu I 
1)
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
A
x x x x
  
  
   
15 11 (3 2)( 3) (2 3)( 1)
( 1)( 3)
x x x x x
A
x x
      
 
 
17
5
3
A
x
   

, A lớn nhất 0x  khi đó A lớn nhất bằng 
2
3
. 
2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm nguyên dương của phương trình (x1 < x2) 
Ta có a = –x1 – x2 và b = x1x2 nên 
 5(–x1 – x2) + x1x2 = 22 
 x1(x2 – 5) – 5(x2 – 5) = 47 
 (x1 – 5)(x2 – 5) = 47 (*) 
Vì 1 1 1x Z x
   nên với giả sử 1 2x x 
Ta có: –4 ≤ x1 – 5 < x2 – 5 nên 
(*)  1
2
x 5 1
x 5 47
 

 
  1
2
x 6
x 52



. 
Khi đó: a = – 58 và b = 312 thoả 5a + b = 22. Vậy hai nghiệm cần tìm là x1 = 6; x2 = 52. 
Câu II: 
1) 
2 4 234 6 1 16 4 1
3
x x x x     
2 2 2 232(4 2 1) (4 2 1) (4 2 1)(4 2 1)
3
x x x x x x x x            
Dễ thấy 
2 2 2 2 2 24 2 1 3 ( 1) 0, & 4 2 1 3 ( 1) 0,x x x x x x x x x x              nên đặt 
2 24 2 1, 4 2 1 , 0, 0a x x b x x b a b         
Ta có phương trình
2 2 32
3
a b ab   
2 26 3 3 0a ab b    
26( ) 3( ) 3 0
a a
b b
    
2
2
3
4 2 1 1 12
4 2 1 3 23
,( )
3
a
x xb
x
x xa
TM
b

   
    
 


2)Giải hệ phương trình 
2
2 2
1
4 1 (1)
4 (2)
x x
y
y y xy

  

   
 3 
Nếu y = 0 thì (2) vô lí nên 0y  vậy 
2
1 4
(2) 1 x
y y
    
Đặt 
1
b
y
 ta có hệ 
2
2
4 1 (1')
4 1 (2')
x x b
b b x
   

  
Lấy ( 1’) – ( 2’) ta có (x-b) (2x+2b-1) = 0 
*) Nếu x = b ta có hai nghiệm 
1
( , 2)
2
  và 
1
( ;2)
2
*) Nếu 2x + 2b = 1 thì hệ vô nghiệm 
Vậy hệ có hai nghiệm 
1
( , 2)
2
  và 
1
( ;2)
2
Câu V 
1) 
Giả sử một số nguyên là số chẵn có dạng 2k thì 
4 4(2 ) 16 0(mod8)k k  
Nếu Số nguyên là số nguyên lẻ có dạng 2k + 1 thì 
4 2(2 1) (4 1) 16 1 1(mod8)k t h      nên với k ,t,h là các số nguyên 
4 4 4, , 0,1,2,3(mod8)x y z Z x y z     
Nhưng 2012 4 ( mod 8) 
 Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. 
2) Có 111 đỉnh màu đỏ,trong đó có 22 đỉnh nằm trên cạnh của hình vuông,, 87 đỉnh nằm 
lọt trong hình vuông lớn.Từ đó ta thấy có hai điểm màu xanh ở hai góc của hỉnh vuông 
lớn, 22 điểm màu xanh trên các cạnh của hình vuông lớn không nằm trên đỉnh của hình 
vuông lớn còn lại có 34 điểm màu xanh nằm lọt trong hình vuông.Với 312 cạnh của cả 
hình, ta cho đình của mỗi cạnh như sau: trong 2 mút của nó có i điểm màu xanh thì cho 
i điểm.Gọi tổng số điểm là S, ta có S = 2 ( số cạnh màu xanh) + số cạnh vàng.Ta lại có 
thể đếm số S theo cách khác:Mỗi điểm xanh ở góc là mút của hai đoạn, các điểm còn lại 
là mút của 4 đoạn.Vậy S = 2 x 2 + 22 x 3+ 34 x 4 = 206, suy ra số cạnh xanh là : ( 206 – 
66):2 = 70 cạnh màu xanh. 
Câu III: Chứng minh rằng: 
4 9
4
a b c
b c c a a b
  
  
1 4 9
( )( ) 18a b c
b c a c a b
     
  
Thật vậy: 
21 4 9 4( ) 9( )[( ) ( ) )]( ) ( ) 36
( ) ( )
b c a c a b
b c a c a b
b c a c a b b c a c a b
  
          
     
1 4 9
( )( ) 18a b c
b c a c a b
     
  
 Điều phải chứng minh 
. 
Bài hình: 1) Tam giác ABA’ có: 0' 90 , 'ABC A BC ABC BAN A BC BAN     
 4 
P
R
Q
K
M
I
H
D
o
A
A'
B
C
Lại có 
 ' 'A AC A BC ( cùng chắn cung 'A C ) nên 'BAN A AC 
Cũng có BAD CAD BAD BAN CAD CAN      
Mặt khác H đối xứng với K qua AD HAD KAD , H thuộc AN nên K thuộc AA’ 
2) Bạn tự giải nhé.