Đề thi tuyển sinh môn Toán Lớp 10 THPT Chuyên Lê Quý Đôn ( Chuyên Toán Tin - Khóa ngày 15-6-2013) - Năm học 2013 -2014 - Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Định (Có đáp án)

Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định 
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014 
 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 
 Đề chính thức Môn thi: Toán ( Chuyên toán - tin ) 
 Ngày thi: 15/6/2013 Thời gian làm bài: 150’ 
Bài 1: ( 2,5 đ) Cho biểu thức:  x 2 x 2Q x x
x 1x 2 x 1
  
   
   
 ( Với x ≥ 0 ; x ≠ 1) 
1. Rút gọn Q 
2.Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên 
Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình: 
x 2 3 13
x 3 y 1 10
3 2y 4 11
x 3 y 1 6
 
 
 

   
  
Bài 3: (1,5 đ) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR : 
bc ca ab
a b c
a b c
     . 
Bài 4: (3 đ) Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng (d) không đi qua O cắt đường tròn tại hai 
điểm A,B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn ( 
C,D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB. 
 1. CMR các điểm M,D,O,H cùng nằm trên một đường tròn. 
 2. Đoạn OM cắt đường tròn tại điểm I. CMR I là tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD. 
 3. Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm 
vị trí điểm M trên (d) sao cho diện tích ∆ MPQ bé nhất. 
Bài 5: (1 đ) : Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức: A 7 13 7 13 2     
---*--- 
Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Bài 1: ( 2,5 đ) Cho biểu thức:  x 2 x 2Q x x
x 1x 2 x 1
  
   
   
 ( Với x ≥ 0 ; x ≠ 1) 
1.Rút gọn Q 
 
    
 
     
  
 
  
2
2
x 2 x 2 x 2 x 2
Q x x x x 1
x 1x 2 x 1 x 1 x 1x 1
x 2 x 1 x 2 x 1
x x 2 x x 2 2x
. x x 1 . x
x 1x 1 x 1x 1 x 1
 
      
               
 
         
   
  
 2.Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên: 
 Q=    
2x 2
2 Q x 1 U(2)= 2; 1;1;2 x 1;0;2;3
x 1 x 1
           
 
 Kết hợp với điều 
kiện =>  x 0;2;3 
 Vậy với  x 0;2;3 thì Q nhận giá trị nguyên. 
Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình: 
x 2 3 13 1 3 13 1 3 3
1
x 3 y 1 10 x 3 y 1 10 x 3 y 1 10
3 2y 4 11 3 2 11 3 2 1
2
x 3 y 1 6 x 3 y 1 6 x 3 y 1 6
  
        
       
   
          
         
 ( ĐK x ≠ 3; y ≠ -1) 
Đặt a =
1
x 3
; b=
1
y 1
 ta được hệ :
1 13 1
a 3b a
x 13x 3 1010 10
... (TMDK)
1 11 1 y 14
3a 2b b
y 1 156 15
         
      
     
    
 Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất (x;y) = (13;14) 
Bài 3: (1,5 đ) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR : 
bc ca ab
a b c
a b c
     . 
 a,b,c là các số thực dương => Theo BĐT Cô-Si ta được: 
 
bc ca bc ca
2 . 2c
a b a b
ca ab ab ca bc ca ab bc ca ab
2 . 2a 2 2. a b c a b c
b c c b a b c a b c
bc ab bc ab
2 . 2b
a c a c

   

  
                
 

   

Bài 4: (3 đ) 
 1. CMR các điểm M,D,O,H cùng nằm trên một đường tròn. 
 HA=HB => OH  AB ( đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm) => OHM = 900 
 Lại có ODM = 900 ( Tính chất tiếp tuyến) 
Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định 
(d)
P
Q
I
H
C
D
BA
O
M
 Suy ra OHM =ODM = 90
0
 => H,D cùng nhìn đoạn OM dưới 1 góc vuông => H,D cùng nằm trên 
đường tròn đường kính OM => các điểm M,D,O,H cùng nằm trên đường tròn đường kính OM 
 2. Đoạn OM cắt đường tròn tại điểm I. CMR I là tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD. 
 Ta có: COI DOI ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)=> CI DI => CDI DIM => DI là phân 
giác trong của ∆ MCD (1) 
Lại có MI là đường phân giác trong của ∆ MCD ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2) 
Từ (1) và (2) suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ MCD 
 3. Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí 
điểm M trên (d) sao cho diện tích ∆ MPQ bé nhất. 
Ta có ∆MOD = ∆MOP (g-c-g) => S∆ MPQ= 2 S∆ MOQ =OD.MQ = R.MQ 
=> S∆ MPQ nhỏ nhất  MQ nhỏ nhất (3) 
Theo BĐT Cô – si cho hai số không âm , 
ta có: MQ = MD+DQ ≥ 22 MD.DQ 2 OD 2OD 2R   
( Vì ∆ MOD vuông tại O có đường cao OD nên OD2=MD.DQ ) 
Dấu “=” xảy ra MD= DQ ∆OMQ vuông cân tại O 
 0OMD 45 OM
0
OD R
2.R
sinOMD sin 45
   
 (Vì ∆ ODM vuông nên OD= OM.sinOMD ) 
Vậy MQmin = 2R  OM = 2 R (2) 
Từ (3) và (4) suy ra khi M nằm trên (d) cách O một khoảng 2 R thì S∆ MPQ nhỏ nhất là R.2R=2R
2
 ( 
d.v.d.t) 
Bài 5: (1 đ) : A 7 13 7 13 2     .Ta có: 
   
2 2
2.A 14 2 13 14 2 13 2 13 1 13 1 2
13 1 13 1 2 13 1 13 1 2 0
A 0
         
          
 