Đề thi tuyển sinh môn Toán Lớp 10 THPT (Dành cho lớp chuyên) - Năm học 2013-2014 - Sở Giáo dục và Đào tạo Lạng Sơn (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
LẠNG SƠN 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT 
NĂM HỌC 2013 – 2014 
Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên) 
 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu 
Câu 1 (2 điểm) 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và 
parabol (P): y = - x
2
. 
a. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2); 
b. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), 
B(x2; y2). 
 Tìm m để (x1 – x2)
2
 + (y1 – y2)
2
 = 25. 
Câu 2 (2 điểm) 
 a. Giải hệ phương trình 
3x 2y
2
x 1 y 1
2x 3y
10
x 1 y 1

   

  
  
 ; 
 b. Tìm x, y thỏa mãn x – y + 1 = 2 x y x 2   . 
Câu 3 (2 điểm) 
a. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh BC, gọi D, E 
lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí điểm M để DE có độ 
dài nhỏ nhất.
b. Với x là số thực. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 
2
3x 4
x 1


Câu 4 (3 điểm) 
 Cho đường tròn đường kính AB; C là một điểm trên đường tròn (C 
khác A, B). Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC, 
các tia AI, CI lần lượt cắt đường tròn tại D, E. 
a. Chứng minh tam giác EAI cân; 
 b. Chứng minh: IC.IE = IA.ID; 
c. Giả sử biết BI = a, AC = b. Tính AB theo a, b. 
Câu 5 (1 điểm) 
Chứng minh trong các số có dạng 20142014 ... 2014 có số chia hết cho 2013. 
ĐÁP ÁN 
Câu Ý N i un nh ày Điểm 
Câu 1 
2 điểm 
a 
Đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2) 2 = 2.1 – m + 1 0,5 
Vậy: m = 1 0,5 
b 
Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt x2 + 2x – 
m + 1 = 0 
có hai nghiệm phân biệt ' m 0   
0,25 
Theo Định lí Viet: x1 + x2 = - 2, x1x2 = - m + 1 0,25 
Có: y1 = 2x1 – m + 1, y2 = 2x2 – m + 1 => y1 – y2 = 2(x1 – x2) 
Nên: 25 = (x1 – x2)
2
 + (y1 – y2)
2
 = 5(x1 – x2)
2
 => (x1 – x2)
2
 = 5 
0,25 
Hay: (x1 + x2)
2
 - 4x1x2 = 5 => 4 – 4(- m + 1) = 5 => m = 5/4 (t/m) 0,25 
Câu 
2 
2 
điểm 
a Đặt 
x y
u ; v
x 1 y 1
 
 
 0,25 
Khi đó có hệ: 
3u 2v 2 9u 6v 6 u 2
2u 3v 10 4u 6v 20 v 2
      
   
      
 0,25 
Từ: 
x y
2 x 2; 2 y 2
x 1 y 1
      
 
 0,25 
Vậy hệ có nghiệm (2; -2) 0,25 
b 
Ta có: x – y + 1 = 2 x y x 2 x y 1 2 x y x 2 0           . 0,25 
Hay:  
2
x y 1 x 2 0     . 0,25 
Suy ra:  
2
x y 1 x 2 0 x y 1 x 2 0           . 0,25 
Vì vậy có: x = 2; y = 1. 0,25 
Câu 
3 
2 
điểm 
a 
Do: 0ADM AEM DAE 90   nên ADME 
là hình chữ nhật 
0,25 
Nên : DE = AM 0,25 
DE nhỏ nhất AM nhỏ nhất 
AM BC 
0,25 
Vì vậy : M là chân đường cao hạ từ A 0,25 
b 
A = 2 2
2
3x 4
A(x 1) 3x 4 Ax 3x A 4 0
x 1

        

, (*) có nghiệm x 0,25 
Nếu A = 0 từ (*) có : x = -4/3 0,25 
Nếu A  0 có : 2
1 9
9 4A(A 4) 4(A 2) 25 0 A
2 2

            0,25 
Vậy : 
1 b 9 1
min A khi x 3; max A khi x
2 2a 2 3
 
      0,25 
E
D
B
A
CM
Câu 
4 
3 
điểm 
a 
 Vẽ hình để chứng minh a 
0,25 
Do AD, CE là các đường phân giác 
nên : 
DC DB, EB EA  
0,25 
Do đó: DC EA DB EB   0,25 
Suy ra: AIE IAE 
Vậy: tam giác EAI cân tại E 
0,25 
b 
Ta có: AIE CID (đối đỉnh) 0,25 
 EAI DCI (cùng chắn cung DE) 0,25 
Do đó : ICD IAE  . 0,25 
Suy ra: 
IC ID
IC.IE IA.ID
IA IE
  
0,25 
c 
AC cắt BD tại F. Do AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao 
nên ABF cân. Do đó AF = AB = x > 0 
0,25 
Do: 0DIB IBA IAB 45   nên BID vuông cân 
suy ra: DB = a/ 2 => BF = a 2 
0,25 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB và BCF có: 
BC
2
 = AB
2
 – AC2 = BF2 – CF2 hay: x2 – b2 = 2a2 – (x – b)2 x2 - 
bx - a
2
 = 0 
0,25 
Có: x = 
2 2b b 4a
2
 
 (loại), x = 
2 2b b 4a
2
 
. Vậy AB = 
2 2b b 4a
2
 
0,25 
Câu 
5 
1 
điểm 
 Ta xét 2014 số khác nhau có dạng 201420142014 = an, có n bộ 
2014. n N* 
Trong 2014 số này có ít nhất hai số khi chia cho 2013 có cùng số dư. 
0,25 
Giả sử 2 số đó là ai , aj (j > i). Khi đó aj – ai 2013 
hay: 
j sô 2014 i sô 2014 j í sô 2014 4i sô 0
20142014...2014 20142014...2014 20142014....20140000...0000 2013

  0,25 
Số có dạng 201420142014 . 104i  2013 
Vì UCLN(10, 2013) = 1 nên UCLN(10
n, 2013) = 1 với mọi n  N* 
0,25 
Vậy: có số dạng 201420142014 chia hết cho 2013 0,25 
I
F
E
D
O
A B
C