Đề thi tuyển sinh môn Toán vào Lớp 10 THPT chuyên - Vòng 2 - Năm học 2010-2011 - Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên (Có đáp án)

 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI	 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2011
MÔN THI: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu1:	
1.Giải phương trình: 
2.Giải hệ phương trình :
Câu 2:  
1.Với mọi số thực a, ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất
 không vượt quá a và kí hiệu là : [a].
 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương  thì biểu thức:
 không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên.
 	2. Với x, y là các số thực dương thảo mãn đẳng thức: 
Tìm GTNN của biểu thức: 
Câu 3: 
Cho hình thang ABCD với BC song song AD. Các góc  và 
  là các góc nhọn. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở I. P là điểm 
 bất kì trên đoạn thẳng BC ( P không trùng B,C). Giả sử đường tròn ngoại tiếp
 tam giác BIP cắt đoạn thẳng PA ở M khác P và đường tròn ngoại tiếp tam 
 giác CIP cắt đoạn thẳng PD tại N khác P.
 	 1. Chứng minh rằng 5 điểm A, M, I, N, D cùng nằm trên 1 đường tròn, 
 gọi đường tròn này là (K)
 2. Giả sử BM cắt CN ở Q, chứng minh Q cũng thuộc (K)
 	 3. Trong trường hợp P, I, Q thẳng hàng, chứng minh rằng: 
Câu 4: Giả sử A là 1 tập con của tập các số tự nhiên N. Tập hợp A có phần tử 
 nhỏ nhất là 1, phần tử lớn nhất là 100 và mỗi x thuộc A (x khác 1) luôn tồn 
 tại a, b cũng thuộc A sao cho (a có thể bằng b). Hãy tìm một tập 
 hợp A có số phần tử nhỏ nhất. 
Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm.
§¸p ¸n
Câu1:	
1.Giải phương trình: 
2.Giải hệ phương trình :
 §Æt x + y = a, xy = b 
ta cã
Gi¶i(2) ta ®­îc hoÆc 
 Suy ra x = 0; y= 0 hoÆc x = y = 1
Câu 2:  
=> n + a2 kh«ng lµ lËp ph­¬ng cña mét sè nguyªn.
	2. Với x, y là các số thực dương thảo mãn đẳng thức: 
=> AMin khi x = y =1, z =2.
Ta cã =>
Tø gi¸c AMID néi tiÕp 
T­¬ng tù ta cã tø gi¸c AIND néi tiÕp
§PCM
b) 
=>
=> Tø gi¸c QMIN néi tiÕp 
=> §pcm.
c) P, I, Q th¼ng hµng mµ => QA = QD 
=> mµ 
Mµ 
C©u V
A cã sè phÇn tö Ýt nhÊt lµ 9 víi c¸c phÇn tö lµ 1; 2; 3; 6; 12; 24; 25; 50; 100.