Giải toán 12 trên máy tính

TS Trần Văn Vuông
Giải toán 12 trên máy tính
đồ sơn – 2008
1. Giải toán 12 trên máy tính cầm tay
1.1. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Bài toán 1.1.1. Xét sự biến thiên của hàm số y = x4 - 8x3 + 22x2 - 24x + 1.
KQ: Hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 2) và (3; +Ơ), nghịch biến trên các khoảng (- Ơ; 1) và (2; 3).
Bài toán 1.1.2. Tìm gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số y = x4 -3x2 + 2x +1.
KQ: yCĐ ằ 1,3481; yCT1 ằ - 3,8481; yCT2 = 1.
Bài toán 1.1.3. Tìm gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = .
KQ: max y ằ 2,1213; min y ằ 1,2247.
Bài toán 1.1.4. Tìm gần đúng toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x2 + 7x - 5 và y = .
KQ: A(- 6,8715; - 5,8830), B(0,5760; - 0,6362), C(4,2955; 43,5198).
Bài toán 1.1.5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 – 2x2 + 4x - 1 tại điểm A(2; 7 ).
KQ: y = 8x - 9.
Bài toán 1.1.6. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 4x2 + x - 2 đi qua điểm A(1; - 4). 
KQ: y = - 4x ; y = .
1.2. Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài toán 1.2.1. Tính gần đúng giá trị của biểu thức A = .
KQ: A ằ 0,0136.
Bài toán 1.2.2. Giải phương trình 32x + 5 = 3x + 2 + 2.
KQ: x = - 2.
Bài toán 1.2.3. Giải gần đúng phương trình 9x - 5ì3x + 2 = 0.
KQ: x1 ≈ 1,3814; x2 ≈ - 0,7505.
Bài toán 1.2.4. Giải phương trình .
KQ: x = .
Bài toán 1.2.5. Giải phương trình .
KQ: x1 = 4; x2 = .
Bài toán 1.2.6. Giải gần đúng phương trình .
KQ: x1 ≈ 2,4601; x2 ≈ 0,6269.
1.3. Tích phân và ứng dụng
Bài toán 1.3.1. Tính các tích phân:
a) ; b) ; c) .
KQ: a) ; b) 0,5; c) 1.
Bài toán 1.3.2. Tính gần đúng các tích phân:
a) ; b) ; c) .
KQ: a) 0,1771; b) - 0,8185; c) 1,3673.
Bài toán 1.3.3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2x2 + 5x - 2 và y = x3 + 2x2 - 2x + 4.
KQ: S = 32,75.
1.4. Số phức
Bài toán 1.4.1. Tính
a) ; b) .
KQ: a) ; b) .
Bài toán1.4.2. Giải phương trình x2 - 6x + 58 = 0.
KQ: x1 = 3 + 7i ; x2 = 3 - 7i.
Bài toán 1.4.3. Giải gần đúng phương trình x3 - x + 10 = 0.
KQ: x1 ≈ - 2,3089; x2 ≈ 1,1545 + 1,7316i; x3 ≈ 1,1545 - 1,7316i.
Bài toán 1.4.4. Giải gần đúng phương trình 2x3 + 3x2- 4x + 5 = 0.
KQ: x1 ≈ - 2,62448; x2 ≈ 0,5624 + 0,7976i; x3 ≈ 0,5624 - 0,797i.
1.5. Phương pháp toạ độ trong không gian
Bài toán 1.5.1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; - 3; 2), B(5; 6; 1), C(- 4; -7; 4).
KQ: 14x - 3y + 29z - 81 = 0.
Bài toán 1.5.2. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(2; 1; - 3), B(3; 5; 6), C(5; - 4; -7), D(9; 0; 1).
KQ: .
Bài toán 1.5.3. Cho tam giác có các đỉnh A(1; - 3; 2), B(5; 6; 0), C(- 4; -7; 5).
a) Tính gần đúng độ dài các cạnh của tam giác.
b) Tính gần đúng các góc (độ, phút, giây) của tam giác.
c) Tính gần đúng diện tích tam giác.
KQ: a) AB ằ 10,0499; BC ằ 7,0711; CA ằ 16,5831.
 b) Â ≈ 1500 44’ 45”; ≈ 120 1’ 38”; Ĉ ≈ 170 13’ 37”. 
 c) S ằ 17,3638.
Bài toán 1.5.4. Cho hai đường thẳng 
	a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đường thẳng đó.
	b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(10; 2; 1) và vuông góc với đường thẳng d2.
	c) Tìm toạ độ giao điểm M của đường thẳng d1 và mặt phẳng (P).
	KQ: a) φ ≈ 620 23’ 0”; b) (P): 5x - 4y - 9z - 33 = 0; . 
Bài toán 1.5.5. Cho hình tứ diện có các đỉnh A(1; - 2; 3), B(- 2; 4; - 5), C(3; - 4; 7), D(5; 9; - 2).
a) Tính tích vô hướng của hai vectơ và . 
b) Tìm tích vectơ của hai vectơ và .
c) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
KQ: a) .= - 50. b) = (8; - 4; - 6). c) V = 3.
Bài toán 1.5.6. Cho hai đường thẳng 
 và 
a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đường thẳng đó.
	b) Tính gần đúng khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.
KQ: a) φ ≈ 690 43’ 56”; b) 0,5334.
2. Giải toán 12 trên máy vi tính nhờ phần mềm Maple 8
	Phần mềm Maple được sản xuất đầu tiên ở Canađa cách đây vài thập kỷ. Hiện nay đã có phiên bản Maple 11. Chúng ta sử dụng phiên bản Maple 8 được sản xuất năm 2002 vì nó có dung lượng thích hợp với việc giải toán phổ thông. Để sử dụng được phần mềm này sau khi đã cài đặt nó vào máy tính, cần phải nhớ cách nhập các lệnh và các ký hiệu toán học. 
2.1. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
2.1.1. Cho hàm số, tính giá trị của hàm số tại một số điểm thuộc tập xác định của hàm số đó, vẽ đồ thị của hàm số trên một hình chữ nhật của mặt phẳng toạ độ
	Cấu trúc lệnh cho hàm số như sau:
f : =x - > hàm số;
	Chữ cái ký hiệu của hàm số có thể là chữ cái g, h, j , ... chứ không nhất thiết là chữ cái f. Đối số cũng không nhất thiết là x mà có thể là chữ cái bất kỳ khác. Tại vị trí của “hàm số” ta phải nhập biểu thức của hàm số cần cho. Các dấu +, - được nhập bình thường. Dấu nhân được nhập bằng *. Dấu chia được nhập bằng /. Luỹ thừa được nhập bằng ^. 
 Nếu đã cho hàm số f(x) thì cấu trúc lệnh yêu cầu tính giá trị của hàm số tại điểm a thuộc tập xác định của nó là:
f(a);
	Nếu đã cho hàm số f(x) thì cấu trúc lệnh vẽ đồ thị của hàm số trên một hình chữ nhật của mặt phẳng toạ độ với x từ a đến b và y từ c đến d như sau:
plot(f(x),x =a .. b, y = c .. d);
	Bài toán 2.1.1.1. Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 11x - 6. Tính giá trị hàm số tại x = 2, m, và vẽ đồ thị hàm số đó với x từ - 5 đến 5, y từ - 5 đến 5.
> f:=x->x^3-6*x^2+11*x-6;
> f(2);
> f(m);
> f(Pi/3);
> plot(f(x),x=-5..5,y=-5..5);
 	Bài toán 2.1.1.2. Vẽ đồ thị của hai hàm số y = sin 2x và y = x4 - 3x2 + 2 trên cùng một hệ trục toạ độ với x từ - 4 đến 4 và y từ - 2 đến 6.
> plot({sin(2*x),x^4-3*x^2+2},x=-4..4,y=-2..6);
2.1.2. Tìm tập xác định của hàm số cho bằng biểu thức
	Tập xác định của hàm số cho bằng biểu thức thường là tập nghiệm của bất phương trình hoặc hệ bất phương trình nào đó.
	Bài toán 2.1.2.1. Tìm tập xác định của hàm số y = .
> solve(3-x^2>0,{x});
	Vậy tập xác định đó là D = 
Bài toán 2.1.2.2. Tìm tập xác định của hàm số y = .
> solve({x^2-3*x+2>=0,2*x+1>0},{x});
	Vậy tập xác định đó là D = .
2.1.3. Tìm cực trị của hàm số
	Để tìm cực trị của một hàm số, trước hết ta phải tính đạo hàm của hàm số và tìm nghiệm của đạo hàm. Cấu trúc lệnh của đạo hàm như sau:
diff(hàm số, đối số);
	Tại vị trí của “hàm số” ta phải nhập biểu thức của hàm số. Tại vị trí “đối`số” ta phải nhập chữ cái chỉ đối số. Cấu trúc lệnh tìm nghiệm của đạo hàm (của đối số x) là:
solve(đạo hàm, {x});
	Tại ví trí của đạo hàm ta phải nhập biểu thức của đạo hàm hoặc ký hiệu % nếu kết quả tính đạo hàm vừa mới có ở dòng trên liền kề.
	Sau đó, có thể tính đạo hàm cấp 2 và giá trị của đạo hàm cấp 2 tại nghiệm của đạo hàm rồi kết luận về cực trị. Cấu trúc lệnh của đạo hàm cấp 2 như sau:
diff(hàm số, đối số, đối số);
hoặc diff(hàm số, đối số$2);
 	Bài toán 2.1.3.1. Tìm các cực trị của hàm số y = x4 -3x2 + 2x +1.
> f:=x->x^4-3*x^2+2*x+1;
> diff(f(x),x);
> solve(%,{x});
> diff(f(x),x,x);
> g:=x->12*x^2-6;
> g(1);
> g(-1/2+1/2*3^(1/2));
> simplify(%);
> g(-1/2-1/2*3^(1/2));
> simplify(%);
> f(1);
> f(-1/2+1/2*3^(1/2));
> simplify(%);
> f(-1/2-1/2*3^(1/2));
> simplify(%);
	Như vậy hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại. Các giá trị cực tiểu là f(1) = 1 và . Giá trị cực đại là .
	Có thể yêu cầu vẽ đồ thị hàm số này để thấy các cực trị đó một cách trực quan.
> plot(x^4-3*x^2+2*x+1,x=-3..3,y=-4..2);
2.1.4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
	Cấu trúc lệnh tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] như sau:
maximize(f(x),x = a .. b);
Cấu trúc lệnh tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] như sau:
minimize(f(x),x = a .. b);
	Tại vị trí f(x) ta phải nhập biểu thức của hàm số đó. a và b phải là các số cụ thể chứ không phải chữ cái dùng thay số.
	Bài toán 2.1.4.1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + cos2x trên đoạn [0; 1].
> maximize(x+cos(2*x),x=0..1);
> minimize(x+cos(2*x),x=0..1);
	Bài toán 2.1.4.2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = .
> > maximize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1..5/2);
> minimize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1..5/2);
2.1.5. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Bài toán 2.1.5.1. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =.
> (x^3-2*x^2+4*x-1)/(x^2+x-2)=convert((x^3-2*x^2+4*x-1)/(x^2+x-2),parfrac,x);
Vậy đồ thị hàm số này có ba đường tiệm cận x = - 2, x = 1 và y = x – 3.
2.1.6. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
	Đây là việc giải hệ phương trình.
Bài toán 2.1.6.1. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x2 + 7x - 5 và y = .
> solve({y=x^2+7*x-5,y=(8*x^2+9*x-11)/(x+1)});
	Vậy toạ độ ba giao điểm của hai đồ thị đã cho là A(1; 3), B(2; 13), C(- 3; - 17).
Bài toán 2.1.6.2. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = cosx và y = 2x.
> solve({y=cos(x),y=2*x});
> evalf(%);
	Vậy toạ độ gần đúng (với 4 chữ số thập phân) của giao điểm của hai đồ thị đã cho là A(0,4502; 0,9004).
2.1.7. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm trên đồ thị đó hoặc đi qua điểm nào đó khi biết toạ độ của điểm đó
Bài toán 2.1.7.1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 – 2x2 + 4x - 1 tại điểm A(2; 7 ).
> diff(x^3-2*x^2+4*x-1,x);
> g:=x->3*x^2-4*x+4;
> g(2);
> expand(y=8*(x-2)+7);
 Bài toán 2.1.7.2. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 4x2 + x - 2 đi qua điểm A(1; - 4). 
> f:=x->k*(x-a)+b;
> solve(f(1)=-4,{b});
> g:=k->k*(x-a)-k+k*a-4;
> diff(x^3-4*x^2+x-2,x);
> solve({x^3-4*x^2+x-2=k*x-k-4,3*x^2-8*x+1=k});
> y=g(-17/4);
> y=g(-4);
2.2. Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
2.2.1. Tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức (số hoặc chữ) 
Bài toán 2.2.1.1. Rút gọn biểu thức A = .
> A:=sqrt(5+2*sqrt(6))+sqrt(5-2*sqrt(6));
Bài toán 2.2.1.2. Rút gọn biểu thức B = .
> B:=2^(ln(8*a)/ln(4)-ln(3*b)/ln(8));
> B:=simplify(%);
2.2.2. Giải phương trình mũ
Bài toán 2.2.2.1. Giải phương trình 32x + 5 = 3x + 2 + 2.
> solve(3^(2*x+5)=3^(x+2)+2,{x});
> expand(%);
> evalf(%);
	Nếu ta đặt ẩn phụ rồi mới yêu cầu máy giải phương trình thì ta được nghiệm đúng:
> solve(3*t^2=t+2,{t});
> solve(3^(x+2)=1,{x});
Bài toán 2.2.2.2. Giải phương trình 9x - 5ì3x + 2 = 0.
> solve(t^2-5*t+2,{t});
> solve(3^x=5/2+1/2*17^(1/2),{x});
> solve(3^x=5/2-1/2*17^(1/2),{x});
2.2.3. Giải hệ phương trình mũ
Bài toán 2.2.3.1. Giải hệ phương trình 
> solve({2^x+3^y=7,4^x+9^y=25});
> evalf(%);
> s:=2^x;t:=3^y;
> solve({s+t=7,s^2+t^2=25}); 
2.2.4. Giải bất phương trình mũ
 Bài toán 2.2.4.1. Giải bất phương trình 4x - 3´2x + 2 > 0.
> solve(4^x-3*2^x+2>0,{x});
> t:=2^x;
> solve(t^2-3*t+2>0,{x});
2.2.5. Giải phương trình lôgarit
	Bài toán 2.2.5.1. Giải phương trình log2x + log4(2x) = 3.
> solve(ln(x)/ln(2)+ln(2*x)/ln(4)=3,{x});
> simplify(%);
	Bài toán 2.2.5.2. Giải phương trình log22 x + log2 (3x) = 5.
> solve((ln(x)/ln(2))^2+ln(3*x)/ln(2)=5,{x});
> 
> evalf(%);
2.2.6. Giải phương trình hỗn hợp
	Bài toán 2.2.6.1. Giải phương trình 2x - log3 (2x) = 4.
> solve(2^x-ln(2*x)/ln(3)=4,{x});
> evalf(%);
> plot(2^x-ln(2*x)/ln(3)-4,x=-1..3,y=-3..1);
2.3. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
2.3.1. Tính nguyên hàm
	Cấu trúc của lệnh tính nguyên hàm của một hàm số là: 
int (hàm số, đối số);
	Sau khi ghi đầy đủ lệnh trên, trong đó hàm số được ghi bằng một biểu thức cụ thể và đối số được ghi bằng một chữ cái thích hợp, và ấn phím Enter thì kết quả sẽ hiện ra nhưng không kèm theo hằng số tích phân. 
	Bài toán 2.3.1.1. Tính nguyên hàm của hàm số (x2 - 2x + 3)4.
> int((x^2-2*x+3)^4,x);
	Nếu muốn kết quả hiện ra có cả ký hiệu của nguyên hàm đó thì cần sửa lại cấu trúc của lệnh một chút:
> Int((x^2-2*x+3)^4,x)=int((x^2-2*x+3)^4,x);
Bài toán 2.3.1.2. Tính nguyên hàm của hàm số (x2 + 2x - 1)e2x - 3.
> Int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-3),x)=int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-3),x);
> Int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-3),x)=int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-3),x);
2.3.2. Tính tích phân
Bài toán 2.3.2.1. Tính .
> Int(4*x^3-2*x^2+3*x+1,x=1..2)=int(4*x^3-2*x^2+3*x+1,x=1..2);
Bài toán 2.3.2.2. Tính .
> Int(x^3*exp(x^2),x=0..1)=int(x^3*exp(x^2),x=0..1);
Bài toán 2.3.2.3. Tính .
> Int(x*sin(x),x=0..pi/2)=int(x*sin(x),x=0..pi/2);
Bài toán 2.3.2.4. Tính .
> Int((2*x^2-3*x+1)/(x^3+1),x=0..1)=int((2*x^2-3*x+1)/(x^3+1),x=0..1);
Bài toán 2.3.2.5. Tính .
>Int(x^2*cos(2*x),x=Pi/6..Pi/2)=int(x^2*cos(2*x),x=Pi/6..Pi/2);
Bài toán 2.3.2.6. Tính .
>Int(x*sin(x)/(2+cos(x)^2),x=0..Pi)=int(x*sin(x)/(2+cos(x)^2),x=0..Pi);
> evalf(%);
	Nếu đổi biến số t = p - x thì ta có . 
>Int(x*sin(x)/(2+cos(x)^2),x=0..Pi)=int(Pi/2*sin(x)/(2+cos(x)^2),x=0..Pi);
2.3.3. Tính diện tích hình phẳng nhờ tích phân
Bài toán 2.3.3.1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2x2 + 5x - 2 và y = x3 + 2x2 - 2x + 4.
> f:=x->2*x^2+5*x-2; g:=x->x^3+2*x^2-2*x+4;
> solve(f(x)=g(x),{x});
> S:=Int(abs(f(x)-g(x)),x=-3..2)=int(abs(f(x)-g(x)),x=-3..2);
2.3.4. Tính thể tích vật thể tròn xoay nhờ tích phân
Bài toán 2.3.4.1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 + 5x - 1 và y = x3 + 4x2 + 5x - 5 quanh trục hoành.
> f:=x->x^2+5*x-1;g:=x->x^3+4*x^2+5*x-5;
> solve(f(x)=g(x),{x});
> V:=Int(Pi*(f(x)-g(x))^2,x=-2..1)=int(Pi*(f(x)-g(x))^2,x=-2..1);
2.4. Số phức
2.4.1. Rút gọn các biểu thức có chứa số phức
	Bài toán 2.4.1.1. Tính .
> (3+2*I)/(1-I)+(1-I)/(3-2*I);
Bài toán 2.4.1.2. Tính .
> (1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2;
2.4.2. Tìm môđun và acgumen của số phức
Bài toán 2.4.2.1. Tìm môđun và acgumen của số phức z =.
> abs((1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2);
> argument((1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2);
2.4.3. Chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác hoặc dạng mũ
Bài toán 2.4.3.1. Chuyển đổi số phức z = 1 + i sang dạng lượng giác và dạng mũ.
> 1+sqrt(3)*I=convert(1+sqrt(3)*I,polar);
Như vậy, ta có 1 + i = 2.
Bài toán 2.4.3.2. Chuyển đổi số phức z = sang dạng lượng giác và dạng mũ.
> convert( (1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2, polar );
	Như vậy, ta có 
2.4.4. Giải phương trình trên tập hợp số phức
Bài toán 2.4.4.1. Giải phương trình x2 - 6x + 58 = 0.
> solve(x^2-6*x+58,{x});
Bài toán 2.4.4.2. Giải phương trình x3 - x2 - 2x + 8 = 0.
> solve(x^3-x^2-2*x+8,{x});
Bài toán 2.4.4.3. Giải phương trình x3 - x + 10 = 0.
> solve(x^3-x+10,{x});
> evalf(%);
Bài toán 2.4.4.4. Giải phương trình x4 + 5x2- 36 = 0.
> solve(x^4+5*x^2-36,{x});
Bài toán 2.4.4.5. Giải phương trình x4 + x3 - 5x2 - 4 = 0.
> solve(x^4+x^3-5*x^2-4,{x});
> evalf(%);
2.5. Phương pháp toạ độ trong không gian
2.5.1. Tính tích vô hướng, tích vectơ, góc giữa hai vectơ khi biết toạ độ của chúng
Bài toán 2.5.1.1. Cho hai vec tơ và .
a) Tính tích vô hướng của hai vectơ và . 
b) Tìm tích vectơ của hai vectơ và .
c) Tính góc giữa hai vectơ và .
> a:=Vector([3,7,-5]);
> b:=Vector([4,-2,9]);
> a.b;
> with(LinearAlgebra):c:=CrossProduct(a,b);
> VectorAngle(a,b);
> evalf(%);
> evalf(%*180/Pi);
> (%-120)*60;
> (%-53)*60;
	Vậy góc giữa hai vectơ này là j ằ120053’10”. 
2.5.2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm khi biết toạ độ của chúng 
	Bài toán 2.5.2.1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; - 3; 2), B(5; 6; 1), C(- 4; - 7; 4).
> f:=(x,y,z)->a*x+b*y+c*z+1;
> solve({f(1,-3,2),f(5,6,1),f(-4,-7,4)});
> f:=(x,y,z)->a*x+b*y+c*z-81;
> solve({f(1,-3,2),f(5,6,1),f(-4,-7,4)});
> 14*x-3*y+29*z-81=0;
2.5.3. Tìm toạ độ giao điểm của ba mặt phẳng khi biết phương trình của chúng
	Bài toán 2.5.3.1. Tìm toạ độ giao điểm của ba mặt phẳng có phương trình 
2x - 5y + 7z - 8 = 0, x + y - 5z + 1 = 0, 12x - 51y - z - 3 = 0.
> solve({2*x-5*y+7*z-8,x+13/4*y-5*z+1,12*x-51*y-z-3});
2.5.4. Viết phương trình đường thẳng, tính góc giữa hai đường thẳng khi biết phương trình của chúng
	Bài toán 2.5.4.1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 5; 6) và B(- 4; 7; 8).
> AB:=Vector([-4-2,7+5,8-6]);
> 1/2*AB;
> (x-2)/(-3)=(y+5)/6,(y+5)/6=(z-6)/1;
	Bài toán 2.5.4.2. Tính góc giữa hai đường thẳng đường thẳng có phương trình
d: và D: 
> a:=Vector([4,5,3]);b:=Vector([7,-2,3]);
> with(LinearAlgebra):VectorAngle(a,b);
> evalf(%);
> evalf(%*180/Pi);
> (%-60)*60;
> (%-59)*60;
	Vậy góc giữa hai đường thẳng này là j ằ 600 59’31”. 
2.5.5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau khi biết phương trình của chúng
Bài toán 2.5.5.1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
 và 
> a:=Vector([4,3,5]);b:=Vector([-2,7,1]);c:=Vector([1-3,2+2,-1-0]);
> with(LinearAlgebra):m:=CrossProduct(a,b);
> k:=abs(c.m/sqrt(m.m));
2.5.6. Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng khi biết phương trình của chúng 
	Bài toán 2.5.6.1. Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 5x - 6y + 7z - 9 = 0. 
> solve({(x-1)/2=(y+2)/3,(y+2)/3=(z-3)/(-4),5*x-6*y+7*z-9});
2.5.7. Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng và mặt cầu khi biết phương trình của chúng
Bài toán 2.5.7.1. Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng và mặt cầu x2 + y2 + z2 - 26 = 0. 
> solve({x^2+y^2+z^2-26,(x-3)/2=y-4,y-4=1-z});
Bài toán 2.5.7.2. Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng và mặt cầu x2 + y2 + z2 + 5x - 16y + 72z - 19 = 0. 
> solve({x^2+y^2+z^2+5*x-16*y+72*z-19,(x-1)/2=(y+2)/3,(y+2)/3=(z-3)/(-4)});
> evalf(%);
> solve(29*t^2-258*t+193,{t});
> t1:=129/29+2/29*2761^(1/2);t2:=129/29-2/29*2761^(1/2);x1:=3*t1;y1:=-6*t1+5;z1:=9/2*t1-7/2;x2:=3*t2;y2:=-6*t2+5;z2:=9/2*t2-7/2;
2.5.8. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm khi biết toạ độ của chúng
	Bài toán 2.5.8.1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(2; 1; - 3), B(3; 5; 6), C(5; - 4; - 7), D(9; 0; 1).
> f:=(x,y,z)->x^2+y^2+z^2+a*x+b*y+c*z+d;
> solve({f(2,1,-3),f(3,5,6),f(5,-4,-7),f(9,0,1)});
> x^2+y^2+z^2+159/13*x+577/13*y-355/13*z-2142/13=0;
2.5.9. Tính một số yếu tố của tam giác khi biết toạ độ các đỉnh của nó
	Bài toán 2.5.9.1. Cho tam giác có các đỉnh A(1; - 3; 2), B(5; 6; 0), C(- 4; - 7; 5).
	a) Tính độ dài các cạnh của tam giác.
	b) Tính các góc của tam giác.
c) Tính diện tích của tam giác.
> a:=sqrt((5+4)^2+(6+7)^2+(0-5)^2);b:=sqrt((1+4)^2+(-3+7)^2+(2-5)^2);c:=sqrt((1-5)^2+(-3-6)^2+(2-0)^2);A:=arccos((b^2+c^2-a^2)/2/b/c);B:=arccos((c^2+a^2-b^2)/2/c/a);C:=arccos((a^2+b^2-c^2)/2/a/b);p:=(a+b+c)/2;S:=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));
> expand(%);
2.5.10. Tính một số yếu tố của hình tứ diện khi biết toạ độ các đỉnh của nó
Bài toán 2.5.10.1. Cho hình tứ diện có các đỉnh A(1; - 2; 3), B(- 2; 4; - 5), C(3; - 4; 7), D(5; 9; - 2).
a) Tính tích vô hướng của hai vectơ và . 
b) Tìm tích vectơ của hai vectơ và .
c) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
d) Tính diện tích tam giác BCD.
e) Tính đường cao hạ từ A của hình tứ diện ABCD.
> AB:=Vector([-2-1,4+2,-5-3]);
> AC:=Vector([3-1,-4+2,7-3]);
> AB.AC;
> with(LinearAlgebra):a:=CrossProduct(AB,AC);
> AD:=Vector([5-1,9+2,-2-3]);
> V:=1/6*abs(AD.a);
> BC:=Vector([3+2,-4-4,7+5]);
> BD:=Vector([5+2,9-4,-2+5]);
> S:=1/2*sqrt((BC.BC)*(BD.BD)-(BC.BD)^2);
> h:=3*V/S;