Giải tích 12 nâng cao – Nguyên hàm và tích phân – Chương III

§1. Nguyên hàm:
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên K nếu F ’(x) = f(x) "x Î K.
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:
a) "C là hằng số, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
b) Ngược lại, mọi nguyên hàm G(x) của f(x) trên K đều tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C "x Î K.
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm F(x) trên K.
Vài tính chất của nguyên hàm:
Bảng các nguyên hàm cơ bản thường gặp:
Bài tập áp dụng:
1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
3. Tính:
4. Tìm hàm số y = f(x) biết 
5. Tìm hàm số y = f(x) biết 
6. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
§2. Các phương pháp tìm nguyên hàm:
Phương pháp đổi biến số: Hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f(u(x)) xác định trên K. Khi đó,
nếu thì 
Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần: 
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì 
Bài tập áp dụng:
1. Dùng phương pháp đổi biến, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng p.pháp lấy nguyên hàm từng phần:
3. Khi áp dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần ta dẫn đến công thức
 CMR: 
4. Đặt (n N*).
	a) CMR: In = xnex – nIn - 1.	b) Tìm I1, I2, I3.
5. Đặt (n N*).
	a) CMR: .	b) Tìm I3.
§3. Tích phân:
1. Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phân:
1) Diện tích hình thangcong: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] có đồ thị là đường cong (C). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), cá đường thẳng x = a, x = b và trục hoành là S = F(b) - F(a) trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x).
2) Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi v = f(t) (0 < t < T) thì quãng đường đi được trong khỏng thời gian từ t = a đến t = b (0 < a < b < T) là L = F(b) - F(a) trong đó F(t) là một nguyên hàm của f(t) trên khoảng (0; T).
2. Khái niệm tích phân:
* Hàm số f(x) liên tục trên K và a, b Î K. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì F(b) - F(a) được gọi là tích phân của f(x) từ a đến b ký hiệu là 
* Hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên [a; b], có đồ thị là đ.cong (C) thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường (C), x = a, x = b, y = 0 là 
	3. Các tính chất của tích phân: f(x) liên tục trên K và a, b, c Î K thì:
Bài tập áp dụng:
1. Tính các tích phân sau:
2. Chứng minh các tính chất sau đây của tích phân:
 trên [a; b] thì trên [a; b] thì ;
 trên [a; b] thì 
3. 
§4. Các phương pháp tính tích phân:
Công thức đổi biến số: Trong đó u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục và sao cho hàm hợp f(u(x)) xác định trên K, a và b Î K.
Công thức lấy tích phân từng phần: Trong đó các hàm số u, v có đạo hàm liên tục trên K và a, b Î K.
Bài tập áp dụng:
1. Tính các tích phân:
2. Tính các tích phân:
3. CMR: nếu hàm số y = f(x) liên tục trên R thì:
4. Chứng minh rằng:
5. Cho 
	a) CMR: I = J; 	b) Suy ra cách tính I, J.
§5. Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] có đồ thị là (C) thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là 
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là 
Coi x là hàm số của y thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hai hàm số x = g(y) và x = h(y) và hai đường thẳng y = c, y = d là 
Bài tập áp dụng:
1. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
	a) x = 0, x = 1, y = 0, y = 5x4 + 3x2 + 3;	b) x = 0, y = 3, y = 2x2;
	c) y = x2 +1, x + y – 3 = 0;	d) y = x2 + 2, y = 3x;
	e) y = 4x – x2, y = 0;	f) y = lnx, y = 0, x = e;
	g) x = y3, y = 1, x = 8;	h) y = x3 – 3x, x – y = 0.
	i) y = sinx, y = 0 trên đoạn [0; 2p];	k) y = sin2x, y = 0 trên [0; p].
2. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
, x = p, y = 0, y = cosx;	b) y = x(x – 1)(x – 2), y = 0.
3. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x2 – 2x + 2, tiếp tuyến với nó tại điểm M(3; 5) và trục tung.
4. Tính diện tích (S) của hình tròn bán kính R.
5. Tính diện tích (S) của elip (E): .
6. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , y = 0 trên đoạn [0; p].
7. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x2 – 4x + 5 và hai tiếp tuyến của (P) kẻ từ hai điểm A(1; 2) và B(4; 5). (ĐH Bách khoa Hà Nội 1998)
8. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
	a) y = 0;	b) y = e2x – 1, y = 0, x = 1, x = 2;
 y = 0, x = 0, x = 4;	y = 0, x = - 1, x = 1;
 y = 0, x = 2, x = 3;	y = 2, y = 8.
9. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đ.cong y2 = 4ax (a > 0) và x = a là ka2. Tìm k.
§6. Ứng dụng của tích phân để tính thể tích của vật thể:
 với S(x) là diện tích thiết diện cắt bởi (a) ^ Ox tại x (a £ x £ b).
Bài tập áp dụng:
1. Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi nó quay xung quanh trục Ox:
	a) y = 0, y = 2x – x2;	b) y = cosx, y = 0, x = 0, 
	c) y = sin2x, y = 0, x = 0, x = p;	d) y = 0, x = 0, x = 1.
2. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 £ x £ 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn các đường y = sinx, y = 0, x = 0, khi nó quay xung quanh trục Ox.
4. Tính thể tích của khối cầu bán kính R.
5. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình elip khi nó quay xung quanh 	a) Trục Ox;	b) Trục Oy.
6. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = x3 xung quanh 	a) Trục Ox;	b) Trục Oy.
7. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
	a) Đồ thị hàm số y = x(4 – x) và trục hoành.
	b) Đồ thị hàm số y = ex, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3.
c) Đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.
	d) Đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
8. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
	a) Đồ thị hàm số y = x2, trục tung và hai đường thẳng y = 0, y = 4.
	b) Đồ thị hàm số y = x3, trục tung và hai đường thẳng y = 1, y = 2.
	c) Đồ thị hàm số y = lnx, trục tung và hai đường thẳng y = 0, y = 1.
	a) Đồ thị hàm số y = 3 - x2, trục tung và đường thẳng y = 1.
§7. Bài tập ôn chương III:
1. Tìm họ nguyên của các hàm số sau bằng phương pháp đổi biến:
2. Tìm họ nguyên của các hàm số sau bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
	a) y = x2cosx;	b) y = x3sinx;	c) y = x2ex;
	d) y = x5ex;	e) y = e- x.cosx;	f) y = e2xcos3x.
3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng cách phối hợp các phương pháp:
4. Tính các tích phân sau:
5. Tính các tích phân sau:
6. Giá trị trung bình của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b] là một số, ký hiệu là m(f) và được tính theo công thức: 
	Hãy tính giá trị trung bình của mỗi hàm số sau trên đoạn K đã chỉ ra:
 f(x) = sinx, K = [0; p];	b) f(x) = tanx, K = 
c) f(x) = ïxï- 1, K = [-1; 3];	d) K = [-1; 1].
7. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
8. Tính các tích phân sau:
9. Tìm f(4) biết rằng:
10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trong mỗi câu sau:
a) y = x2 – 2x + 3, y = 5 – x; 	b) y = 2x3 – x2 – 8x + 1, y = 6.
	c) y2 = - 8x, x = - 9;	d) y2 = - 8x, y = 16, y = - 8, x = 0.
	g) x = y2, x + 2y2 = 3, y = 0;	h) x2 = y, y2 = x.
11. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay xung quanh trục Ox:
a) y = x3 +1, y = 0, x = 0, x = 1;	b) y = - 3x2 + 3x + 6, y = 0.
c) y = - x3, y = 0, x = 2;	d) y2 = 2x, y2 = 16x, x = 5.
	e) y = 5x – x2, y = 0;	f) y = lnx, y = 0, x = 2;
12. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
13. Cho hàm số .
	a) Tính diện tích hình phẳng A giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho, trục hoành và đường thẳng 
	b) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A xung quanh trục hoành.
	c) CMR: Từ đó suy ra giá trị của