Giải Tích Toán Học: Chuyên đề Nguyên Hàm – Tích Phân

+ x⎡ ⇒⎢⎣ 
11.
2
2
1f(arc sinx) dx
1- x
1f(arc cosx) dx
1- x
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
∫ Đặt 2t = arc sinx dx dt = ±t = arc cosx 1 + x
⎡ ⇒⎢⎣ 
12. 2
1 1f x ± 1 dx
x x
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∓ Đặt 2
1 1t = x ± dt = 1 dx
x x
⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠∓ 
B. ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN ĐẶT x = ϕ(t) 
DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI 
1. ( )2 2f x, x + a dx∫ 2ax = atgt dx = dtcos t⇒ 
2. ( )2 2f x, a - x dx∫ x = asint dx = acostdt⇒ 
3. ( )2 2f x, x - a dx∫ 2a asix = dx = dtcost cos t⇒ nt 
VẤN ĐỀ 6: THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN RIÊNG PHẦN: 
udv = uv - vdu∫ ∫
⎥⎥
 (*) hay uv'dx = uv - u'vdx∫ ∫
Các dạng tích phân từng phần: 
Dạng 1: 
n (ax+b)
sin(ax + b)
cos(ax + b)
P (x) dx
e
...
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ . Trong đó Pn(x) là đa thức bậc n. 
Ta đặt u = Pn(x) và (ax+b)
sin(ax + b)
cos(ax + b)
dv = dx
e
...
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Chỉ số (n): cho ta số lần tính tích phân từng phân phải thực hiện cho dạng này. 
Dạng 2: 
n
ln(ax + b)
arcsin(ax + b);arccos(ax + b)
I = P (x) dx
arctg(ax + b);arccotg(ax + b)
...
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
7 
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 
Ta đặt và dv = P
ln(ax + b)
arcsin(ax + b);arccos(ax + b)
u =
arctg(ax + b);arccotg(ax + b)
...
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
n(x)dx 
TÍCH PHÂN 
CHUYÊN ĐỀ 1: ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH: 
I. DIỆN TÍCH HÌNH THANG HỖN TUYẾN: 
1. Định nghĩa: 
y
x
a b
A
A'
B
B'
y=f(x)
O
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm 
xác định trên đoạn [a;b]. Khi đó hình 
phẳng giới hạn bở trục hoành, đường 
cong y = f(x) và các đường thẳng có 
phươngtrình x = a vµ x = b được gọi là 
hình thang cong (Hình thang hỗn 
tuyến AA’B’B). 
2. Diện tích hình thang cong: 
Định lý: Nếu hàm số y = f(x) xác định, liên tục, không âm trên đoạn [a;b], thì diện tích S 
của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a vµ 
 x = b có giá trị là: . Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên 
[a;b]. 
b
aS = F(b) - F(a) = S
II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH: 
III. 
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] chia đoạn [a;b] thành n phần tùy ý bởi các điểm 
chia: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Trên mỗi đoạn [xk-1;xk] với 1 ≤ k ≤ n lấy một điểm ξk bất 
kỳ. Ký hiệu: Δxk = xk - xk-1. Nghĩa là: Δx1 = x1 - x0, Δx2 = x2 - x1, ... 
Lập tổng Được gọi là tổng tích phân của hàm số 
y = f(x) trên [a;b]. 
n
k k 1 1 2 2 n
k 1
f( ) x f( ) x f( ) x ... f( ) x
=
ξ Δ = ξ Δ + ξ Δ + + ξ Δ∑ n
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
8 
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 
Ta gọi tích phân xác định của hàm số y = f(x) trên [a;b] là giới hạn (nếu có) của tổng tích 
phân khi maxΔxk → 0. 
Giới hạn này không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn [a;b] và việc chọn ξk. Ký hiệu: 
k
b n
k k0 k 1a
f(x)dx lim f( ) xΔ → =
= ξ∑∫ Δ
Lúc đó ta bảo hàm f khả tích theo Riemann hay khả tích. 
Chú ý: 
• a được gọi là cận dưới và b được gọi là cận trên. 
• Ý nghĩa hình học của tích phân xác định: Nếu f(x) > 0 trên [a;b] thì chính là 
diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường:y = f(x), trục hoành, x = a, và 
b
a
f(x)dx∫
 x = b. 
• Từ trên ta có công thức Niutơn - Lépnit (Newton - 
Leibnitz):
b
b
a
a
f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)∫ . Trong đó: F’(x) = f(x). 
VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA (PHÂN HOẠCH) VÀ SỰ KHẢ 
TÍCH: 
Dạng 1: Tính tích phân ∫ bằng phép phân hoạch và bài toán ngược b
a
dx)x(f
1) Điều kiện cần: Nếu hàm số y = f(x) khả tích trên đoạn [a;b] thì nó bị chặn trên đoạn 
[a;b] đó. 
2) Điều kiện đủ: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó khả tích trên đoạn 
[a;b] đó. 
• Khi tính tích phân bằng định nghĩa cần thực hiện: 
BB1: Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia k
b - ax = a + k
n
. Với k = 0, 1, 2, 
..., n. 
BB2: Chọn ξk bằng xk (hoặc xk-1) trong đoạn [xk-1,xk]. 
BB k3: Lập tổng tích phân 
n
n k k-1
k=1
S = (x - x ).f(x )∑
BB4: Ta có 
b
nn
a
xf(x)dx lim S→∞=∫
Cần nhớ một số kết quả: 
1) n(n +1)1+ 2 + 3 + ... + n =
2
2) 2 2 2 2 n(n +1)(2n +1)1 + 2 + 3 + ... + n =
6
3) 
2
3 3 3 3 n(n +1)1 + 2 + 3 + ... + n =
2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
9 
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 
4) x ∈ [a;b], hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và F’(x) = f(x). ∫= b
a
dt).t(f)x(F
Dạng 2: Nhận biết hàm khả tích Riemann 
ĐL1: (Điều kiện cần: suy ra từ định nghĩa ) ∫b
a
dx)x(f
Mọi hàm f không bị chặn trên đoạn [a;b] thì f không khả tích trên đoạn [a;b] đó. 
ĐL2: (Đk đủ) Mọi hàm f liên tục trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó. 
ĐL3:Mọi hàm f bị chặn trên đoạn [a;b] và gián đoạn tại hữu hạn các điểm 
x0 ∈ [a;b] mà (*) thì f vẫn khả tích trên đoạn [a;b] đó. 
0
0
x x
x x
lim f(x) R
−
+
⎧⎪ →⎨ →⎪⎩
∈
Cần nhớ: f liên tục trên đoạn [a;b] thì f bị chặn trên đoạn [a;b]. 
ĐL4:Mọi hàm f bị chặn và đơn điệu trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó. 
Dạng 3: Sử dụng đúng đắn công thức Newton – Leibnitz. Công thức Newton - Leibnitz: 
khi nó thỏa đồng thời hai điều kiện: 
b
a
f(x)dx = F(b) - F(a)∫
• Hàm dưới dấu tích phân f(x) liên tục trên [a;b]. 
• Hàm nguyên hàm của F(x) cũng liên tục trên [a;b]. 
Ghi chú: 
Trong một số trường hợp hàm dưới dấu tích phân có dạng y = f(x) khả tích trên đoạn [a;b] 
ta chưa áp dụng ngay công thức Newton - Leibnitz trên [a;b] mà cần xử lý cận trung gian c 
∈ (a;b) để xét dấu f(x) và dễ dàng tìm F(x) chẳng hạn: 
b c b
a a c
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx∫ ∫ ∫ (*) .(*) còn sử dụng khi x0 = c là điểm gián đoạn của f(x) và 
F(x) trên đoạn [a;b] (tích phân suy rộng). 
Thuật đổi biến số: 
Khi đã quan sát và thấy hàm f(x) khả tích trên đoạn [a;b]: 
b
a
f(x)dx∫
• PP1 - ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN: là sử dụng công thức 
( )
( )
f[ (x)] '(x)dx f(t)dt
β ϕ
α ϕ
ϕ ϕ =∫ ∫
β
α
)
)
• Với các ghi nhớ: 
) Đặt t = ϕ(x); với t là biến đổi số mới. 
) Trong đó: và t = ϕ(x) là hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm 
trên [α;β]. 
x t (
x t (
= α⇒ = ϕ α⎧⎨ = β⇒ = ϕ β⎩
• PP2 - ĐỔI BIẾN SỐ NGHỊCH: là sử dụng công thức (2) 
1
1
(b)b
a (a)
f(x)dx f[ (t)] '(t)dt
−
−
ϕ
ϕ
= ϕ ϕ∫ ∫
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
10 
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 
Với các ghi nhớ: 
) Đặt x = ϕ(t) hay t = ϕ-1(x); với t là biến mới. 
) Trong đó: và t làm hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm trên 
[a;b]. 
1
1
x a t (a)
x b t (b)
−
−
⎧ = ⇒ = ϕ⎪⎨ = ⇒ = ϕ⎪⎩
Ghi chú: Tính đơn điệu của hàm t = ϕ(x) là quan trọng như tính liên tục và 
khả đạo hàm của t trên [α;β] . 
Chẳng hạn trong (1), ta giả sử t = ϕ(x) không đơn điệu trên [α;β] thì sẽ có trường hợp 
ϕ(α) = ϕ(β); ∀α ≠ β mà . Lúc đó (1) không còn đúng! (1)
(1)
VP 0
VT 0
=⎧⎪⎨ ≠⎪⎩
VẤN ĐỀ 2 : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC 
Dạng 1: Các dạng tích phân hàm phân thức cơ bản thứ nhất 
Tính tích phân 
b
1 2
a
dxI (
x x
= αα + β + γ∫ 0)≠ 
Ta làm 2 bước: 
BB1: Kiểm tra tính khả tích của 2
dxf(x)
x x
= α + β + γ trên [a;b]. 
BB2: Đưa về dạng chuẩn để sử dụng một trong ba công thức sau với và sau khi 
đặt 
2 4Δ = β − αγ
1
α ra ngoài dấu tích phân: 
1) 
bb
2 2
aa
dX 1 X= arctg
X + A A A
⎡⎢⎣ ⎦∫ ⎤⎥ Nếu Δ < 0 
2) 
bb
2 2
a a
dX 1 X - A= ln
X - A 2A X + A
⎡⎢⎣ ⎦∫
⎤⎥ Nếu Δ > 0 
3) 
bb
2
aa
dX 1= -
X X
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ Nếu Δ = 0 
bb
aa
dx 1= ln ax + b
ax + b a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 
Dạng 2: Các dạng tích phân hàm phân thức thứ hai 
Tính tích phân 
b
2 2
a
mx nI dx ( 0
x x
+= αα + β + γ∫ ;m 0)≠ ≠ 
Ta làm 2 bước: 
BB1: Kiểm tra tính khả tích của hàm dưới dấu tích phân và đưa tích phân về dạng: 
b b
2 2 2
a a
m 2 x m 2 n dxI dx
2 x x 2 x x
α + β β − α⎛ ⎞= − ⎜ ⎟α α + β + γ α α + β + γ⎝ ⎠∫ ∫ 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
11 
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 
BB2: Tính I2 và I2 phụ thuộc vào 3 trường hợp của I1.
b2
2 1a
m mI ln x x
2 2
β − α⎛ ⎞⎡ ⎤= α +β + γ − ⎜ ⎟⎣ ⎦α α⎝ ⎠
2 n I 
Dạng 3: Bài toán tích phân hàm phân thức tổng quát 
Tính tích phân 
b
a
P(x)I = dx
Q(x)∫ ; trong đó P(x) và Q(x) là những đa thức. 
Ta để ý hai trường hợp: 
TH1: Bậc P(x) ≥ bậc Q(x) thì đem chia P(x) : Q(x) để đưa về trường hợp 2. 
TH2: Bậc P(x) < bậc Q(x) thì ta đã có 2 phương pháp nhân tích thành tổng các tích phân 
phân thức thành phần mà phép giải khả thi như sau: 
• Phân tích theo yêu cầu đề bài hướng dẫn. 
• Phân tích theo định lý Taylor. 
TH1: Q(x) = 0 có các nghiệm đơn x1; x2; x3... thì phân tích 
31 2
i
1 2 3
AA AP(x) ...;A ; i 1;n
Q(x) x x x x x x
= + + + ∀ ∈− − − là hằng số. 
Tìm Ai bằng phương pháp thế giá trị riêng (nghiệm mẫu). 
TH2: Q(x) = 0 có các nghiệm bội x1; x2. Thì ta phân tích, thí dụ: 
31 2 1 2
2 3 2 3 2
1 2 1 2 2 2 2
BA A B BP(x) P(x) ...
Q(x) (x x ) (x x ) (x x ) x x (x x ) (x x ) x x
= = + + + +− − − − − − − + 
Tìm Ai; Bj bằng phương pháp giá trị riêng (nghiệm mẫu) và phương pháp giá trị tùy ý; 
j 1, 3 và i 1,2∀ ∈ ∀ ∈ 
TH3: Q(x) chứa các tam thức bậc hai α1x2 + β1x + γ1 có nghiệm x1; x2 hay có nghiệm kép hay 
α2x2 + β2x + γ2 (vô nghiệm) thì ta phân tích, thí dụ: 
1 2
2 2
1 1 2 2 2 2 1 2 2 2
A AP(x) P(x) Bx C
Q(x) (x x )(x x )( x x ) x x x x x x
+= = +α − − α +β + γ − − α +β + γ 2
+ 
1 2
2 2 2 2 2
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A AP(x) P(x) Bx C Ex F
Q(x) (x X) ( x x ) (x X) x X x x ( x x )
+ += = + + +α − α + β + γ − − α + β + γ α + β + γ 2 
CHUYÊN ĐỀ 2: TÍCH PHÂN SUY RỘNG 
I. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1: 
• Cho hàm f xác định trên [a;+∞) và khả tích trên đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞. Ta định 
nghĩa: . Khi giới hạn ở vế phải hữu hạn ta nói hội tụ, 
ngược lại ta nói phân kỳ. 
b
b
a a
f(x)dx lim f(x)dx
+∞
→+∞=∫ ∫
a
f(x)dx
+∞∫
a
f(x)dx
+∞∫
• Tương tự 
 {
b b b
ba
a aa
f(x)dx lim f(x)dx ; f(x)dx lim f(x)dx
+∞
→+∞→−∞−∞ −∞ →−∞
= =∫ ∫ ∫ ∫
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
12 
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 
Hay 
c
c
f(x)dx f(x)dx f(x)dx; c R
+∞ +∞
−∞ −∞
= + ∀∫ ∫ ∫ ∈
∈
∈
• Việc sử dụng công thức Newton - Leibnitz cũng không khác mấy khi gọi F(x) là 
nguyên hàm của f(x), ta có: 
b
b a
a
f(x)dx lim F(b) F(a) f(x)dx F(b) lim F(a)
+∞
→+∞ →−∞−∞
= − = −∫ ∫
II. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2: 
Cho hàm f giới nội và khả tích trong đoạn [a + ε; b] nhưng không giới nội hoặc không khả 
tích trong toàn bộ [a; b] ta định nghĩa: khi . 
b b
0
a a
f(x)dx lim f(x)dxε→ +ε
=∫ ∫ x alim f(x)→ = ∞
Hay: 
b b
c a
a c
f(x)dx lim f(x)dx; c (a;b]
→
= ∀∫ ∫
Tương tự trên [a;b) ta có: 
b b
0
a a
f(x)dx lim f(x)dx+
−ε
ε→
=∫ ∫
Hay: khi 
b c
c b
a a
f(x)dx lim f(x)dx; c [a;b)−→= ∀∫ ∫ x blim f(x)→ = ∞ 
Ghi chú: 
Có loại tích phân vừa là tích phân suy rộng loại 1 vừa là tích phân suy rộng loại 2. Chẳng 
hạn: 
1
2 2
0 0 1
SRL2 SRL1
ln x ln x ln xI dx dx
1 x 1 x 1 x
+∞ +∞
= = ++ + +∫ ∫ ∫	
 	
2 dx . Và ta chứng minh được I = 0. 
III. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: 
Dạng 1: 
b
m n
a
sin x cos xdx∫
1) Nếu ít nhất một trong 2 số m hay n lẻ: 
• m lẻ (⇒) Đặt t = cosx 
• n lẻ (⇒) Đặt t = sinx 
• m; n đều lẻ 
m n ( ) Đặt t sinx 
m n ( ) Đặt t cosx
m n ( ) Hạ bậc nâng cung
≥ ⇒ =⎡⎢ ≤ ⇒ =⎢⎢ = ⇒⎣
2) m; n chẵn (m; n > 0) ⇒ Dùng công thức hạ bậc nâng cung. 
2 2
3 3
1 cos 2x 1 cos 2xsin x cos x
2 2
3 sin x sin 3x 3 cos x cos 3xsin x cos x
4 4
− += =
− += =
3) m; n chẵn (m;n < 0) ⇒ Đặt t = tgx. 
Dạng 2: (Trong đó R là 1 hàm hữu tỷ) 
b
a
R(sin x;cos x)dx∫
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
13 
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 
Sử dụng các phép thế sau: 
1) Phép thế tổng quát (Phép thế vạn năng): 
Đặt 
2
2
2 2
2dtdx
x 1 tt tg
2 2t 1 tsin x và cos x
1 t 1 t
⎧ =⎪⎪ += ⇒ ⎨ −⎪ = =⎪ + +⎩
2) Ba phép thế đặc biệt: 
• R(-sinx; cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = cosx 
• R(sinx; -cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = sinx 
• R(-sinx; -cosx) = R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = tgx 
Dạng 3: Các dạng khác 
1) 
b
a
sin( x ) cos( x )
Công thức biến đổi
sin( x ) sin( x ) dx 
tích thành tổngcos( x ) cos( x )
α +β γ + δ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥α + β γ + δ ⇒ ⎢⎢ ⎥ ⎣⎢ ⎥α + β γ + δ⎣ ⎦
∫
2) Biến đổi tổng thành tích. 
3) Các dạng khác trên ... 
IV. TÍCH PHÂN HÀM CHỨA CĂN THỨC: 
Dạng 1: 
pb rm
q sn
a
R(x;x ;x ;...;x )dx∫ 
1) Đặt kkt x t= ⇒ = x với k = MSC (n; q; ...; s). Nhớ để ý tính khả tích của f trên [a;b]. 
2) Phương pháp vẫn khả thi khi gặp các hàm hợp của hàm: 
p rm
q snf(x) R(x;x ;x ; ...;x )dx= 
• kf( x ) Đặt t xα +β ⇒ = α +β 
• kx xf Đặt t
x x
⎛ ⎞α + β α + β⇒ =⎜ ⎟γ + δ γ + δ⎝ ⎠ 
Dạng 2: 
b b
2 2
a a
dx Ax B( 0) và d
x x x x
+α ≠α + β + γ α + β + γ∫ ∫ x 
BB1: Kiểm tra tính khả tích và biến đổi 
2
2x x x k
2
⎡ ⎤β⎛ ⎞α + β + γ = α + +⎢ ⎥⎜ ⎟α⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
BB2: Phân biệt ba trường hợp sau khi đưa 
1
α ra ngoài dấu tích phân và đặt X x 2
β⎛ ⎞= +⎜ ⎟α⎝ ⎠ 
1) 
b b
2
2 aa
0 dXÁp dụng: ln X X k
k 0 X k
α >⎧ ⇒ = +⎨ ≠ +⎩ ∫ + 
2) 
bb
a a
0 dXÁp dụng: sgn x ln X
k 0 2 2x
2
α >⎧ β β⎛ ⎞⇒ = +⎨ ⎜ ⎟β= α⎝ ⎠⎩ + α
∫ + α 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
14 
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 
3) 
bb
2 2
aa
0 dX XÁp dụng: arcsin (H 0)
k 0 HH X
α >⎧ ⇒ =⎨ 
Ghi chú: Bằng phép phân tích thêm bớt ta có thể tính được 
b
2 2
a
Ax BI d
x x
+= α + β + γ∫ x với dạng 
nền là 
b
1 2
a
dxI
x x
= α + β + γ∫ sau khi đặt 2t x x= α + β + γ . 
Dạng 3: 
b
2
a
I x x= α + β + γ∫ dx 
a) Phương pháp 1: 
BB1: Biến đổi 
2
2x x x k
2
⎡ β⎛ ⎞α + β + γ = α + +⎢⎜ ⎟α⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎤⎥ ; đưa α ra ngoài dấu tích phân và xem 
X x
2
β= + α . 
BB2: Ta chia làm ba trường hợp: 
TH1: 
b bb
2 2 2
a aa
0 X kÁp dụng công thức: X k X k ln X X k
k 0 2 2
α >⎧ ⇒ + = + +⎨ ≠⎩ ∫ + + 
TH2:
bb 2
a a
0 x xÁp dụng công thức : x dx sgn x
k 0 2 2 2 2
α > ⎛ ⎞⎧ β β⎛ ⎞⇒ + = +⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟= α ⎝ ⎠⎩ ⎝ ⎠∫
β+α α 
TH3:
bb 2b
2 2 2 2
aa a
0 X HÁp dụng công thức: H X H X arcsin
k 0 2 2 H
α >⎧ ⇒ + = + +⎨ <⎩ ∫
X 
b) Phương pháp 2: 
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần 
Đặt 
2u x x
dv dx
⎧ = α + β + γ⎪⎨ =⎪⎩
Dạng 4: Giới thiệu phép thế lượng giác tính ( )b 2
a
I R x; x x d= α + β + γ∫ x 
Sử dụng một trong 3 phép thế sau khi biến đổi và quan sát điều kiện khả tích: 
TH1: ( )b 2 2
a
I R x; (kx h) m dx (m 0)= + +∫ > 
Đặt kx ht arctg kx h m tgt
m
+⎛ ⎞= ⇔ +⎜ ⎟⎝ ⎠ = 
TH2: ( )b 2 2
a
I x; m (kx h) dx (m 0)= − +∫ > 
Đặt kx ht arcsin kx h m sin t
m
+⎛ ⎞= ⇔ + =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
TH3: ( )b 2 2
a
I R x; (kx h) m dx (m 0)= + −∫ > 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
15 
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 
Đặt m mt arccos kx h
kx h cos t
⎛ ⎞= ⇔ +⎜ ⎟+⎝ ⎠ = 
Dạng 5: Giới thiệu phép thế Euler tính ( )b 2
a
I R x; x x d= α + β + γ∫ x 
Một cách khác phép thế Euler như sau tỏ ra tiện lợi: 
• Đặt 2x x x t nếu α + β + γ = ± α + α > 0 
• Đặt 2x x xt c nếu c 0α + β + γ = ± ≥ 
• Đặt 2 1 2 1x x (x x )(x x ) t(x x ) ( 0)α +β + γ = α − − = − Δ > 
Dạng 6: Giới thiệu các dạng chuẩn và các thuật đổi biến đặc trưng 
Xử lý đúng thuật đổi biến đặc trưng cho từng dạng chuẩn được giới thiệu ở sau: ta luôn 
được cách giải quyết tích phân bằng phương pháp tích phân đặc trưng cho các hàm căn 
thức đã biết (chú ý điều kiện khả tích). 
1) Dạng 
b
1 2
a
dxI
(x ) x x
= + δ α + β + γ∫ Đặt 
1t
x
= + δ 
2) Dạng 
b
2 2 2
a
Ax dxI
( x ) x
= ω + δ α + γ∫ Đặt 2t x= α + γ 
3) Dạng 
b
3 2 2
a
 BdxI
( x ) x
= ω + δ α + γ∫ Đặt 2xt x= α + γ 
4) Dạng 
b b b
4 2 2 2 2 2 2
a a a
(Ax B) dx Ax dx B dxI
( x ) x ( x ) x ( x ) x
+= = +ω + δ α + γ ω + δ α + γ ω + δ α + γ∫ ∫ ∫ 
5) Dạng 
b
2
5 2 2
a
(Ax B) dxI Với ( 4 0)
( x x ) x x
+= δω + δ + ξ α + β + γ∫ − ωξ < 
 Đưa về dạng 
b
4 2 2
a
(Ax B) dxI
( 'x ') 'x '
+= ω + δ α + γ∫ 
6) Dạng 
b
n
6 2
a
P (x) dxI
x x
= α + β + γ∫ Với Pn(x) đa thức bậc n ≥ 2. 
Bằng cách biến đổi Euler, tích phân I6 tính được một cách tổng quát nhưng rất phức tạp. 
Người ta đã chứng minh được công thức sau và nếu áp dụng nó thì việc tính tích phân I6 có 
phần đơn giản hơn: 
b bb
2n
n 12 2aa a
P (x) dxdx Q (x) ax bx c (*)
ax bx c ax bx c
−= + + + λ+ + + +∫ ∫ 
Trong đó Qn-1(x) là đa thức bậc n-1 với các hệ số cần được xác định và λ là một số thực 
cũng cần được xác định. 
Để xác định λ và các hệ số của Qn-1(x) ta đạo hàm hai vế đẳng thức (*). Rồi đồng nhất hệ số 
hai vế để suy ra hệ phương trình đặc trưng mà việc giải hệ phương trình đặc trưng đó sẽ 
cho ta λ và các hệ số của Qn-1(x). (Gọi là phương pháp đạo hàm đẳng lập). 
VẤN ĐỀ 3: CẬN TRUNG GIAN: 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
16 
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 
Cơ sở của phương pháp là áp dụng hợp lý công thức (1): qua hai 
bước (để tính các tích phân xác định mà hàm dưới dấu tích phân có chứa | |; max; min và cả 
trường hợp đoạn lấy tích phân không áp dụng được công thức Newton - Leibnitz). 
b c b
a a c
f(x)dx f(x)dx f(x)dx= +∫ ∫ ∫
BB1: Chọn cận trung gian c thích hợp (đôi khi phải chọn hai, ba... giá trị cận trung gian khác 
nhau tùy điều kiện bài toán). 
BB2: Áp dụng công thức Newton - Leibnitz 
c b
a c
f(x)dx F(c) F(a) và f(x)dx F(b) F(c)= − = −∫ ∫ để tính tích phân (1). 
Chú ý: Thận trọng khi f(c) ∉ R (trường hợp tích phân suy rộng loại 2). 
VẤN ĐỀ 4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ CÁC THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ 
RÀNG BUỘC HAI CỰC 
Chứng minh (VT = VP). Đôi khi ta cần chứng minh đẳng thức trung gian. Ví dụ: 
* A B 0 A B− = ⇔ =
* A C A B
B C
=⎧ ⇔ =⎨ =⎩
* 
2 2A B ; A B A B...
A B 0
⎧ = =⎪ ⇔ =⎨ ≥ ≥⎪⎩
Ở đây ta lưu ý đến phép đổi biến số kết hợp cận trung gian, tính chẵn lẻ tuần hoàn - liên 
tục ... Ngoài ra tính chất không phụ thuộc biến và tính chất hoán đổi cực cũng rất thường 
sử dụng: 
b b b
a a a
b b
a a
b c b
a a c
f(x)dx f(t)dt ... f(n)dn
f(x)dx f(x)dx
f(x)dx f(x)dx f(x)dx
= = =
= −
= +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
Ghi chú: Khi hai vế không cùng cực ta phải đổi biến số để tính cực là đồng nhất. 
10 ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN ĐÁNG NHỚ 
1 [ ]2a a
0 0
f(x)dx f(x) f(2a x) dx= + −∫ ∫ biết f liên tục trên [0; 2a]a 0⎧⎨∀ >⎩
2 
b b
a a
a bxf(x)dx f(x)dx
2
+=∫ ∫ biết f liên tục trên [a; b]f(a b x) f(x)⎧⎨ + − =⎩
3 
b b
a a
f(x)dx f(a b x)dx= + −∫ ∫ 
(HQ): 
b b
0 0
f(x)dx f(b x)dx= −∫ ∫
biết f liên tục trên [a; b] 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  
17 
Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 
4 
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=∫ ∫ biết f liên tục trên [-a; a]f chẵn; a 0⎧⎨ ∀ >⎩
5 
a
a
f(x)dx 0
−
=∫ biết f liên tục trên [-a; a]f lẻ; a 0⎧⎨ ∀ >⎩
6 
a T T
a 0
f(x)dx f(x)dx
+
=∫ ∫ 
(HQ): 
nT T
0 0
f(x)dx n f(x)dx=∫ ∫
biết f liên tục trên R
f có chu kỳ T
⎧⎨⎩
7 
2 2
0 0
f(sin x)dx f(cos x)dx
π π
=∫ ∫ biết f liên tục trên [0; 1] 
8 
2
0 0
f(sin x)dx 2 f(sin x)dx
ππ
=∫ ∫ biết f liên tục trên [0; 1] 
9 
2
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
ππ
= π∫