Giải gần đúng phương trình f(x)=0

CHƯƠNG I . LÝ THUYẾT SAI SỐ:
I. CÁC KHÁI NIỆM
SAI SỐ TUYỆT ĐỐI: ∆ = 
SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI: được gọi là sai số tương đối giới hạn giới hạn của số gần đúng a. Nó được đánh giá theo % (còn gọi là độ chính xác)
 VD: chiều dài của 1 phòng học xấp xĩ d =10m với ∆d = 0,0025
 .100% = = 0,025 %
CHỬ SỐ CÓ NGHĨA: tất cả các chử số có nghĩa viết trong số gần đúng a kể từ chư số khác 0 đầu tiên từ trái qua phải đều được gọi là những chử số có nghĩa.
CHỬ SỐ ĐÁNG TIN: cho số gần đúng a = akak-1ak-2ak-3......ar......ai chử số có nghĩa ar được goi là chử số đáng tin nếu sai số tuyệt đối của số gần đúng a không vượt quá ½ đơn vị hàng nó đứng.
 VD: A= 57,9157 ∆a = 6,2.10-5
 => 6,2.10-5 0,5.10r
 => 0,062.10-5 0,5.10r => r - 3
 => các số đáng tin 5, 7, 9, 1, 5. 
II, MỐI QUAN HỆ GIỮA CHỬ SỐ ĐÁNG TIN VÀ CÁC LOẠI SỐ:
Biết sai số tương đối tìm các chử số đáng tin: giã sử số gần đúng a có n chử số đáng tin
 a= ak.10-k + ak-1.10-k-1 + .............+ ak-n+1.10-k-n+1
 trong đó ak là chử số đầu tiên sau dấu phẩy. 
 => 
 VD: tìm các chử số đáng tin: A = 0,17635 với độ chính xác Sa = 0,03%
 Theo công thức : 0,03.10-2 .101-n 0,3.10-3.101-n
 -3 1- n => n 4 
III, SAI SỐ TÍNH TOÁN
Y-thu đc từ các đại lượng trung gian x1, x2, x3 ,............., xn qua biểu thức y = f(x1, x2, ....., xn); f khả vi liên tục biết các ; i = tìm 
 Ta có: dy = f’(x1)dx1 + f’(x2)dx2 + ...........+ f’(xn)dxn
 dy = ; (1.3)
 VD: cho y = x1.x2 và x1= 1 x2 = 2 , 1 = 0,005 ; 2 = 0,02 tìm y ?
 = x2 ; = x1 => = .x1 + .x2 = ?
 Khi đó y = x1x2 
CHƯƠNG II, GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH F(X)=0
Xét phương trình f(x)= 0 (2)
Nếu f(x) là một đa thức bậc n với n 3 ta thực hiện giải gần đúng theo 4 bước sau đây:
 B1- vây và tách nghiệm (tìm khoảng cách li nghiệm) ; tìm của pt.
 B2- chọn giá trị ban đầu x0 (x0 chọn theo những đk của bài toán).
 B3- xây dựng dảy x1, x2, x3, ........., xn. hội tụ về nghiệm của pt trên 
 => = 
 B4- chọn điểm dừng thích hợp để lấy nghiệm gần đúng . 
I,VÂY VÀ TÁCH NGHIỆM:
Phương pháp đồ thị:
 Tách phương trình f(x) = 0 thành 2 pt
 có dang h(x) = g(x). Vẽ đồ thị của hai
 pt: y = h(x) và y = g(x) lên cùng một
 hệ trục toa độ như vậy chính là hoành
 độ giao điểm của 2 đồ thị.
Phương pháp giải tích:
Giả sử hàm f(x) có f’(x) không đổ dấu trong (a;b), f(a).f(b) < 0 khi đó tồn tại c để f(c) = 0.
 Lưu ý: có thể đoán được n0 của pt sau đó thu hẹp khoảng cách li nghiệm có thể đảm bảo đc răng f’(x)không đổi dáu trong khoảng đả chọn (điều kiện để chỉ tồn tại một nghiệm duy nhất trong khoảng cách li đả chọn.
II, CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH f(x) = 0.
 Sau khi xác định được khoảng cách li nghiệm của phương trình f(x)=0 ta chọn các phương pháp giải gần đúng sau đây để giải bài toán một cách nhanh nhất, chính xác nhất.
Phương pháp lặp:
Bằng cách nào đó đưa pt (2) về dạng pt x = (x) phương trình của điểm bất động. Chọn dùng công thức lặp: xn = (xn-1) 2.1 để xây dựng dảy x1, x2,..., xn hôi tụ về 
Điều kiện hội tụ: hàm có liên tục trên . Để cho (2.1) hội tụ về n0 của phương trình (2) tren đoạn thì 
Cách chọn X0; +> Nếu > 0 trên chọn x0 tuy ý trên 
 +> Nếu < 0 trên chọn x0 theo 2 cách sau đây:
 - Chọn x0 = a nếu a < < để cho thì f(a).f()<0
 - Chọn x0 = b nếu < < b để cho thì f().f(b)<0
Đánh gia sai số: sử dụng CT: 
 Trường hợp q < công thức đánh giá sai số đơn giản hơn:
 với (2.2)
 Nếu cho ta có thể sủ dụng: 
 VD: cho f(x) = x3 – x – 1 = 0 (*)
a. giải pt với độ chính xác = 10-2
b. giải pt lặp 5 bước đánh giá sai số.
 giải 
ta có: f(1).f(2) 0 
 vậy suy ra là khoảng cách li nghiệm.
pt (*) => 
 = 0,20998 < 1 
 Hàm thỏa mản điều kiện hội tụ.
 > 0 nên chon tùy ý. Chọn x0 = 1
 Áp dụng công thức lặp: ta có:
 Ta có: < 10-2
 => x4 = 1,324268
 Giải lặp 5 bước:
 x5 = 1,324632 đánh giá sai số: q = 0,20998
 => 9,675.10-5
 2- Phương pháp Niu tơn – tiếp tuyến:
 Viết pt tiếp tuyến tại điểm x0 của đồ thị y = f(x) : y1 = f’(x0).(x – x0) + f(x0). Gọi x1 là hoành độ giao điểm của tiếp tuyến trên ( y1 = 0 tìm đc x1):
x1 = x0 - 
 Lại viết pt tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm (x1; f(x1)):y2= f’(x1).(x–x1)+f(x0)
Gọi x2 là hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành
x2 = x1 - 
 tương tự ta có xn: xn = xn-1 - (2.3)
Điều kiện hội tụ: giả sử f(x) có f’(x) và f’’(x) không đổi dấu trong đoạn (a; b) chọn sao cho f’(x0).f’’(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b).
 Cách chọn n0 x0: +> Chọn x0 = b nếu f(b) cùng dấu với f’’(x)
 +> Chọn x0 = a nếu f(a) cùng dấu với f’’(x)
Đánh giá sai số: ; 0 < m (2.4)
 VD: Tìm n0 gần đúng của pt f(x) = x3 – 0,2x2 –0,2x – 1,2 = 0 (*)
 Giải:
 f(1,1) 0 và f’(x) = 3x2 – 0,4x – 0,2 >0 (1,1 ;1,4)
 => là khoảng cách li nghiệm
 f’(x) = 3x2 – 0,4x – 0,2 >0 
 f’’(x) = 6x – 0,4 > 0 (1,1 ;1,4)
 => pt (*) thỏa mản đk hội tụ
 Vì f(1,4)>0 cùng dấu với f’’(x) => chọn x0 = 1,4
 Áp dụng công thức : xn = xn-1 - ta có:
 x1 = x0 - = 1,22969
 x2 = x1 - = 1,20079
 dừng lại ở x2 đánh giá sai số ta có: f’(x) f’(1,1)= 2,99 = m > 0 
 áp dụng ct: = = 0,00096
3-Phương pháp dây cung:
Nội dung: chọn x0 = a đặt d = b (hoặc chọn x0 = b đặt d = a)
 Viết pt dây cung đi qua hai điểm (x0; f(x0)) và (d; f(d))
Gọi x1 là hoành độ giao điểm của dây cung với trục hoành: x1 = x0 – f(x0).
 Lại viết pt dây cung đi qua hai điểm: (x1; f(x1)) và (d; f(d)):
 Gọi x2 là hoành độ giao điểm của dây cung với trục hoành: x2 = x1 – f(x1).
 ..............................................
 Tương tự như vậy ta củng xác định đc: xn = xn-1 – f(xn-1). 
Điều kiện hôi tụ:
 Hàm f(x) có f’(x), f’’(x) không đổi dấu trong (a; b) chọn sao cho: 
 f(x0).f’’(x) < 0 
Đánh giá sai số: ; 0 < m 
 4- Phương pháp chia đôi khoảng:
Trình tự tính toán như các phương pháp khác chỉ khác đánh giá sai số:
 VD: giải phương trình: x2 – lnx – 5 = 0 với x > 1 ; = 0,03
 Giải:
 y = lnx 
 y = x2 - 5
 f(x) =x2- lnx – 5
 f(2) = -1 – ln2<0
 f(3) = 4 - ln3 > 0 
 f’(x) = 2x – 1/x > 0 
=> là khoảng cách li nghiệm
 x0 = = 2,5 ; f(2,5) = 0,3 >0 => 
 x1 = = 2,25 ; f(2,25) = -0,74 =>
 x2 = = 2,375 : f(2,375) = - 0,224 => 
 x3 = = 2,4375 ; f(2,4375) = 0,0504 => 
 x4 = = 2,406 ; f(2,406) = -0,087 => 
 x5 = = 2,422 ;f(2,422) = - 0,0197 => 
 x6== 2,4297 ; f(2,4297) = -1,5 => 
 đánh giá sai số: = 0,015625 < suy ra x6
III. TÌM NGHIỆM GẦN ĐÙNG CỦA ĐA THỨC:
 Xét đa thức bậc n Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + ....... + an-1x + a (a # 0) (2.6)
Tinh giá trị của đa thức tại điểm x = c. Viết lại (2.6) dưới dạng :
 Pn(x) = (....((a0x + a1)x + a2)x + ..... )x + an 
 Đặt b0 = a0
 b1 = b0c + a1
 b2 = b1c + a2
 ........................
 bn = bn-1c + an = Pn(c)
quá trình trên được gọi là sơ đồ Hóc-ne và được lập bẳng như sau:
 a1 a2 an
a0
b0c
b1c
 .............
 bn-1
 c
b0
b1
b2
..............
bn=Pn(c)
Ước lượng khoảng nghiệm của đa thức:
ĐL: Nghiệm của định thức (2.6) thỏa mản: ; A = max 
 VD: 2x4 + 7x2 - 8x + 3 = 0 a0 = 2 A = max = 8 => 
CHƯƠNG III: GIÃI PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH:
I, ÔN TẬP:
Cho ma tận A có cở n x m :
 Det A = = a11detA11 – a12detA12 + a13detA13 - .....+ (-1)n+1a1ndetA1n.
 Det A11 – bỏ dòng một cột một.
Phương pháp Game: xét hệ Grame Ax = b với DetA # 0
 Hệ có nghiệm duy nhất : (x1; x2; .....; xn) được xác định bởi hệ thức sau: với D = Det A ; Dj = Det Dj thu được bằng thay cột thứ J trong định thức bởi cột hệ số tự do.
Phương pháp ma trận nghịch đảo:
 tồn tại A-1 = với Cij = det Aij => x = 
B là ma trận cột tự do.
Phương pháp Gaoxow: lập bẳng gao xo rồi sử dụng ơheps bien dổi sơ cấp đưa về một bài toán đởn giản.
II, KHÁI NIỆM CỦA CHUẨN VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA CHUẨN:
Khái niệm chuẩn vecto: cho X = ( x1; x2;.....; xn) kí hiệu đc khái niệm một trong 3 cách sau: 1- = giá trị lớn nhất của tổng hàng
 2- 
 3- 
 Tính chất: +> 0 ‘=’ xẩy ra khi X =( 0, 0 ,......, 0)
 +> 
 +> 
Chuẩn ma trận: cho ma trận A chuẩn của ma trận A là và được định nghỉa theo một trong ba cách sau: (1) - = gt lớn nhất của tổng hàng
 (2) - gt lớn nhấ của tổng cột
 (3) - tổng bình phương tất cả các giá trị
 Tính chất: +> 
 +> 
 +> 
III, GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÌNH:
1-phương pháp lặp: cho hpt AX = B (3) bằng cách nào đó biến đổi hệ dạng X = Cx + 
 trong đó X = ; C = ; chọn X0 = sử dụng công thức lặp :
 XK = CXK-1 + (3.1)
Điều kiện hội tụ: với r = 1,2,3
Đánh giá sai số: XXK khi đó:
Chú ý: để quá trình lặp dừng lại ở bước thứ n với độ chinh xác thì cần có:
Ví dụ: giải hệ phương trình với độ chính xác = 10-2
Điều kiện hội tụ: thỏa mản điều kiện hội tụ
 Chọn X0 = dùng công thức lặp: XK = CXK-1 + 
 Áp dụng đến khi nào đạt được đội chính xác cần thiết.
 2-Phương pháp dây đen: