Giáo án Giải tích 12 nâng cao tiết 59, 60, 61: Tích phân

Tiết: 59 -Ngày soạn:12/02/2009
TÍCH PHÂN
 I. Mục tiêu:
	1. Về kiến thức : Giúp HS hiểu được bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được của một vật. Nắm vững định nghĩa tích phân, các tính chất của tích phân, 
 	2. Về kỹ năng:Học sinh rèn luyện được kĩ năng tính một số tích phân đơn giản. Vận dụng vào thực tiễn để tính diện tích hình thang cong, giải các bài toán tìm quãng đường đi được của một vật
 3. Về tư duy và thái độ : Tích cực xây dựng bài, chủ động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới . Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
 II. Chuẩn bị:
Chuẩn bị của giáo viên : Phiếu học tập, bảng phụ.
	2. Chuẩn bị của học sinh : Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà. Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.
 III.Tiến trình tiết dạy :
 1. Ổn định lớp : Kiểm diện, tác phong, vệ sinh, tâm thế học sinh,
 2. Kiểm tra bài cũ : 5’
	CH1: Viết công thức tính nguyên hàm của một số hàm số hàm số thường gặp.
	CH2: Tính tích phân sau: 
Bài mới:
 Tiết1: 
 Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong
 Tg
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của Hs
Nội dung ghi bảng
10’
2o’
I/Khái niệm hình thang cong
 ( Hình 1)
-Dựng hình thang ABCD khi biết các đường thẳng: AB: f(x)=x+1,AD: x=2, CB: x=6 và y = 0 (trục hoành)
-Tính diện tích S hình thang ABCD
-Lấy t . Khi đó diện tích hình thang AHGD bằng bao nhiêu?
-S’(t) = ?.Khi đó S(t) và f(t) có liên hệ như thế nào ?
 -Tính S(6) , S(2) ? và S?
Từ lập luận trên dẫn đến k/n hình thang cong và công thức tính d/t nó. 
-Giáo viên đưa ra bài toán: Tính diện tích của hình thang cong aABb
Giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f(x) , f(x) 0, trục Ox và các đương thẳng x = a , x = b (a<b) 
-Cho học sinh đọc bài toán 1 sgk 
-Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và các đường thẳng đi qua a, x và song song Oy. Hãy chứng minh S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]
S = 
S(t) = 
 t
S’(t) = t+1= f(t) S(t) là nột nguyên hàm của f(t) = t+1
S(6) = 20,S(2) = 0
 và S= S(6)-S(2)
-Bài toán tích diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong có thể đưa về bài toán tính diện tích của một số hình thang cong
1/ Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phân: 
a) Diện tích hình thang cong
-Bài toán 1: (sgk)
 Hình 3
KH: S(x) (a )
2
3’
-Giả sử x0 là điểm tùy ý cố định thuộc (a ; b) 
*Xét điểm x(a ; b ]
-Diện tích hình thang cong MNEQ? 
-Dựa vào hình 4 so sánh diện tích 
SMNPQ , SMNEQ và SMNEF
 *f(x) liên tục trên [ a; b ] ? 
 - Suy ra ?
*Xét điểm x[a ; b )
Tương tự ?
Từ (2) và (3) suy ra gì?
S(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên
 [ a; b ] ta biểu diễn S(x)?
* SMNEQ = S(x) – S(x0)
 S =?
-Giáo viên củng cố kiến thức BT1
+ Giả sử y = f(x) la một hàm số liên tục và f(x) 0 trên [ a; b ]. Khi đó diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng 
x = a, x = b là S = F(b) – F(a) trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kì của hàm số f(x) trên [ a; b ]
SMNEQ = S(x) – S(x0)
SMNPQ < SMNEQ < SMNEF
 f(x0)
 f(x0) (2)
 f(x0) (3)
 f(x0)
S(x) = F(x) +C (C: là hằng số)
S = S(b) – S(a)
 Hình 4
*Xét điểm x(a ; b ] 
SMNEQ là S(x) – S(x0)
Ta có:SMNPQ < SMNEQ < SMNEF
f(x0)(x-x0)<S(x)-S(x0)<f(x)(x-x0)
 f(x0)<<f(x) (1)
Vì f(x0)
(1) f(x0)(2)
*Xét điểm x[a ; b )
Tương tự:f(x0)(3)
 Từ (2) và (3)ta có:
 f(x0)
Hay S’ (x) = f(x0)
 Suy ra S’ (x) = f(x) (vì x(a ; b )
nên suy ra S’ (a) = f(a),S’(b) = f(b)
Vậy S(x) là 1 nguyên hàm của f(x)
trên [ a; b ]
S(x)= F(x) +C (C: là hằng số)
S = S(b) – S(a)
 = (F(b) +C) – (F(a) + C)
 = F(b) – F(a)
3
7’
-Giáo viên định hướng học sinh giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học tập số 1
-Tìm họ nguyên hàm của f(x)?
-Chọn một nguyên hàm F(x) của f(x) trong họ các nguyên hàm đã tìm được ?
-Tính F(1) và F(2)
Diện tích cần tìm ?
-Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên: 
I = = C ( C là hằng số)
Chọn F(x) = 
F(1) = , F(2) =
S = F(2) –F(1) = 
GIẢI:
I = = C
Chọn F(x) = ( C là hằng số)
F(1) = , F(2) =
S = F(2) –F(1) = 
Tiết2: Hoạt động 2: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong
Tg
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của Hs
Nội dung ghi bảng
8’
5’
-Giáo viên định hướng học sinh giải bài toán 2 (sgk)
+Gọi s(t) là quãng đường đi được của vật cho đến thời điểm t. Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là bao nhiêu?
+ v(t) và s(t) có liên hệ như thế nào?
+Suy ra f(t) và s(t) có liên hệ như thế nào? 
+Suy ra s(t) và F(t) có liên hệ như thế nào? 
+Từ (1) và (2) hãy tính L theo F(a) và F(b)?
-Giáo viên định hướng học sinh giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học tập 2
+Tìm họ nguyên hàm của f(t)? +Lấy một nguyên hàm của F(t) của f(t) trong họ các nguyên hàm đã tìm được
+Tính F(20) và F(50)?
+Quãng đường L vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 =20 đến t2=50 liên hệ như thế nào với F(20) và F(50)
-Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên 
Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm 
 t = a đến thời điểm t = b là :
 L = s(b) – s(a) (1)
 v(t) = s’(t)
s’(t) = f(t) 
s(t) là một nguyên hàm của f(t) suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2)
Từ (1) và (2) L= F(b)–F(a)
-Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên 
I = 
 F(t) = 
F(20) = 640 ; F(50) = 3850
Suy ra L = F(50)–F(20)=3210(m)
b, Quãng đường đi đượccủa1 vật
Bài toán 2: (sgk) 
CM: Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm 
 t = a đến thời điểm t = b là :
 L = s(b) – s(a) (1)
 v(t) = s’(t)
s’(t) = f(t) 
s(t) là một nguyên hàm của f(t) suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2)
Từ (1) và (2) L= F(b)–F(a)
GIẢI:
I = 
 F(t) = 
F(20) = 640 ; F(50) = 3850
Suy ra L = F(50)–F(20)=3210(m)
Tiết: 60 -Ngày soạn:12/02/2009
TÍCH PHÂN(tt)
 I. Mục tiêu:
	1. Về kiến thức : Giúp HS hiểu được định nghĩa tích phân, ý nghĩa của tích phân trong vật lý. 
 	2. Về kỹ năng: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính một số tích phân đơn giản. Vận dụng vào thực tiễn để tính diện tích hình thang cong, giải các bài toán tìm quãng đường đi được của một vật
 3. Về tư duy và thái độ : Tích cực xây dựng bài, chủ động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới . Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
 II. Chuẩn bị:
Chuẩn bị của giáo viên : Giáo án, các vật dụng khác.
	2. Chuẩn bị của học sinh : Học bài cũ, đọc trước bài mới .
 III.Tiến trình tiết dạy :
 1. Ổn định lớp : Kiểm diện, tác phong, vệ sinh, tâm thế học sinh,
 2. Kiểm tra bài cũ : 5’
	CH1: Tìm 	
CH2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi đồ thị hàm số , trục Ox và hai đường thẳng x = 3, x = 4 
3. Bài mới:
Tg
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của Hs
Nội dung ghi bảng
8’
5’
5’
7’
8’
5’
Từ kết quả bài toán KTBC giới thiệu với học sinh khái niệm tích phân - Giáo viên nêu định nghĩa tích phân 
Chỉ dẫn cho HS ghi các ký hiệu, gọi tên trong tích phân
Giáo viên gợi ý và yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi (H2)
Gọi F(x) = g(x) +C là họ các nguyên hàm của f(x)
-Chọn nguyên hàm F1(x) = g(x)+C1
bất kì trong họ các nguyên hàm đó.
-Tính F1(a), F1(b)?
-Tính ?
-Nhận xét kết quả thu được
GV đưa ra chú ý và hướng dẫn, chứng minh cho HS thấy được vấn đề 
Cho HS giải các ví dụ, thông qua từng ví dụ củng cố cho học sinh chú ý vừa nêu. Gọi từng HS đọc từng bước giải
Nhắc lại hai bài toán đã học ở phần 1 cho HS nhận xét mối liên hệ giữa tích phân và diện tích, quãng đường của hai bài toán
Phát biểu định lý , đưa ví dụ, gọi HS trả lời
Đưa ra ví dụ 2 phân nhóm HS chuẩn bị bài, GV củng cố về tích phân, hình thành các tích chất
Học sinh tiếp thu và ghi nhớ
Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên 
Giả sử: F(x) = = g(x)+C
Chọn F1(x) = g(x)+C1 bất kì 
F1(a) = g(a)+C1
 F1(b) = g(b)+C1
 = [g(b)+C1]-[g(a)+C1]
 = g(b) – g(a)
Không phụ thuộc vào cách chọn C1 đpcm
Học sinh tiếp thu , ghi nhớ
Học sinh giải quyết dưới sự định hướng của giáo viên, hoàn chỉnh và viết bài giải
Nghe giảng, phát biểu nhận xét, hoàn chỉnh và ghi nhớ kiến thức
Học sinh giải quyết dưới sự định hướng của giáo viên, hoàn chỉnh và viết bài giải
2/Khái niệm tích phân
 Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f , ký hiệu là =F(x)=F(b)-F(a)
a: là cận dưới, b là cận trên, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân
* Nếu a < b người ta nói là tích phân của f trên [a ; b]
Giải H2 SGK trang 149
Thật vậy , nếu ta có G(x)=F(x)+C thì G(b)-G(a) = (F(b)+C)-(F(a)+C) 
 = F(b)-F(a)
Chú ý: Tích phân không phụ thuộc vào biến số mà chỉ phụ thuộc vào hàm số dưới dấu tích phân có nghĩa là:
Với F là một nguyên hàm của f
Ví dụ 1: Tính các tích phân 
a. 
b. 
c.
3. Ứng dụng của tích phân:
* Định lý1 : Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a ; b]. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bỡi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là 
Áp dụng: Tính diện tích hình thang cong được giới hạn bỡi đồ thị hàm số y = x2, trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 3
Diện tích S của hình thang cong đó là: 
Định lý 2: Nếu một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian 
v = f(t) thì quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điểm b là 
Áp dụng: giải vd2 SGK trang 150
Ví dụ 2: Cho các hàm số f, k liên tục trên K , a, b, c là 3 số thuộc K, kR. Chứng minh rằng: 
 1. 
 2. 
 3. 
 4. 
5. 
Củng cố kiến thức: Củng cố từng phần, đã tiến hành trong tiết dạy
Hướng dẫn về nhà:(2 phút) Học thuộc ĐN tích phân, ghi nhớ cách giải quyết một bài tập tính tích phân. Vận dụng bài học giải các bài tập SGK
Rút kinh nghiệm, bổ sung:
Tiết3: Hoạt động 4: Tìm hiểu các tính chất của tích phân; 
Tg
 Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của Hs
Nội dung ghi bảng
15’
-Giáo viên phát biểu định lí 2(sgk) 
-Giáo viên định hướng học sinh chứng minh các tính chất trên: Giả sử F là một nguyên hàm của f, G là một nguyên hàm của g .
 1) = 0
-Nguyên hàm của f(x) ?
-Thay các cận vào nguyên hàmtrên?
 2) = - 
 = ?
 = ? 
3) + = 
 = ?
 = ? 
 = ?
4) F(x) là nguyên hàm của f(x), G(x) là nguyên hàm của g(x)
 nguyên hàm của f(x) + g(x) =?
+ = ?
Học sinh tiếp thu và ghi nhớ
Học sinh thực hiện dưới sự định hướng của giáo viên 
= F(x)|= F(a) – F(a) = 0
= F(x)|= F(b) – F(a)
= F(x)|= F(a) – F(b)
= - 
 + =F(x)|+F(x)|=F(b) – F(a) + F(c) – F(b)= F(c) – F(a)
= F(x)|= F(c) – F(a)
 + = 
4) 
= 
 = F(b) – F(a) + G(b) – G(a) 
 + = F(x)|+G(x)|
= F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm)
3 Tính chất của tích phân
ĐỊNH LÍ2: (sgk)
CM:(Giáo viên HD chứng minh tính chất 3,4,5)
1)= F(x)|=F(a) – F(a)= 0
2)= F(x)|= F(b) – F(a)
= F(x)|= F(a) – F(b)
= - 
3) + =F(x)|+F(x)|=F(b) – F(a) + F(c) – F(b)= F(c) – F(a)
= F(x)|= F(c) – F(a)
 + = 
4) 
= 
 = F(b) – F(a) + G(b) – G(a) 
 + = F(x)|+G(x)|
= F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm)
7
25’
5) F(x) là nguyên hàm của f(x)
 nguyên hàm của kf(x)?
=?
=?
Giáo viên định hướng học sinh giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học tập số 4 
Biểu thức của tính chất 4?
Áp dụng tính chất này tính tích phân trên?
Xét dấu của x – 2 trên [1: 3]?
Áp dụng tính chất 3 tính tích phân trên?
5) = 
=kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)]
= kF(x)=k[F(b) – F(a)]
=
Học sinh thực hiện dưới sự định hướng của giáo viên 
I = 
 = 
 = - cos2x |- sinx |
 = -(cos - cos0 ) - sin-sin0
 = 0
J= 
 = +
 = [-]+[]
 = 1
5) = 
=kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)]
= kF(x)=k[F(b) – F(a)]
=
I = 
 = 
 = - cos2x |- sinx |
 = -(cos - cos0 ) - sin-sin0
 = 0
J= 
 = +
 = [-]+[]
 = 1
IV. CỦNG CỐ:5’
- Phát biểu lại kết quả cuă bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được một vật. 
- Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lý về diện tích hình thang cong.
- Viết được các biểu thức biểu diễn các tính chất của tích phân.
- Trả lời câu hỏi H5.
 V.NHIỆM VỤ VỀ NHÀ:
-Xem lại bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được một vật. 
-Học thuộc các tính chất của tích phân.
- Giải bài tập sách giáo khoa 
- Bài tập làm thêm:
 1) Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -2x2 +3x +6 ,trục hoành , trục tung và đường thẳng x =2 .
 2) Tính : I = .
8
VI. PHỤ LỤC
Phiếu học tập số 1
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x4 trục hoành và hai đường thẳng x =1 , x =2 
Phiếu học tập số 2
Vật chuyển động thẳng có vận tốc thay đổi theo thời gian v = f(x) = 3t + 2 m/s. Tìm quãng đường L vật đi được trong khoange thời gian từ t1 = 20 s đến t2 = 50 s?
Phiếu học tập số 3
 Tính giá trị các tích phân sau:
 a) b) c) d) 
Phiếu học tập số 4
 Tính các tích phân sau:
 I= , J=