Đề và đáp án đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh năm 2010 môn Toán

Trêng THPT Thµnh Sen GV: TrÇn V¨n §øc-0977864088
ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH
NĂM 2010
Thời gian 180 phút
1. a. Giải phương trình: 2 32 4 3 4x x x x+ + = +
b.Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
13
25
x y
x y
x y
x y

+ =
−
− = +
2. Gọi 1 2,x x là hai nghiệm của tam thức 2( ) axf x x b= + + với [ ], 1;1a b∈ −
Chứng minh ( ) ( )1 2| | 1 | | 1 2 5x x+ + ≤ +
3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
2
2 2
4 2
4 2
x y m
x y m
 + + =
+ = −
4. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM thoả mãn điều kiện AM=AB
Chứng minh rằng sinA=2sin(B-C)
5.Cho tam giác ABC gọi a,b,c và , ,a b cm m m là cạnh và độ dài đường trung tuyến.Tìm min
3 3 3
3 3 3
a b c
a b cP
m m m
= + +
Hướng dẫn đáp án
1. a. đk, đặt 2 4 ,x u x v+ = = , nghiệm x=2
 b.đk, hệ viết lại 
( )
2 2
2
13 (1)
25 (2)
x y
x y
x y
x y

+ =
− + =
−
Lấy (1) trừ (2) được (3) sau đó lấy (1) cộng (3) ta tìm được nghiệm 
2. Ta có
( ) ( ) ( ) 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
| | 1 | | 1 | | 2 | | 2 1
| | 2 | | 2 1 2 5
x x x x x x x x x x
b a b b
+ + = + + + − +
= + + − + ≤ +
3. Đặt 2 4x u+ = đk 2u ≥ , 2y v=
Lúc đó ta có hệ ( )21. 2
2
u v m
u v m m
+ =
= − −
 (II)
Trêng THPT Thµnh Sen GV: TrÇn V¨n §øc-0977864088
Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm 2u ≥
Ta có u,v là nghiệm phương trình ( )2 21 2 02t mt m m− + − − = có nghiệm 2t ≥
Đặt X=t-2 lúc đó phương trình theo X có nghiệm 0X ≥
1 2
1 2
0
2 3
0
X X
m
X X
≤ ≤
⇔ ⇔ ≤ ≤ < ≤
4. Xét tam giác ABC ta có BMA MAC ACM∠ = ∠ + ∠ vì B M∠ = ∠
Suy ra MAC B C∠ = ∠ − ∠ 
1 1. .sin . . .sin
2 2ACM
S AM AC MAC AB AC A∆⇒ = =
Mà 2 sin 2sin( )ABC ACMS S A B C∆ ∆= ⇒ = −
5. Ta có 
2
2 2 22 2 2
2 3
2( )
4
a
a a a
m a b cb c a
= ≥
+ ++ −