Đề thi tuyển sinh môn Toán (Chuyên) Lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi - Năm học 2017-2018 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2017 – 2018
Môn thi: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm) 
1) Tính giá trị của biểu thức biết . 
	2) Rút gọn biểu thức: với và .
Câu 2 (2,0 điểm)
1) Giải phương trình: 
2) Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (2,0 điểm)
	1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
	2) Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn: và là số chính phương.
Câu 4 (3,0 điểm) 
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C, kẻ tiếp tuyến CD, CE với (O), trong đó D, E là các tiếp điểm và E nằm trong (O’). Đường thẳng AD, AE cắt (O’) lần lượt tại M và N (M, N khác A). Tia DE cắt MN tại I, OO’ cắt AB và DI lần lượt tại H và F.
1) Chứng minh: FE.HD = FD.HE.
2) Chứng minh: MB.EB.DI = IB.AN.BD.
3) Chứng minh: O’I vuông góc với MN.
Câu 5 (1,0 điểm) 
Cho là các số dương thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 
--------------------------------------- Hết ---------------------------------------
Họ và tên thí sinh: ... Số báo danh: 
Chữ kí của giám thị 1: .. Chữ kí của giám thị 2: 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI
NĂM HỌC 2017 – 2018
Câu
Nội dung chính
Điểm
1.1
Tính giá trị của biểu thức biết .
1,0
Ta có: 
0,25
0,25
Ta có: 
0,25
0,25
1.2
Rút gọn biểu thức: với và .
1,0
Ta có 
Xét 
0,25
Ta có
Xét 
0,25
0,25
0,25
2.1
Giải phương trình: 
1,0
ĐK: 
0,25
PT 
0,25
Với 
0,25
Với 
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 3 và x = 4.
0,25
2.2
Giải hệ phương trình: 
1,0
Điều kiện: 
Phương trình (2) 
0,25
Thay y = 1 vào phương trình (1) ta được: 
.
*) suy ra nghiệm 
*) 
0,25
Thay y = 3 – x vào phương trình (1) ta được: 
Với 
Khi < 0 (loại)
Khi (Thỏa mãn điều kiện)
0,25
Với 
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm là (3;1); (-1;4); 
0,25
3.1
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
1,0
Phương trình 
Ta có: 
Do y nguyên nên 
0,25
Với y = 0 thay vào (*) ta được: (thỏa mãn)
Với y = 1 thay vào (*) ta được: (loại)
Với y = -1 thay vào (*) ta được: (loại)
0,25
Với y = 2 thay vào (*) ta được: (loại)
Với y = -2 thay vào (*) ta được: (loại)
Với y = 3 thay vào (*) ta được: (loại)
Với y = -3 thay vào (*) ta được: (loại)
0,25
Với y = 4 thay vào (*) ta được: (thỏa mãn)
Với y = -4 thay vào (*) ta được: (thỏa mãn)
Vậy phương trình có các cặp nghiệm nguyên là: (-6;0); (2;0); (6;4); (-10;-4)
0,25
3.2
Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn: và là số chính phương.
1,0
Nếu x = y thì . Đặt (*) với 
Ta có: = 1.9
Dosuy ra nên 
suy ra x = y = 1 thỏa mãn
0,25
Nếu x y, do vai trò của x, y như nhau, không mất tính tổng quát giả sử x < y
Khi đó 
Do x, y nguyên dương suy ra 
Ta có: . Đặt (**) với 
0,25
Vì suy ra nên có các trường hợp sau:
TH1: (thỏa mãn)
TH2: (loại)
0,25
TH3: (loại)
TH4: (loại)
Vậy các số nguyên dương (x; y) thỏa mãn là (1; 1); (11; 16); (16;11)
0,25
4.1
Chứng minh: FE.HD = FD.HE
1,0
(O) cắt (O’) tại A, B (1)
CD, CE là tiếp tuyến của (O) tại D, E (2)
0,25
Từ (1) và (2) C, D, O, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính CO
0,25
mà CD = CE 
 HC là phân giác của 
0,25
Mặt khác tại H hay tại H
 HF là phân giác ngoài tại H của 
0,25
4.2
Chứng minh: MB.EB.DI = IB.AN.BD.
1,0
Trong (O) có: 
Trong (O’) có: 
BDMI là tứ giác nội tiếp 
0,25
Xét và có: 
 đồng dạng với (3)
0,25
Xét và có: 
 đồng dạng với (4)
0,25
Từ (3) và (4) 
0,25
4.3
 Chứng minh: O’I vuông góc với MN.
1,0
Xét và có: (vì )
 (vì BDMI nội tiếp)
 đồng dạng với (5)
0,25
Xét và có: chung; 
 đồng dạng với 
mà CD = CE (6)
0,25
Xét và có: chung; 
 đồng dạng với (7)
0,25
Mặt khác đồng dạng với (theo phần b) (8)
Từ .
0,25
5
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
1,0
Đặt 
Ta có suy ra 
0,25
Ta có: 
Tương tự: 
0,25
Ta có: 
 (luôn đúng) do đó 
Suy ra: 
0,25
Dấu ‘=’ xảy ra 
Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng khi 
0,25
Ghi chú: 
- Thực tế học sinh có thể có cách làm khác. Nếu học sinh làm đúng, cách làm phù hợp thì phần đó vẫn đạt điểm tối đa.