Giáo án Giải tích 12: Hàm số mũ – hàm số lôgarit – hàm số luỹ thừa

5 . HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT – HÀM SỐ LUỸ THỪA
I). MỤC TIÊU :
 + Về kiến thức : - Giúp học sinh nắm được các kiến thức và đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit 
 và hàm số luỹ thừa .
- Nắm và nhớ các công thức tính đạo hàm của ba hàm số nói trên.
 + Về kĩ năng : - Giúp học sinh biết cách lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mũ và hàm 
 số lôgarit .
- Biết cách vận dụng các công thức để tính đạo hàm của hàm số mũ , hàm số 
 lôgarit và hàm số luỹ thừa kể cả trường hợp riêng là hàm số căn bậc n .
II). CHUẨN BỊ : - Chuẩn bị trước các hình vẽ minh họa trên bảng phụ hoặc trên máy tính .
III). TIẾN TRÌNH BÀI HỌC :
TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
HOẠT ĐỘNG CỦA GV & HS
Trong bài này luôn giả thiết a là một số dương khác 1 đã cho ; J là một khoảng hay hợp của nhiều khoảng .
1/ Hàm số mũ :
 a) Khái niệm về hàm số mũ:
+ Với mỗi ta xác định được số . Do đó ta có hàm số y = xác định trên R gọi là hàm số mũ.
+ Đặc biệt hàm số còn được kí hiệu exp(x) .
+ Hàm số liên tục trên R nghĩa là
b) Đạo hàm của hàm số mũ:
+ Ta thừa nhận giới hạn sau :
 (1)
+ Công thức đạo hàm của hàm số mũ
Định lí 1:
a) Với mọi , ta có :
 và .
b) Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J thì:
 và .
VD1: Với . Tính y’.
 = .
 xx - 0 + 
 + 
y = ax 1 
(a>1) 0
H1: Tính đạo hàm của các hs sau :
a) b) 	
 c) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ :
* TXĐ : .
* Đạo hàm : 
+ Trường hợp a > 1:
 Ta có : nên hs y = 
đồng biến trên R .
Mặt khác (1) 
 (1) chứng tỏ đồ thị hs đang xét có TCN là trục Ox 
 Đồ thị hàm số y = với a > 1 tương tự đồ thị hàm số 
H2: Quan sát đồ thị , hãy nhận xét một vài đặc điểm về đồ thị này 
+ Trường hợp 0 < a < 1 :
 Ta có :. Do đó đồ thị hs y = nghịch biến trên R .
 Mặc khác (2) 
 (2) chứng tỏ đồ thị hs mũ với cơ số nhận trục hoành làm TCN .
H3: a) Giới hạn tại và tại của hsố 
y = với 0 1 ?
 b) Lập BBT của đồ thị hsố y = với 
0 < a < 1
Nhận xét: Đồ thị hsố y = có 1 trong 2 dạng sau
Ghi nhớ: Hàm số y = 
 + Có tập xác định là tập số thực R và nhận mọi giá trị thực dương ;
+ Đồng biến trên R khi a > 1 , nghịch biến trên R khi 0 < a< 1;
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HIỀN TRANG 30
+ Có đồ thị 
Đi qua điểm (0;1) ;
Nằm phía trên trục hoành ;
Nhận trục hoành làm TCN.
VD2 : Hs tự tham khảo SGK
2/ Hàm số lôgarit :
a). Khái niệm hàm số lôgarit :
 * Với mỗi số x dương ,ta xác định được số . Do đó , ta có hsố y = xác định trên khoảng gọi là hàm số lôgarit . Ta cũng kí hiệu y = lgx để chỉ hsố lôgarit voới cơ số 10 và kí hiệu y = lnx để chỉ hàm số lôgarit cơ số e. 
 * Hàm số lôgarit liên tục trên , nghĩa là 
H4: Tìm các giới hạn sau :
a) ; b) 
b). Đạo hàm của hàm số lôgarit :
* Học sinh tự chứng minh công thức giới hạn sau 
 (2) 
Nhận xét : (2) tương đương với 
* Công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit 
 Định lí 2
a). Với mọi , ta có :
 và 
b). Nếu u = u(x) là hàm số lấy giá trị dương và có đạo hàm trên J thì :
 và 
VD3: Với , ta có 
H5: CMR với mọi x < 0, ta có 
Từ kết quả H5 suy ra 
 Hệ quả 
a). Với mỗi , ta có .
b). Nếu u = u(x) là hàm số lấy giá trị khác 0 và có đạo hàm trên J thì : 
c). Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lôgarit :
 Tương tự hàm số mũ , để khảo sát sự biến thiên của hàm số lôgarit ta phải xét hai trường hợp a > 1 và 0 < a < 1
y = , a > 1
y = ,0 < a < 1
* 
* Hàm số đồng biến trên 
* 
* 
* Hàm số nghịch biến trên 
*
Các giới hạn (3); (4) chứng tỏ trong cả hai trường hợp, đồ thị hàm số y = đều có tiệm cận đứng là trục tung .
H6: Trong mỗi trường hợp nêu trên, hãy lập bảng biến thiên của hàm số y = .
Nhận xét: Đồ thị hsố y = và hsố đối xứng nhau qua (d) như hình (2a) , (2b) ứng với hai trường hợp a > 1, 0 < a < 1.
 hình 2a
Ghi nhớ: Hàm số y = 
a). Có tập xác định là tập các số thực dương và nhận mọi giá trị thuộc R ;
b). Đồng biến trên khi a > 1 , nghịch biến trênkhi 0 < a < 1;
c). Có đồ thị :
 + Đi qua điểm (1;0);
 + Nằm bên phải trục tung ;
 + Nhận trục tung làm TCĐ.
3/ Hàm số luỹ thừa :
 a) Khái niệm hàm số luỹ thừa :
 Hàm số luỹ thừa là hàm số có dạng , trong đó là một hằng số tuỳ ý .
 Hàm số luỹ thừa có tâp xác định là tập các số thực dương , trừ các trường hợp :
(1). Hàm số , với n nguyên dương xác định .
(2). Hàm số , với n nguyên âm hoặc
n = 0 , xác định ;
(3). Hàm số luỹ thừa liên tục trên tập xác định của nó
Chú ý : nếu x > 0 .Do đó hsố 
và hsố ,( ) không đồng nhất
 b) Đạo hàm của hàm số luỹ thừa :
 Định lí 3
Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm , và .
Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm và trên J thì 
VD4: a) 
Củng cố : + Các tính chất của hàm số mũ , lôgarit và hàm số lũy thừa
 + Cho HS làm các BT : 58,.,69 / SGK trang 114, 115, 116
Bài tập về nhà : 70 71, 72, 73, 74, 75 
b) 
 .
Chú ý :
Với n là số nguyên tuỳ ý , ta có 
. Nếu u = u(x) là hsố có đạo hàm va ø trên J thì .
 b) 
( với x > 0 nếu n chẵn; với mọi nếu n lẻ) 
c) Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J vàthỏa điều kiện với mọi x thuộc J khi n chẵn , khi n lẻ thì:
H7: Tính đạo hàm của hàm số 
c) Vài nét về sự biến thiên và đồ thị của hàm số luỹ thừa :
 Ta xét hàm luỹ thừa và với TXĐ : D = ( 0 ; + )
- Hsố đồng biến trên tập D nếu và nghịch biến trên tập D nếu .
- Hình (3) cho ta đồ thị của một số hàm luỹ thừa trên 
 Nhận xét : Vì = 1 nên đồ thị của mọi hàm luỹ thừa đều qua điểm (1;1). 
CM a)
Hướng dẫn hs chứng minh đlí với hs 
 Lấy tuỳ ý , cho một số gia .
Tính 
Tính
Từ đó suy ra
CM b) suy ra từ a) và công thức tính đạo hàm của hàm số hợp.
H1 củng cố công thức tính đạo hàm của hàm số mũ . Cho hs tự giải 
Dùng đồ thị hs để minh họa cho đồ thị hs y = với a > 1 
Qua H2 hs dự đoán về tính chất hs mũ với cơ số 
a > 1	
+ Đồ thị là một đường cong đi lên ( thể hiện tính đồng biến trên R ) . 
+ Đi qua điểm (0 ; 1) .
+ Toàn bộ đồ thị nằm phía trên trục hoành .
+ Càng xa về bên trái đường cong càng tiến sát trục hoành .
Vẽ đồ thị hsố ( đường nét liền) và đồ thị hsố . Cho hs nhận xét về tính đối xứng của 2 đồ thị này.
H3 hs tự nhận xét nó giúp các em ghi nhớ tính chất của hsố mũ với cơ số 0 1
Hs tự tổng hợp kiến thức và ghi nhớ theo hướng dẫn của giáo viên.
H4 giúp hs nhớ khái niệm lôgarit và hsố liên tục tại 1 điểm
Hướng dẫn hs CM đlí phần a) 
Cho số dương tuỳ ý ,ta CM đlí đối với hsố 
 y = g(x) = lnx
 ( theo (2))
Với mọi , ta có và 
b) được suy ra từ a) và công thức tính đạo hàm của hàm số hợp.
H5 hs tự giải bằng cách áp dụng đlí 2 ,từ đó dẫn đến hệ quảù 
 Hình 1
Hình 1
Hình 1 thể hiện đồ thị hàm số (đường cong liền) và đồ thị hàm số ( đường cong nét đứt) trên cùng một hệ trục tọa độ , (l1) là đường phân giác góc phần tư thứ nhất và thứ ba . Nhận xét về tính đối xứng của hai đồ thị qua (l1) .
 Hình 2b
Cho hs tổng kết kiến thức phần này từ đồ thị và các định lí phía trên . 
Chú ý hs nếu x > 0 .Do đó hsố 
và hsố ,( ) không đồng nhất 
VD : Hsố ,xác định , nhưng hsố 
 xác định với mọi x dương .
CM : a) Với mọi , ta có 
= b) Suy ra từ a) kết hợp với qui tắc đạo hàm của hàm số hợp . 
Hs tự tham khảo VD4 
VD5: 
H7 Giúp hs ghi nhớ công thức ở chú ý c) 
 Hình 3