Giáo án Hình học lớp 10 - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

x – 3y + 7 = 0 
b) Viết phương trình đường thẳng d :song song với đường thẳng d’ : 3x + 2y - 1 = 
0 và cách d’ một khoảng là 13 và nằm trong nữa mặt phẳng bờ d’ và chứa 
điểm gốc O. 
d M
A
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 19
c) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A( 6 ; 4) và cách điểm B( 1 ; 2) 
một khoảng là 5 . 
GIẢI a) Đường thẳng cần tìm là tập hợp những điểm M(x ; y) sao cho : 
 d(M, d) = d(M, d’) Ù 
2222 31
|73|
31
|13|
+
+−=
+
−− yxyx 
Ù ⎢⎣
⎡
−+−=−−
+−=−−
7y3x1y3x
)VN(7y3x1y3x
Ù 2x – 6y + 6 = 0 
Ù x – 3y + 3 = 0 
b) Phương trình đường thẳng d song song 
với d’ có dạng : 3x + 2y + m = 0 . Ta định 
m để d(d , d’ ) = 13 . 
Chọn trên d điểm A(0 ; ½) , ta có : d(d, d’) 
= d(A ,d’ ) = 13 Ù 
13.0 2.
2 13 1 13
13
m
m
+ +
= + = 
Ù m + 1 = 13 hay m + 1 = - 13 
Ù m = 12 hay m = - 14 
Ù d’ : 3x + 2y + 12 = 0 hay d’ : 3x + 2y – 14 = 0 
• Xét d’ : 3x + 2y + 12 = 0 . Chọn điểm M’ (0 ; - 6) thuộc d’ 
 Thế tọa độ M’ vào d : 0.3 + 2( - 6) – 1 = - 13 > 0 
 Thế tọa độ O(0 ; 0) vào d : 0.3 + 0(2) – 1 = - 1 < 0 
Vậy O và M’ cùng một phía đối với d tức d’ : 3x + 2y + 12 = 0 là đường thẳng 
cần tìm . 
Cách khác : Gọi M(x ; y) là điểm bất kì , ta có : 
 M(x ; y) ∈ d’ Ù d(M, d) 13 và O và M nằm cùng phía đối với d 
O
5
d 
d’ 
A
d’ 
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 20
 Ù 13
13
1y2x3
0)10.20.3)(1y2x3(
13
13
|1y2x3|
−=−−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−−−−
=−−
Ù 3x – 2y + 12 = 0 
c) Phương trình d là đường thẳng qua A (6 ; 4) có dạng : 
 a(x – 6) + b(y – 4) = 0 với a2 + b2 ≠ 0 . 
Ù ax + by – 6a – 4b = 0 (1) 
Ta có : d(B, d) = 5 Ù 5|462.1|
22
=
+
−−+
ba
baba Ù )(25)25( 222 baba +=+ 
Ù 20ab – 21b2 = 0 Ùb(20a – 21b) = 0 
Ù b = 0 hay a = 
20
21b 
* Với b = 0 : (1) thành ax – 6a = 0 Ù x – 6 = 0 (chia hai vế choa a ≠ 0 , coi như 
chọn a = 1) 
* Với a = 
20
21b : (1) thành 0
20
41
20
21 =−+ bbybx 
Ù 21x + 20y – 41 = 0 ( Chia hai vế cho b/20 , coi như chọn b = 20 => a = 21 ) 
Vậy có hai đường thẳng thỏa đề bài là : 21x + 20y – 41 = 0 và x = 6 . 
Cáck khác : Có thể xét 
* d : x = 6 ( qua A và vuông góc Ox , không có hệ số góc ). 
* d : y = k(x – 6) + 4 Ù kx – y – 6k + 4 = 0 
Giải : d(B , d) = 5 Ù k = - 21/ 20 . 
Dạng 2 : Viết phương trình phân giác , phân giác trong , ngoài . 
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC với AB : 3x – 4y + 6 = 0 
 AC : 5x + 12y – 25 = 0 , BC : y = 0 
a) Viết phương trình các phân giác của góc B trong tam giác ABC . 
b) Viết phương trình phân giác trong của góc A trong tam giác ABC. 
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 21
Giải : a) AB cắt BC tại B(- 2 ; 0) , AC cắt BC tại 
C( 5 ; 0) 
Phương trình các phân giác của góc B trong tam 
giác ABC là phân giác của góc hợp bởi AB và BC 
, là : 
 0
15
643 =±+− yyx 
Ù 3x + y + 6 = 0 hay 3x – 9y + 6 = 0 
b) Phương trình các phân giác của góc A , tạo bởi 
AB và AC là : 
 (t) : 0478640
13
25125
5
643 =−+=−+++− yxyxyx (1) 
 (t’) : 0203112140
13
25125
5
643 =+−=−+−+− yxyxyx 
Thế tọa độ B(- 2 ; 0) vào (1) : 64(-2) – 47 < 0 
Thế tọa độ C(5 ; 0) vào (1) : 64.5 – 47 > 0 
Vậy B và C nằm khác phía đối với (t) , nên (t) là phân giác trong của góc A . 
* Ví dụ 4 : Cho d : 3x – 4y + 5 = 0 và d’ : 5x + 12y – 1 = 0 
a) Viết phương trình các phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng 
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua gốc O và tạo với d, d’ một tam giác cân 
có cạnh đáy là ∆ . 
Giải a) Phân giác (t) của góc tạo bởi d , d’ : 
 0
13
1125
5
543 =−+±+− yxyx 
Ù 13(3x – 4y + 5) = 5(5x + 12y – 1) 
 hay 13(3x – 4y + 5) = - 5( 5x + 12y – 1) 
Ù (t1) : 14x - 112y + 70 = 0 hay 
 (t2) : 64x + 8y + 60 = 0 
d 
d’ 
t1 
t2 
∆1
∆2
O 
A
B C
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 22
Đó là hai đường phân giác cần tìm . 
b) Nhận xét trong tam giác cân , phân giác trong của góc tại đỉnh thì vuông góc 
với cạnh đáy . Ta được hai đường thẳng ∆ : 
• ∆1 qua O và vuông góc t1 có phương trình 112x + 14y = 0 
• ∆2 qua O và vuông góc t2 có phương trình 8x – 64y = 0 
Dạng 3 : Tính góc của hai đường thẳng và lập phương trình đường thẳng 
liên quan đến góc \ 
Ví dụ 1 : Tính góc hai đường thẳng sau : 
a) 2x + y – 3 = 0 ; 3x - y + 7 = 0 
b) 3x + 4y - 2 = 0 , 
2
5
x t
y t
= +⎧⎨ = −⎩ 
Giải a) cos = 
2.3 1( 1) 1
5. 10 2
+ − = => = 450 
b) VTPT của hai đường thẳng là : (3;4) , ' (1;1)n n= =G JG . Suy ra : 
 cosα = 
2 2 2 2
3.1 4.1 7cos( , ')
5 23 4 1 1
n n
+= =
+ +
G JG
Ví dụ 2 : Tìm k biêt đường thẳng y = kx + 1 hợp với đường thẳng : x – y = 0 một 
góc bằng 600 
Giải : Ta có kx – y + 1 = 0 . Ta có phương trình : 
 cos 600 = 2 2
2
.1 1 1 2( 1) 1
21 2
k
k k
k
+ = + = +
+
Ù 2 4 1 0 2 3k k k+ + = = − ± 
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 23
*Ví du 3 : Cho hình vuông ABCD có đường chéo BD : x + 2y – 5 = 0 , đỉnh A(2 ; 
- 1) . Viết phương trình cạnh AB và AD biết AB có hệ số góc dương . 
Giải : Gọi k là hệ số góc của AB , AD , phương trình AB , AD có dạng : 
y = k(x – 2 ) – 1 Ù kx – y – 2k – 1 = 0 
Ta có AB và AD đều hợp với BD một góc 450 
Ù cos 450 = 2 2
2
2 1 2( 2) 5( 1)
25 1
k
k k
k
− = − = +
+
Ù 3k2 + 8k – 3 = 0 Ù k = 1/3 ( đường AB) , k = - 3 ( đường AD ) . 
Vậy phương trình AB : - 3x – y + 5 = 0 , AD : x – 3y – 5 = 0 hay ngược lại 
C. Bài tập rèn luyện . 
3.22. Chọn câu đúng : Gọi là góc của hai đường thẳng : x - y – 3 = 0 và 3x + y 
– 8 = 0 , thế thì cosα = 
 a) 1/ 5 b) 2/ 5 
 c) 2/ 10 d) đáp số khác 
3.23. Chọn câu đúng : Khoảng cách từ A(1 ; 3) đến đường thẳng 3x – 4y + 1 = 0 
là : 
 a) 1 b) 2 c) 3 d) đáp số khác 
3.24. Chọn câu đúng : Có 2 giá trị m để đường thẳng x + my – 3 = 0 hợp với 
x + y = 0 một góc 600 . Tổng 2 giá trị ấy là : 
 a) – 1 b) 1 c) – 4 d) 4 
3.25. Chọn câu đúng : Cho A(3; 4) , B(1; 1) , C(2 ; - 1) . Đường cao tam giác vẽ 
từ A có độ dài là : 
 a) 1
5
 b) 7
5
 c) 13
5
 d) đáp số khác 
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 24
3.26. Chọn câu đúng : Điểm A ( a, b) thuôc đường thẳng :
3
2
x t
y t
= +⎧⎨ = +⎩ cách đường 
thẳng d : 2x – y – 3 = 0 một khoảng 2 5 và a > 0 , thế thì a + b = 
 a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 
3.27 Cho tam giác ABC với B(1 ; 2) và C(4 ; - 2) . 
 a) Viết phương trình đường thẳng BC và tính độ dài đường cao AH . 
 b) Tìm tọa độ điểm A biết diện tích tam giác là 10 và A thuộc trục tung . 
3.28 Cho tam giác ABC có AB : 2x + y – 3 = 0 ; AC : 3x - y + 7 = 0 và BC : x 
– y = 0 . 
 a) Tính sinA , BC và bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC . 
 b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng của AB qua BC . 
3.29. Cho hình vuông ABCD có tâm I ( 2; – 3) , phương trình AB : 3x + 4y – 4 = 
0 . 
a) Tính cạnh hình vuông . 
b) Tìm phương trình các cạnh CD , AD và BC . 
3. 30. Cho hình vuông ABCD có AB : 3x – 2y – 1 = 0 , CD : 3x – 2y + 5 = 0 và 
tâm I thuộc d : x + y – 1 = 0 
 a) Tìm tọa độ I . 
 b) Viết phương trình AD và BC 
* 3.31. Cho tam giác đều có A( 3 ; - 5) và trọng tâm G (1 ; 1) . 
 a) Viết phương trình cạnh BC . 
 b) Viết phương trình cạnh AB và AC . 
*3.32. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(2 ; - 3) , B(3 ; - 2) , diện 
tích tam giác bằng 3/2 và trọng tâm G thuộc đường thẳng d : 3x – y – 8 = 0 . Tìm 
tọa độ đỉnh C . 
* 3.33. Cho hình thoi ABCD có A(- 2; 3) , B(1 ; - 1) và diện tích 20 . 
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 25
 a) Tính đường cao hình thoi và phương trình cạnh AB . 
 b) Tìm tọa độ điểm D biết nó có hoành độ dương . 
* 3.34. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(2 ; 2) , AB : x – 2y – 3 = 0 và AB = 
2AD và yA > 0 . 
 a) Tìm tọa độ hình chiếu K của I lên AB. 
 b) Tìm tọa độ A và B. 
* 3.35. Cho đường thẳng d : x + 2y – 4 = 0 và A(1 ; 4) , B(6 ; 4) 
 a) Chứng minh A, B nằm một phía đối với d. Tìm tọa độ A’ đối xứng của A 
qua d . 
 b) Tìm M ∈ d sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất . 
 c) Tìm M ∈ d sao cho | MA – MB| lớn nhất . 
* 3.36. Cho hình thoi có phương trình ba cạnh là : 5x – 12y – 5 = 0 , 5x – 12y + 
21 = 0 và 3x + 4y = 0 . Viết phương trình cạnh còn lại . 
*3.37. Viết phương trình 4 cạnh hình vuông biết 4 cạnh lần lượt qua bốn điểm I(0 
; 2) , J(5 ; - 3) , K(- 2 ; - 2) và l(2 ; - 4) . 
D. Hướng dẫn hay đáp số 
3.22. (a) 3.23. (d) 3.24. (c) 3.25. (b) 3.26. (d) 
3.27. a) BC : 4x + 3y – 10 = 0 . 
Ta có BC = 5 , suy ra AH = =
BC
S2 ABC 4 . 
b) Gọi A( 0 ; a) . Ta có : d(A, BC) = 4 Ù 
4
5
|10a3| =− 
Ù a = 10 hay a = - 10/3 
3.28. a)Ta có : sinA = sin(AB, AC) = Acos1 2− 
 |cosA| = 
2
1
10.5
|)1(13.2| =−+ => sinA = 
2
1 . 
B 
A
C 
D 
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 26
Tọa độ B , giao điểm của AB và BC , là ( 1 ; 1) . 
Tọa độ C , giao điểm của AC và BC , là (- 7/2 ; - 7/2 ) . 
Suy ra : R = =
Asin2
BC 2/9
2
1.4
29 = 
 b) Phương trình đường thẳng cần tìm BD qua B có dạng y = k(x – 1) + 1 Ù 
kx – y – k + 1 = 0 
Ta có : cos (BA, BC) = cos (BD, BC) Ù 
1k.2
|11.k|
2.5
|)1(11.2|
2 +
+=−+ 
Ù k2 + 1 = 5(k + 1)2 Ù 4k2 + 10k + 4 = 0 
Ù k = - ½ hay k = - 2 . Chú ý k = - 2 là ứng với hệ số góc của BA nên bị lọai , ta 
nhận k = - ½ . Phương trình đường thẳng BD : x + 2y - 3 = 0 
3.29. a) Cạnh hình vuông bằng 2.d(I, AB) = 4 
 b) * Phương trình CD : 3x + 4y + m = 0 với 
5
4)3(4)2(3
5
m)3(4)2(3 −−+−=+−+ Ù - 6 + m = 2 Ù m = 8 
=> CD : 3x + 4y + 8 = 0 
* Phương trình AD và BC : 4x – 3y + m = 0 
 Ta có : d(I, AB) = d(I, AD) Ù 2 = 
5
|m17| + 
Ù m = - 7 hay m = - 27 
AD : 4x – 3y - 7 = 0 , BC : 4x – 3y – 27 = 0 hay ngược lại . 
3.30. a) I ∈ d => I = (x ; 1 – x) . Ta có : d(I, AB) = d(I, CD) Ù x = 0 => y = 1 : 
I(0 ; 1) 
b) Như câu b ( bài 3. 29) 
B C
A
I
G
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 27
3.31. a) Gọi I là trung điểm BC , ta có : 
⎩⎨
⎧
=+
=+=>
⎩⎨
⎧
=++
=++
GIA
GIA
GCBA
GCBA
y3y2y
x3x2x
y3yyy
x3xxx
 => I = (0 ; 4) 
Phương trình BC qua I và vuông góc )9;3(AI −= : - (x – 0 ) + 3(y – 4) = 0 
Ù - x + 3y – 12 = 0 
b) Phương trình AB, AC qua A có dạng : kx - y – 3k 
- 5 = 0 
Ta có : cos(AB, BC) = cos60 = ½ Ù 
2
1
1k.10
|3k|
2
=
+
+ 
Ù 3k2 – 12k – 13 = 0 Ù k = 
3
35±6 . Phương trình 
AB và AC : 
03153y3x)356(:AC
03153y3x)356(:AB
=+−
=±+−±
∓∓
3.32 . G ∈ d => G = (a ; 3a - 8) . 
Ta có ; SGAB = 1/3 . SABC = ½ . Mà AB = 2 , suy ra : d(G; AB) = 1/ 2 
Phương trình AB : x – y - 5 = 0 , suy ra : 
 1|a23|
2
1
2
|58a3a| =−=−+− 
Ù . . . . . . 
3.33. a) Ta có : h = 4
AB
SABCD = . AB : 4x + 3y – 1 = 0 
 b) Gọi D = (x ; y) với d > 0 . Ta có : ⎩⎨
⎧
==
=
5ABAD
4)AB,D(d
B C
A
I
G
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 28
 Ù 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−++
=−+
)2(25)3y()2x(
)1(4
5
|1y3x4|
22
(1) Ù y = 
3
21x4 +− hay y = 
3
19x4 −− 
Thế vào (2) , giải ta được : x = 3 => y = 3 . Vậy D = (3 ; 3) 
3. 34. a) Phương trình IK : 2x + y – 6 = 0 . Suy ra K(3 ; 0) 
c) Vì AB = 2AD nên KA = 2KI (1) . Tọa độ K(2y + 3 ; y ) ∈ AB . 
Giải (1) , ta được : y = 2 , suy ra A(7 ; 2) 
3.35. a) A’(- 1; 0 ) 
b) Ta có : MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B = 65 
Vậy GTNN là 65 Ù M = A’B ∩ d . Viết phương trình A’B , suy ra : M = (4/3 
; 4/3) 
c) Ta có : |MA – MB| ≥ AB = 5 . 
Vậy GTNN là 5 Ù M = giao điểm của d và AB kéo dài Ù M = ( - 4 ; 4) 
3.36. Chú ý trong hình thoi khỏang cách giũa hai cạnh bằng nhau . 
AB : 5x – 12y – 5 = 0 , CD : 5x – 12y + 21 = 0 . Chọn M(1 ; 0) ∈ AB , ta có : 
 d(AB, CD) = d(M, CD) = 2 
AD : 3x + 4y = 0 , BC : 3x + 4y + m = 0 . Chon O(0 ; 0) ∈ AD , ta có : 
 d(AD, BC) = d(O, BC) = 2 Ù m = ± 10 . 
=> BC : 3x + 4y ± 10 = 0 
3.37. Phương trình AB qua I : ax + by – 2 = 0 
Phương trình CD qua K : ax + by + 2a + 2b 
= 0 
Phương trình BC qua J : bx – ay – 5b – 3a = 
0 
A B 
D C 
I
J 
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 29
Phương trình AD qua L : bx – ay – 2b – 4a = 0 
Ta có : d(I, CD) = d(J, AD) Ù 
2222 ab
|ab3|
ba
|a2b4|
+
−=
+
+ 
 Ù b = - 3a hay a = - 7b 
Chọn : ⎩⎨
⎧
−=
=
⎩⎨
⎧
−=
=
1b
7a
hay
3b
1a
§ 4. Đường tròn 
A. Tóm tắt giáo khoa . 
 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phương trình đường tròn 
tâm I(h ; k) bán kính R là : (x – h)2 + (y – k)2 = R2 . 
• Phương trình đường tròn (O, R) là : x2 + y2 = R2 
 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , mọi phương trình có dạng : 
 x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 với a2 + b2 – c > 0 
 là phương trình đường tròn : 
• Tâm I(- a ; - b) 
• Bán kính R = 2 2a b c+ − 
 3. Tiếp tuyến với đường tròn 
(x – h)2 + (y – k)2 = R2 tại tiếp điểm T(x0 ; y0) là : 
đường thẳng qua T và vuông góc )ky;hx(IT 00 −−= có 
phương trình : (x0 – h)(x – x0) + (y0 – k)(y – y0) = 0 
• Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (I, R) 
Ù d(I, ∆) = R 
B . Giải tóan .. 
Dạng toán 1 : Xác định tâm và bán kính . Điều kiện để một phương trình là 
đường tròn . 
Ví dụ 1 : Xác định tâm và bán kính các đường tròn sau : 
a) (x + 1)2 + ( y – 4)2 = 1 b) (x – 2)2 + y2 = 5 
c) x2 + y2 + 8x – 4y – 5 = 0 d) 3x2 + 3y2 + 4x + 1 = 0 
Giải : 
a) Đường tròn tâm I(- 1 ; 4) , bán kính R = 1 
x
y 
I
O 
I
T
R ∆
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 30
b) Đường tròn tâm I(2 ; 0) , bán kính R = 5 
c) a = - 4 , b = 2 , c = - 5 => I(- 4 ; 2) , R = 2 2 2 2a b c 4 2 5 5+ − = + + = 
d) Viết lại phương trình đường tròn bằng cách chia hai vế cho 3 : 
 x2 + y2 + 4 1x 0
3 3
+ = 
Tâm I( - 2 ;0)
3
 , bán kính R = 
22 1 3
3 9 3
⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Ví dụ 2 : Cho phương trình : x2 + y2 + 2mx – 2my + 3m2 – 4 = 0 (1) 
a) Định m để (1) là phương trình một đường tròn . 
b) Chúng minh tâm các đường tròn này di động trên một đọan thẳng khi m 
 thay đổi . 
c) Viết phương trình đường tròn (1) biết nó có bán kính là 1 . 
d) Tính bán kính đường tròn (1) biết nó tiếp xúc với ∆ : 2x – y = 0 
Giải : 
a) Ta có : a = m , b = - m , c = 3m2 – 4 . Để (1) là phương trình đường tròn thì : 
 a2 + b2 – c > 0 Ù m2 + m2 – (3m2 – 4) > 0 Ù 4 – m2 > 0 
 Ù - 2 < m < 2 . 
• Với – 2 < m < 2 , đường tròn có có tâm là I 
⎩⎨
⎧
=−=
−=−=
mby
max
I
I (1) => xI + yI = 0 
Lại có : - 2 < m < 2 Ù - 2 < xI < 2 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra tập hợp của I là đọan AB có phương trình x + y = 0 ( - 2 < x 
< 2) 
b) Với – 2 < m < 2 , đường tròn có bán kính là R = 24 m− . 
Ta có : R = 1 Ù 4 – m2 = 1 Ù m 2 = 3 Ù m = ± 3 
• m = 3 : phương trình đường tròn là : x2 + y2 – 2 3 x + 2 3 y + 5 = 
0 
• m = - 3 : phương trình đường tròn là : x2 + y2 + 2 3 x - 2 3 y + 5 
= 0 
c) Đường tròn tiếp xúc Ù d(I, ∆ ) = R 
Ù 2| 2m m | 4 m
5
− − = − 
Ù 9m2 = 5(4 – m2 ) ( bìng phương hai vế) 
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 31
Ù 14m2 = 20 Ù m = ± 10
7
Ví dụ 3 : Cho đường tròn (C ) : x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 
a) Tìm tâm và bán kính của (C). 
b) Cho A(3 ; -1) , chúng minh A là điểm ở trong đường tròn .Viết 
phương trình đường thẳng qua A và cắt (C) theo một dây cung có độ 
dài nhỏ nhất . 
c) Cho d : 3x – 4y = 0 , chúng minh d cắt (C) . Tính độ dài dây cung . 
Giải : a) a = 1 ; b = - 2 , c = - 4 => tâm I có tọa độ (1 ; - 2) , bán 
kính R = 2 2a b c 3+ − = . 
b) Ta có : IA2 = (3 – 1)2 + (- 1 + 2)2 = 5 => IA < R 
Vậy A ở bên trong đường tròn . 
Đường thẳng qua A cắt (C) theo dây cung nhỏ nhất khi d cách xa 
tâm I nhất Ù d vuông góc IA
JJG
 = (2 ; 1) tại A(3 ; - 1) 
Ù d có phương trình : 2(x – 3) + 1.(y + 1) = 0 Ù 2x + y – 5 = 0 
c) d cắt (C) Ù d(I, d) < R . 
Ta có : d(I,d) = 
2 2
| 3.1 4.( 2) | 5 3
103 1
− − = d cắt (C) theo một dây cung MN . 
Kẻ IH vuông góc MN , thế thì : IH = 5
10
 , IM = R = 3 , suy ra : 
 MH2 = IM2 – IH2 = 9 - 25 65 13
10 10 2
= = 
Vậy độ dài MN = 2MH = 2. 13 26
2
= 
Cần nhớ : Cho đường tròn (I , R) và đường thẳng Δ : 
• Δ tiếp xúc (I) Ù d(I, Δ) = R 
• Δ cắt (I) Ù d(I, Δ) < R 
• Δ ở ngỏai (I) Ù d(I, Δ) > R 
Dạng toán 2 : Thiết lập phương trình đường tròn . 
Có 2 cách để thiết lập phương trình đường tròn : 
1. Tìm tọa độ (h ; k) của tâm và tính bán kính R , phương trình đường tròn cần 
tìm là : (x – h)2 + (y – k)2 = R2 . 
2. Tìm a , b, c , phương trình đường tròn cần tìm là : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 
0 
I
A
M 
N H 
d 
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 32
Cần nhớ : 
• Đường tròn (I, R) qua M(x0 ; y0) Ù IM2 = R2 
 Ù (x0 – h)2 + (y0 – k)2 = R2 
Ù x02 + y02 + 2ax0 + 2by0 + c = 0 
• Đường tròn (I, R) tiếp xúc ∆ Ù d(I, ∆) = R 
• Đường tròn (I, R) tiếp xúc trục Ox Ù |h| = R 
• Đường tròn (I, R) tiếp xúc trục Oy Ù |k| = R 
Ví dụ 1 : Viết phương trình đường tròn : 
a) đường kính AB với A(3 ; 1) và B(2 ; - 2) . 
b) có tâm I(1 ; - 2) và tiếp xúc với đường thẳng d : x + y – 2 = 0 
c) có bán kính 5 , tâm thuộc Ox và qua A(2 ; 4) . 
d) có tâm I (2 ; - 1) và tiếp xúc ngòai với đường tròn : (x – 5)2 + (y – 3)2 = 9 
e) tiếp xúc hai trục và có tâm trên đường thẳng ∆ : 2x – y – 3 = 0 
Giải : 
 a) Tâm đường tròn là trung điểm I của AB, có tọa độ 
 A B A Bx x y y 5 1; ;
2 2 2 2
+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
Bán kính R = IA = 
2 21 3 10
2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . Phương trình đường tròn là : 
 (x - 2 252 1 5) (y )
2 2 2
+ + = 
b) Bán kính đường tròn là R = d(I, d) = 
2 2
|1 2 2 | 3
21 1
− − =+ 
Phương trình đường tròn là : (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9
2
c) Vì tâm I ∈ Ox nên I = (h ; 0) . 
Ta có : IA = R Ù (h – 2)2 + (4 – 0)2 = 25 Ù (h – 2)2 = 9 
 Ù h – 2 = 3 hay h – 2 = - 3 Ù h = 5 hay h = - 1 . 
Phương trình đường tròn cần tìm : (x – 5)2 + y2 = 25 hay (x + 1)2 + y2 = 25 
d) Đường tròn (x – 5)2 + (y – 3)2 = 9 có tâm K(5 ; 3) , bán kính r = 3 
Đường tròn (I, R) cần tìm tiếp xúc ngòai với (K) Ù IK = R + r 
Mà IK = 2 2(5 2) (3 1) 5− + + = , suy ra : R = 5 – r = 2 . 
Vậy phương trình đường tròn (I) là : (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4 
O
I
∆
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 33
e) Gọi (h; k) là tâm và R là bán kính đường tròn . Ta có : 
 (I) tiếp xúc Ox , Oy Ù ⎩⎨
⎧
==
==
R|h|)Oy,O(d
R|k|)Ox,O(d
Suy ra : |h| = |k| Ù h = k (1) hay h = - k ( 2) 
Mặt khác : I ∈ ∆ Ù 2h – k – 3 = 0 (3) 
• Giải (1) và (3) : h = k = 3 => R = 3 
• Giải (2) và (3) : h = 1 , k = - 1 => R = 1 . 
Phương trình đường tròn cần tìm : 
 (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9 hay (x – 1)2 + (y + 1)2 = 1 
Ví dụ 2 : Viết phương trình đường tròn : 
a) qua A(- 2 ; - 1) , B(- 1 ; 4) và C(4 ; 3) 
b) qua A(0 ; 2) , B(- 1; 1) và có tâm trên đường thẳng 2x + 3y = 0 
c) qua A(5 ; 3) và tiếp xúc đường thẳng d : x + 3y + 2 = 0 tại điểm T(1 ; - 1) 
Giải 
a) Phương trình đường tròn có dạng (C) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 
 (C) qua A(- 2 ; - 1) Ù 22 + 12 + 2a(-2) + 2b(-1) + c = 0 
 Ù 4a + 2b - c = 5 (1) 
 (C) qua B(- 1 ; 4) Ù 2a – 8b - c = 17 (2) 
 (C) qua C(4 ; 3) Ù 8a + 6b + c = - 25 (3) 
Giải hệ (1), (2), (3) , ta được : a = b = - 1 , c = - 11 Phương trình đường tròn cần 
tìm là :x2 + y2 – 2x – 2y – 11 = 0 
b) Phương trình đường tròn có dạng (C) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 
 (C) qua A(0 ; 2) Ù 4b + c = - 4 (1) 
 (C) qua B(- 1 ; 1) Ù - 2a + 2b + c = - 2 (2) 
 Tâm I(a ; b) ∈ ∆ Ù 2a + 3b = 0 (3) 
Giải hệ (1), (2), (3), ta được a = - 3 , b = 2 , c = - 12 . Phương trình đường tròn 
cần tìm là : x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 
I K
O
I 
a 
b
 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 
 34
c) Phương trình đường tròn có dạng (C) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 
 (C) qua A(5 ; 3) Ù 10a + 6b + c = - 34 (1) 
 (C) qua T( 1 ; - 1) Ù 2a - 2b+ c = - 2 (2) 
Tâm I(a ; b) ∈ đường thẳng vuông góc với d : x + 3y + 2 = 0 tại 
T(1 ; - 1) có phương trình là : 3(x – 1) – (y + 1) = 0 Ù 3x – y – 4 = 0 
Do đó : - 3a + b = 4 (3) . 
Giải hệ (1), (2), (3), ta được : a = b = - 2 , c = - 2 . Phương trình 
đường tròn cần tìm là : x2 + y2 – 4x – 4y – 2 = 0 
Ví dụ 3 : Cho A(2 ; 0) và B(0 ; 1) , chúng minh tập hợp những điểm M thỏa MA2 
– MB2 = MO2 là một đường tròn . Xác định tâm và bán kính đường tròn ấy . 
Giải Gọi (x ; y) là tọa độ của M , ta có : 
 MA2 – MB2 = MO2 
Ù [(x – 2)2 + y2 ] – [(x2 + (y – 1)2 ] = x2 + y2 
Ù x2 + y2 + 4x – 2y – 3 = 0 
Đây là phương trình đường tròn tâm I(- 2 ; 1) , bán kính R = 2 2 . 
Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn . 
 Cần nhớ : Cho đường tròn tâm I(a ; b) , bán kính R : 
• Nếu biết tiếp điểm là T (x0 ; y0) thì phương trình tiếp tuyến là đường 
thẳng qua (x0 ; y0) và vuông góc với IT = (x0 – h ; y0 - k)