Đề thi tuyển sinh môn Toán vào Lớp 10 THPT Chuyên - Vòng 1 - Năm học 2010-2011 - Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên (Có đáp án)

Bộ giáo dục đào tạo	 cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường đại học khoa học tự nhiên	 Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2011
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút 
Cõu 1 	a) Giải hệ phương trỡnh:
 	b)Giải phương trỡnh:
Cõu 2
 	a) Chứng minh rằng khụng tồn tại cỏc bộ ba số nguyờn  thỏa món đẳng thức:
 	b) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn  thỏa món đẳng thức: 
Cõu 3
 	Cho hỡnh bỡnh hành ABCD với . Đường phõn giỏc của gúc  cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BCD tại O khỏc C. Kẻ đường thẳng (d) đi qua A và vuụng gúc với CO. Đường thẳng (d) lần lượt cắt cỏc đường thẳng CB, CD tại E, F.
 	a) Chứng minh rằng .
 	b) Chứng minh rằng O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CEF.
 	c) Gọi giao điểm của OC và BD là I. Chứng minh rằng .
Cõu 4 Với x, y là những số thực dương, tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
----------------------------------Hết-----------------------------------
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh...................................................Số báo danh.....................
Cõu 1 	a) Giải hệ phương trỡnh:
 Đặt a – 1 = a, y – 2 = b ta có 
 Từ (2) ta có thay vào (1) ta có 
 => b = 0	=> x = 1; y = 2	
b)Giải phương trỡnh:
 ( x > 0)
x5 – 4x4 +6x3 – 16x2 + 25x – 12= 0 ú ( x- 1)2)x-3)( x2 + x+ 4) = 0
x = 1 hoặc x = 4 
Cõu 2
 a) Chứng minh rằng khụng tồn tại cỏc bộ ba số nguyờn  thỏa món đẳng thức:
 x4 + y4 = 7z4 + 5 => x4 + y4 + z4 = 8z4 + 5	
 => x, y, z cùng lẻ hoặc chỉ có 1 số lẻ
Với x, y, z cùng lẻ => x4 + y4 + z4 chia 8 dư 3 mà 8z4 + 5 chia 8 dư 5 ( vô lí)	
Với x, y, z cùng lẻ hoặc chỉ có 1 số lẻ => x4 + y4 + z4 chia 8 dư 1 mà 8z4 + 5 chia 8 dư 5 ( vô lí)
Vậy không tồn tại bộ ba số x, y, z thoả mãn đẳng thức
b) ( x + 1) 4 – ( x – 14 = y3ú y3 = 8x(x2 +1) 
Nếu x > 0 => 8x(x2 +1) > (2x)3 và 8x(x2 +1) (2x)3 < y3 < (2x+1)3 
=> không có giá trị nào của y nguyên thoả mãn.
Tương tự với x < 0 ta cũng có kết quả như trên.
Với x = 0 => y = 0 ( thoả mãn)
Câu 3 
a)Tam giác CEF cân tại C nên CO là trung trực của EF và , OE = OF
=> Tam giác BAE cân tại B => BE = BA = DC.
=> Tam giác DAF cân tại D => DA = DF = BC.
Tứ giác BCDO nội tiếp => 
=> 
b) => OC = OE mà OE = OF 
=> O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
c) CI cắt AD tại K.
KD // BC => => Đpcm
Câu IV Ta có 
 Đặt
=>