Đề thi tuyển sinh môn Toán (Chuyên Toán) vào Lớp 10 THPT chuyên Hoàng Văn Thụ (Ngày thi 7-6-2015) - Năm học 2015-2016 - Sở GD&ĐT Hòa Bình (Có đáp án)

SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ 
NĂM HỌC 2015-2016 
ĐỀ THI MÔN TOÁN 
(DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN) 
Ngày thi: 07 tháng 6 năm 2015 
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
(Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu) 
Câu I (2,0 điểm) 
1) Tính giá trị của các biểu thức sau: 
4 8 15
)
3 5 1 5 5
) 2 2 2 1 2 2 2 1
a A
b B
  
 
     
2) Rút gọn biểu thức: 
2 2
1
1 1
a a a a
C a
a a a a
 
   
   
Câu II (2,0 điểm) 
1) Giải phương trình:
1 1 1 1
3 1 2 4 9 2 5 4x x x x
  
   
2) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: 
3 3 2
x y z
x y z
 

 
Câu III (2,0 điểm) 
Một vận động viên A chạy từ chân đồi đến đỉnh đồi cách nhau 6km với vận tốc 10km/h rồi chạy 
xuống dốc với vận tốc 15km/h. Vận động viên B chạy từ chân đồi lên đỉnh đồi với vận tốc 
12km/h và gặp vận động viên A đang chạy xuống. Hỏi điểm hai người gặp nhau cách đỉnh đồi 
bao nhiêu ki-lô-mét, biết rằng B chạy sau A là 15 phút. 
Câu IV (3,0 điểm) 
Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây MN có độ dài bằng bán kính (M thuộc cung AN, M 
khác A, N khác B). Các tia AM và BN cắt nhau tại I, các dây AN và BM cắt nhau tại K. 
1) Chứng minh rằng: IK vuông góc với AB. 
2) Chứng minh rằng:AK.AN+BK.BM=AB2 
3) Tìm vị trí của dây MN để diện tích tam giác IAB lớn nhất. 
Câu V (1,0 điểm) 
1) Chứng minh rằng nếu p và (p+2) là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng chia 
hết cho 12. 
2) Cho 
0, y 0, 0
1
x z
xyz
  


.Chứng minh rằng: 
1 1 1
1
1 1 1x y y z z x
  
     
-------- Hết -------- 
SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ 
NĂM HỌC 2015-2016 
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 
(DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN) 
(Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang) 
Câu I (2,0 điểm) 
Phần 
ý 
Nội dung Điểm 
1 4 8 15
3 5 1 5 5
4(3 5) 8(1 5) 15 5
3 5 2 2 5 3 5 5
4 4 5
A   
 
 
        

0,5đ 
2 2
2 2 2 1 2 2 2 1
( 2 1 1) ( 2 1 1)
2 1 1 1 2 1
2
B      
     
     

0,5đ 
2 2 2
3 3
1 (DK : a 0)
1 1
( ) 1 ( ) 1
C 1
1 1
a a a a
C a
a a a a
a a a a
a
a a a a
 
    
   
    
      
   
0,5đ 
2
( 1) ( 1) 1
1
( 1)
a a a a a
a a a a a
a
     
     
 
0,5đ 
Câu II (2,0 điểm) 
Phần 
ý 
Nội dung Điểm 
1 1 1 1 1
3 1 2 4 9 2 5 4x x x x
  
   
: ĐK: 
1 2 5
, 2, ,
3 9 4
x x x x     
0,25đ 
Ta có pt:
5 3 5 3
(3 1)(2 4) (9 2)(5 4 )
x x
x x x x
 

   
0,25đ 
 2 2
33
55
(3 1)(2 4) (9 x 2)(5 4 x) 6 12 2 4 36 45 8 10
3
( )
5
6
( )
7
1
( )
6
xx
x x x x x x x x
x TM
x TM
x TM
 
   

             

 

 


 

Vậy phương trình đã có có 3 nghiệm phân biệt như trên. 
0,5đ 
2 Ta có: 3 3 2 2 2( ) ( )( ) 0x y x y x y x xy y x y          0,25đ 
Vì x, y nguyên dương nên x+y  0, ta có: 2 2 0x xy y x y     
2 2
2 2 2
2( ) 0
( ) ( 1) (y 1) 2
x xy y x y
x y x
     
      
0,25đ 
Vì x, y nguyên nên có 3 trường hợp: 
+ Trường hợp 1: 2
2
0
( 1) 1 2, 4
( 1) 1
x y
x x y z
y
 

     

 
0,25đ 
+ Trường hợp 2: 2
2
1 0
( ) 1 1, 2, 3
( 1) 1
x
x y x y z
y
 

     

 
+ Trường hợp 3: 2
2
1 0
( ) 1 2, 1, 3
(x 1) 1
y
x y x y z
 

     

 
Vậy hệ có 3 nghiệm (1,2,3);(2,1,3);(2,2,4) 0,25đ 
Câu III (2,0 điểm) 
Phần 
ý 
Nội dung Điểm 
 Gọi điểm 2 vận động viên gặp nhau cách đỉnh đồi x km (x>0) 0,25đ 
Thời gian B đã chạy là 
6
12
x
 . Đổi 15p = 
1
4
 (giờ) 
0,25đ 
Thời gian A đã chạy từ chân đồi đến đỉnh đồi là 
6 3
10 5
 (giờ) 
0,25đ 
Thời gian A đã chạy từ đỉnh đồi đến chỗ gặp nhau là 
15
x
. 
0,25đ 
Ta có phương trình 
1 6 3
4 12 15 5
x x
   
0,5đ 
Giải phương trình được x= 1(km) . KL 0,5đ 
Câu IV (3,0 điểm) 
Phần Nội dung Điểm 
ý 
1 Ta thấy AN BI ,BM AI , nên K là trực tâm tam giác IAB. Do đó IK AB 1,0đ 
2 Vì AEK∽ ANB ∽ nên AK. AN =AE .AB 0,25đ 
Tương tự vì BEK∽ BMA ∽ nên BK .BM =BE. BA 0,25đ 
Vậy AK.AN+BK.BM=AE.AB+BE.BA=AB2 0,5đ 
3 Chỉ ra sđ MN=60
o
 nên tính được AIB=60o , do đó điểm I thuộc cung chứa góc 60o dựng trên 
đoạn AB. 
0,5đ 
Diện tích tam giác IAB lớn nhất khi IE lớn nhất (IE là đường cao của tam giác IAB), khi đó I 
nằm chính giữa cung chứa góc 60o dựng trên đoạn AB tương ứng với MN song song với AB. 
0,5đ 
Câu V (1,0 điểm) 
Phần 
ý 
Nội dung Điểm 
1 Ta có: p+(p+2)=2(p+1) 0,25đ 
Vì p lẻ nên ( 1) 2 2( 1) 4p p   (1) 
Vì p, (p+1), (p+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho 3, mà p và (p+2) 
nguyên tố nên ( 1) 3p (2) 
0,25đ 
Từ (1) và (2) suy ra  ( 2) 12p p  (đpcm) 
2 
Đặt 
3
3
3
x a
y b
z c
 




, vì 
, , 0 , , 0
1 1
x y z a b c
xyz abc
  
 
  
0,25đ 
Ta có 
3 3 2 21 1 ( )( ) 1 ( ) 1 ( )
a b c
x y a b a b a ab b a b ab ab a b c
c
 
                 
Do đó 
1
1
c
x y a b c

   
0,25đ 
Tương tự ta có 
11
1
1
a
y z a b c
b
z x a b c

   

   
Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm. 
* Chú ý: Các lời giải đúng khác đều được xem xét cho điểm tương ứng.