Giáo án Các hệ phương trình thông thường - Bài 1 đến bài 5

Trang
Phần 1	 CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
 THÔNG THƯỜNG
§1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn...4
§2. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn9
§3. Hệ phương trình đối xứng loại I.16
§4. Hệ phương trình đối xứng loại II24
§5. Hệ phương trình đng cấp bậc hai30
Phần 2	 CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC
§1. Hệ phương trình bậc cao hai ẩn..36
§2. Hệ phương trình vô tỉ......40
§3. Hệ phương trình không mẫu mực...47
§4. Hệ phương trình dùng phương pháp hình học vectơ...56
§5. Hệ phương trình trong các kì thi.60
§1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1/ Dạng:
Cách giải: phép thế, phép cộng... 
Phép thế:
Ví dụ 1:	
Giải
Vậy
 Phép cộng:
Ví dụ 2:	 
Cộng 2 vế phương trình lại, ta có:
Giải hệ phương trình (1) ta được 
Vậy 
2/ Giải và biện luận phương trình:
Bước 1: Tính các định thức:
(gọi là định thức của hệ)
(gọi là định thức của x)
(gọi là định thức của y)
Bước 2: Biện luận:
Nếu D ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất:
Nếu D = 0 và Dx ≠ 0 v Dy ≠ 0 thì hệ vô nghiệm
Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm 
 hoặc vô nghiệm.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (–1;2)
Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình:
Giải
Biện luận:
Nếu D ≠ 0 m ≠ ±1 thì hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất là 
Nếu D = 0 m = ±1 thì:
Khi m = 1 ta được hệ phương trình:
Hệ có vô số nghiệm: 
Khi m = –1 ta được hệ phương trình:
3/ Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
Giải
Đặt u = x + y;	v = x – y 
Ta có hệ phương trình:
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 1; –2)
§2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN
1/ Các phương pháp chung:
Nguyên tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn vẫn là biến đổi hệ phương trình đã cho thành những hệ tương đương hoặc những hệ phương trình hệ quả dễ giải hơn, (trong đó có những phương trình với số ẩn ngày càng ít). Để đạt được điều này ta thường dùng:
-Phương pháp cộng đại số
-Phương pháp thế
Nếu có dùng phép biến đổi không tương đương thì cần phải thử lại các giá trị tìm được của ẩn. 
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :
Giải
Với ta có :
Hệ này có nghiệm 
Với ta có :
Giải hệ ta được hai nghiệm : 
Với ta có :
Hệ có hai nghiệm :.
Vậy hệ (I) có 5 nghiệm :
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :
Nhận xét: Nghiên cứu cách giải. Hãy thử giải hệ này bằng phương pháp thế.
Tuy nhiên có thể nhận xét về dấu của để đề ra một cách giải cách.
Rõ ràng khác và cùng dấu.
Giải
Nhân vế với vế của ba phương trình ta được một phương trình; kết hợp với hai trong ba phương trình đã cho ta được hệ: 
Ta dễ thấy rằng 
Vì 
Nên hệ tương đương với hai hệ : 
 và 
Giải : Thay vào phương trình thứ bat a được ; thay vào phương trình thứ ba ta được . Thay vào phương trình thứ ba ta được .
Hệ có nghiệm: 
Giải : Tương tự hệ có nghiệm 
Vậy hệ có hai nghiệm: 
2/ Áp dụng hệ thức Viét đối với phương trình bậc ba:
Hệ thức Viét đối với phương trình bậc ba được phát biểu như sau :
ĐỊNH LÍ: Nếu phương trình có ba nghiệm thì : 
Ngược lại, nếu ba số thỏa mãn các đẳng thức : 
thì chúng là ba nghiệm của phương trình :
Theo định lí trên đây có thể giải hệ phương trình ba ẩn 
bằng cách giải một phương trình bậc ba 
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình : 
Giải
Theo định lí Viét là ba nghiệm của phương trình 
Ta thấy là một nghiệm của phương trình trên. Do đó phương trình trên được viết thành : 
Giải phương trình này ta được : 
Vì hệ phương trình này đối xứng đối với nên hệ có nghiệm sau : 
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình : 
Giải
Biến đổi hệ này thành hệ có dạng . Bình phương hai vế phương trình thứ nhất rồi trừ từng vế với phương trình thứ hai ta được : 
Theo định lí Viét, là ba nghiệm của phương trình : 
Ta có thể thấy là một nghiệm. Do đó : 
Giải phương trình này ta được : 
Vậy hệ có ba nghiệm: 
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình : 
Giải
Vậy là ba nghiệm của phương trình bậc ba
 hay 
Phương trình này có nghiệm là : 
Do đó hệ phương trình có 6 nghiệm là hoán vị của ba số :
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Giải các hệ phương trình :
§3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I
TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
1/ Dạng tồng quát của hệ đối xứng loại I:
Định nghĩa: Hệ đối xứng loại I là hệ chứa 2 ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi. 
 , trong đó 
Phương pháp giải tổng quát:
	i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
ii) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy (với S2 4P) . 
Khi đó, ta đưa hệ về hệ mới chứa S,P.
	iii) Bước 3: Giải hệ mới tìm S,P. Chọn S,P thỏa mãn 
S2 4P.
iiii) Bước 4: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình:
X2 – SX + P = 0 	( định lý Viét đảo)
*Chú ý:
	i) Cần nhớ: 
ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ:
	và	
iii) Có những hệ phương trình trở thành 
hệ đối xứng loại I sau khi ta đặt ẩn phụ.
2/ Một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Gải hệ phương trình sau:
	(1)
GIẢI
Đặt:	, với S2 4P.
Khi đó, hệ (1) trở thành:
Với: . Khi đó, x và y là nghiệm của phương trình:	
Với: . Khi đó, x và y là ngiệm của phương trình:	
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm
(x,y) = (1;2), (2;1), (1;–3), (–3;1).
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
( ĐH Ngoại Thương TPHCM - Khối A,D năm 1997)
GIẢI
Đặt:	
Khi đó, hệ (1) trở thành:
 u, v là nghiệm của phương trình:	X2 – 5X + 6 = 0
Trường hợp 1: u = 2; v = 3
Trường hợp 2: u = 3; v = 2
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm (x,y) là .
3/ Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại I có nghiệm:
Phương pháp giải tổng quát:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy với điều kiện của S,P và 	S2 4P (*).
iii) Bước 3: Thay x,y bởi S,P vào hệ phương trình. 
Giải hệ tìm S,P theo m, rồi từ điều kiện (*) tìm m. 
(với m là tham số)
Ví dụ 3: Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm:
GIẢI
Đặt:	
Khi đó, hệ (1) trở thành:
Suy ra u,v là nghiệm (không âm) của phương trình:
Theo đề, hệ (1) có nghiệmPt (*) có 2 nghiệm không âm.
Vậy là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
GIẢI
Điều kiện:	
Khi đó:
Đặt:	
Hệ phương trình trở thành:
Hệ (1) có nghiệm thực
Vậy là giá trị cần tìm.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải hệ phương trình: .
Bài 2: Giải hệ phương trình: .
Bài 3: Tìm m để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm thực 
phân biệt.	
Bài 4: Tìm m để hệ phương trình sau có nhgiệm thực:
Bài 5: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thực x > 0, y > 0: 
§4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II
1/ Định nghĩa: 
Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia của hệ.
*Chú ý: Nếu là nghiệm của hệ thì cũng là nghiệm của hệ.
2/ Các dạng của hệ phương trình đối xứng loại II:
Dạng 1: (đổi vị trí x và y cho nhau thì
 phương trình này trở thành phương trình kia).
Phương pháp giải chung:
Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số.
Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ
Ví dụ1: Giải hệ phương trình sau:
Nhận xét: Nếu thay đồng thời x bởi y và y bởi x thì phương trình thứ nhất sẽ trở thành phương trình thứ hai và ngược lại.
Giải
Trừ từng vế hai phương trình trong hệ, ta được
Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với:
 hoặc 
Giải hệ (Ia) ta được nghiệm (0;0), (3;3).
Giải hệ (IIa) ta được nghiệm:
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là
(0;0), (3;3), 
Dạng 2: (trong đó chỉ có 1 phương trình
đối xứng loại I)
Cách giải: Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Giải
Điều kiện:	. Khi đó:
Với x = y thì (2)
Với thì (2) vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt (1;1), (–1;–1).
3/ Một số bài tập về phương trình đối xứng loại II :
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
Giải
Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta được:
Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với:
 hoặc 
Giải (I):
Giải (II): 
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm 
(0;0), (5;5), (–1;2), (2;–1).
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình 
Giải
Điều kiện: .
Lấy(1) trừ (2) ta được:
Thay x = y vào (1), ta được:
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 
Giải
Điều kiện: 
Khi đó, hệ phương trình đã cho tương đương 
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
Thay (3) vào (1) ta được:
(thoả đk)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
(x;y) = (1;1).
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1:Giải hệ phương trình: 
Bài 2: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
Bài 3: Chứng minh rằng với thì phương trình sau có nghiệm duy nhất:
§5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 
BẬC HAI
1/ Định nghĩa:
Biểu thức f(x; y) gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2 nếu
f(mx; my) = m2f(x; y)
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
Trong đó: f(x; y) và g(x; y) là phương trình đẳng cấp bậc 2;
với a và b là hằng số.
2/ Cách giải:
Xét x = 0 thay vào hệ kiểm tra.
Với x ≠ 0 ta đặt y = xt thay vào hệ ta có:
Sau đó, chia 2 vế của 2 phương trình với nhau ta được:
Giải phương trình (*) ta tìm được t.
Thế t vào hệ ta tìm được (x; y).
3/ Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: 
Giải
Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình
Với x ≠ 0 ta đặt y = xt. Khi đó hệ phương trình trở thành:
Khi đó (2) (thỏa)
Khi t = 1 thế vào hệ ta được (x; y) = 
Khi t = 2 thế vào hệ ta được (x; y) = (1; 2), (–1; –2)
Vậy nghiệm của hệ là:(x; y) = , (1; 2), (–1; –2)
Ví dụ 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
Giải
Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình
Với x 0 ta đặt y = xt. Thế vào hệ phương trình ta được
Khi t = 0 thì	
Khi (1–m)t = 1	
Vì nên (*) có nghĩa
 Vậy với thì hệ phương trình trên có nghiệm.
Ví dụ3: Cho hệ phương trình sau: 
Chứng minh hệ phương trình luôn luôn có nghiệm .
Giải
Khi x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình.
Với x 0 ta đặt y = xt. Khi đó hệ phương trình trở thành
Khi đó 
Với m = 4 thì (**) có dạng (thoả)
Với m 4 thì (**) có dạng:
Với 
Vậy hệ phương trình luôn luôn có nghiệm.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
Bài 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm:
Phaàn 2
Caùc Heä Phöông Trình Khaùc
§1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO HAI ẨN
 Hệ phương trình bậc cao hai ẩn là hệ gồm hai phương trình hai ẩn trong đó có ít nhất một phương trình có bậc lớn hơn 1.
Phương pháp chung:
 Các hệ phương trình bậc cao thường khó giải và không thể nêu ra từng phương pháp cu thể để giải.Do đó phương pháp thường được sử dụng là chuyển chúng về hệ phương trình bậc hai bằng một trong hai phương pháp:
Phương pháp biến đổi tương đương.
Phương pháp đặt ẩn phụ.
Các dạng hệ phương trình thường gặp:
Hệ phương trình đối xứng loại 1
Hệ phương trình đối xứng loại 2 
2/ Một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:
Giải
Khi đó (1) trở thành:
Với x,y là nghiệm của phương trình:
Với x,y là nghiệm của phương trình:
Vậy hệ phương trình có bốn cặp nghiệm là
(–1;2), (2; –1), (1; –2), (–2;1)
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:
Giải
Đặt:	;	điều kiện 
Khi đó:
Với S = 2 ; P = –3 
Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm là (–1;3),(3; –1)
Giải
Với xy = 3 ta được:
x;y là nghiệm của phương trình:
Với ta được:
x;y là nghiệm của phương trình:
 (vô nghiệm)
Vậy hệ có hai cặp nghiệm là (1;3),(3;1)
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải hệ phương trình:
Bài 2: Cho hệ phương trình:
Tìm m để hệ phương trình có đúng hai nghiệm.
Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
§2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
NHỮNG PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ:
1/ Khử căn thức để đưa hệ đã cho về hệ hữu tỉ:
Một vài định lí khi khử căn thức:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
Giải
	Điều kiện: 
Vậy hệ (I) có nghiệm (x;y) = (1;1)
2/ Đưa một phương trình trong hệ về dạng tích của các phương trình bậc nhất 2 ẩn:
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Giải
Điều kiện:	
Khi đó:
Thay vào phương trình (2) ta được:
Vậy hệ (II) có nghiệm (x;y) = (5;2)
3/ Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 
Giải
Đặt	
Ta có:
Từ đó ta có: 
Suy ra:	
Vậy hệ (III) có nghiệm (x;y) = (8;8),(8; –8)
Ví dụ 4: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
Giải
Đặt	
Khi đó, hệ có nghiệm
Ta có: 
Khi u + v = 1, ta có uv = m
Suy ra	 
Hệ (*) có nghiệm khi vế trái của phương trình
t2 – t + m = 0 chỉ có nghiệm t ³ 0.
Vậy hệ (IV) có nghiệm khi 
4/ Phương pháp đánh giá:
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 
Giải
Điều kiện:	0 £ y £ 1, x ³ 0, xy – y ³ 0 (*)
Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ.
Với y ¹ 0, (*) Þ x ³ 1.
	Suy ra 
Thay (x;y) = (1;1) vào hệ, ta thấy thỏa hệ.
Vậy nghiệm của hệ (V) là (x;y) = (1;1)
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
Bài 2: 
Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm
§3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
Khái niệm: 
Hệ phương trình không mẫu mực là hệ phương trình không có cấu trúc (dạng) cụ thể, do đó cũng không có cách giải tổng quát. Phải tùy vào từng hệ phương trình mà có cách giải phù hợp.
Một số cách giải cơ bản:
Phương pháp thế,
Phương pháp đặt ẩn số phụ,
Phương pháp cộng,
Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số,
Phương pháp dùng bất đẳng thức,
Phương pháp đánh giá,
Phương pháp đưa về hệ phương trình cùng bậc
(đẳng cấp).
Sau đây là một số ví dụ cụ thể cho các phương pháp:
1/ Phương pháp thế:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
Giải
Ta biến đổi (1) thành phương trình bậc hai theo ẩn x:
Ta tính biệt số delta của phương trình trên:
Ta tìm dược nghiệm là 
Thế vào (2) 
Thế vào (2) 
Vậy nghiệm của hệ là: 
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
Giải
Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn phương trình (2).
Với x ≠ 0, từ (2) ta có . Thay vào (1) ta được:
–Với , –Với 
Vậy hệ có nghiệm là 
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 
Giải
Từ , thay vào (1) ta được:
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Giải các hệ phương trình sau:
2/ Phương pháp đặt ẩn số phụ:
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau:
Giải
Dễ thấy y = 0 không thỏa hệ (I), nên ta có:
Đặt , ta có: 
Khi đó, suy ra: 
Vậy nghiệm của hệ là: .
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau:
Giải
Điều kiện: x + y ≠ 0. Khi đó:
Đặt (điều kiện: ),
Suy ra: 
Vậy hệ có một nghiệm duy nhất 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Giải các hệ phương trình sau:
3/ Phương pháp cộng:
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
Giải
Điều kiện: 
Cộng và trừ vế theo vế của hai phương trình, ta có:
Đặt 
Khi đó hệ (*) trở thành
Vậy nghiệm của hệ là 
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau:
Giải
Điều kiện: 
Lấy (1) trừ (2) ta được:
Thế vào phương trình (1), ta có:
Vậy hệ có mộ nghiệm duy nhất: 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Giải các hệ phương trình sau:
3/ Phương pháp dùng bất đẳng thức:
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình sau:
Giải
Điều kiện: 
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:
Suy ra: 
Đẳng thức xảy ra thỏa mản phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ có một nghiệm duy nhất 
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình sau: 
Giải
Vì nên xảy ra hai trường hợp sau:
Với y = 0, khi đó x = y = z = 0
Vậy là một nghiệm của hệ phương trình.
Với y > 0, khi đó x > 0, z > 0.
Dễ thấy nên .
Theo BĐT Cauchy, ta có:
Từ phương trình thứ 3 của hệ suy ra . Vậy , điều này xảy ra . 
Thay vào phương trình đầu ta được (thoả)
Vậy nghiệm của hệ là 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Giải các hệ phương trình sau:
§4. SỬ DỤNG VÉCTƠ ĐỂ GIẢI 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Một vài bất đẳng thức vectơ thông dụng:
Trong mặt phẳng hoặc trong không gian cho hai véc tơ ; khi đó ta có:
Dấu " = " xảy rahoặc một trong hai véc tơ bằng 
Dấu " = " xảy rahoặc một trong hai véc tơ bằng 
Dấu " = " xảy ra hoặc một trong hai véc tơ bằng 
Dấu " = " xảy ra hoặc một trong hai véc tơ bằng 
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
Giải
Xét 	
Khi đó ta có:
Mà 
Vậy cùng phương với 
Kết hợp với (I) ta có x = y = z = 1 là nghiệm của hệ.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
Giải
Xét:	
Nếu 
Nếu cùng phương 
Xét 2 trường hợp 
Ta có x = 0; y = ; z = 
Vậy hệ có 2 nghiệm 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải hệ phương trình sau:
Bài 2: Chứng minh rằng hệ phương trình sau vô nghiệm:
Bài 3: Giải hệ phương trình sau:
Bài 4: Giải hệ phương trình sau:
§5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
TRONG CÁC KÌ THI
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
(Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối B 2009)
Giải
Dễ thấy y = 0 không là nghiệm nên hệ đã cho tương đương với
Suy ra 
 (hệ vô nghiệm)
Vậy trong trường hợp này, hệ có hai nghiệm
(x;y) = ; (3;1).
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
(Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A 2008)
Giải
Hệ phương trình đã cho tương đương
Suy ra 
 Với 
Với 
Vậy nghiệm của hệ là (x;y) = , 
Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thực:
(Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D 2007)
Giải
Đặt 
Hệ phương trình đã cho trở thành
Do đó a, b là nghiệm của phương trình 
 Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi PT (*) có hai
nghiệm X1, X2 thỏa 
Vậy 
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 
(Olympic 30/4/2002 tại THPT Chuyên Lê Hồng Phong)
Giải
Nhận xét: Nếu là nghiệm thì 
phải cùng dấu và khác 0. Đồng thờicũng là nghiệm, nên ta chỉ cần xét với dương.
Theo bất đẳng thức Cauchy: 
Từ các phương trình trong hệ và (1), ta được: 
Mặt khác cộng các phương trình trong hệ thì:
Từ (2) và (3) ta được: 
Kết quả: Hệ có 2 nghiệm 
TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối B 2002:
Giải hệ phương trình 
Kết quả: .
Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A 2003:
Giải hệ phương trình 
Kết quả: .
Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D 2004:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Kết quả: 
Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A 2006:
Giải hệ phương trình 
Kết quả: 
Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối B 2008:
Giải hệ phương trình 
Kết quả: 
Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D 2009:
Giải hệ phương trình 
Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A 2010:
Giải hệ phương trình
Kết quả: 
OLYMPIC 30/4
Olympic 30/4/1998 tại THPT Chuyên 
Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh:
Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn: Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có:
(Vì )
 (không thoả (2), (3) nên loại)
thay vào (2) tìm ra a và biện luận tìm b, c.
Kết quả: là 3 bộ số cần tìm.
Olympic 30/4/2000 tại THPT Chuyên 
Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh:
Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn: 
Tìm điều kiện, sau đó viết lại thành: 
Tìm y theo x sau đó thế vào (2) ta sẽ tìm dược nghiệm của hệ.
Kết quả: 
Olympic 30/4/2005 tại THPT Chuyên 
Lê Quý Đôn – TP Đà Nẵng:
Hướng dẫn: Chia làm 2 trường hợp:
Trường hợp 1: xyz = 0 
Trường hợp 2: xyz ≠ 0
Kết quả: Hệ có nghiệm là:
Olympic 30/4/2007 tại Huế:
Giải hệ phương trình 
Kết quả: 
Olympic 30/4/2008 tại THPT Chuyên
Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh:
Giải hệ phương trình 
Kết quả: 
Olympic 30/4/2009 tại THPT Chuyên 
Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh:
Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn:	 Đặt và thì phương trình được viết lại: 
Giả sử thì
Do hàm số đồng biến 
Kết quả: Hệ có nghiệm duy nhất
Olympic 30/4/2010 tại THPT Chuyên 
Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh:
Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn:	Đặt 
Kết quả: