Giáo án Toán 11 - Tổ hợp, xác suất

 
Do đó ak+1 không chứa x trong khai triển khi 
7 0
3 4
k k− − = ⇔ 28 – 7k = 0⇔ k = 4 . 
Vậy số hạng khọng chứa x trong khai triển là a5 = 47C = 35 
2.33. Ta có (x2 + 1)n = 0 2 1 2 2 2 2 4 ...n n n nn n n nC x C x C x C
− −+ + + + 
và ( x + 2)n = 0 1 1 2 2 2 3 3 32 2 2 ... 2n n n n n nn n n n nC x C x C x C x C
− − −+ + + + + 
Ta nhận thấy khi n = 1 và n = 2 thì không thỏa điều kiện bài toán. 
Với n ≥ 3 thì x3n-3 = x2n.xn-3 = x2n-2.xn-1 
Do đó hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x2 + 1)n(x + 2)n 
là a3n-3 = 22. 0 3 1 1. 2 .n n n nC C C C+ . Như vậy : 
a3n-3 = 26n ⇔ 
2 52 (2 3 4) 26 73
2
n
n n n n
n
=⎡− + ⎢= ⇔ −⎢ =⎣
Vậy n= 5 vì n là nguyên dương 
Tổ hợp và xác suất 25
2.34 Ta có 14 3 7( 3)
n n
n nC C n
+
+ +− = + ⇔ ( 4)! ( 3)! 7( 3)3!( 1)! 3! !
n n n
n n
+ +− = ++ 
⇔ (n + 4)(n + 2) – (n + 2)(n + 1) = 42 ⇔ 3(n + 2) = 42 
⇔ n + 2 = 14 ⇔ n = 12 
Do đó : Trong khai triển nhị thức 53
1 nx
x
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ = 
125
3 2x x−
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
,số hạng thứ k là 
5
3 122
12 ( ) .( )
k k kC x x− − Vậy số hạng chứa x8 khi 5(12 )3 8
2
kk −− + = hay k = 4 
Vậy hệ số của x8 trong khai triển trên là 412 495C = 
2.35 Ta có khai triển (1 + x)n = C 0 1 2 2 ... n nn n n nC x C x C x+ + + + 
Cho x = 2 ta được : 3n = 0 1 2 22 2 ... 2 243n nn n n nC C C C+ + + + = =35 
Vậy n = 5 
2.36. Ta có : 4 2 3 4(1 ) 1 4 6 4x x x x x+ = + + + + 
và 0 1 2 2(1 ) ...n n nn n n nx C C x C x C x+ = + + + + 
Do đó (1 + x)n+4 = (1 + x)n.(1 + x)4 ,ta xét số hạng xk trong khai triển này ở hai vế và 
sau đó cho x = 1 ta được : 
1 2 3 4
44 6 4
k k k k k k
n n n n n nC C C C C C
− − − −
++ + + + = với 4≤ k ≤ n 
2.37. Ta có : 0 1 2 2(1 ) ...m m mm m m mx C C x C x C x+ = + + + + 
 và 0 1 2 2(1 ) ...n n nn n n nx C C x C x C x+ = + + + + 
Do đó : (1 + x)m .(1 + x)n = (1 + x)m+n , xét hệ số xk ở hai vế ta được : 
0 1 1 ...k k m k m km n m n m n m nC C C C C C C
− −
++ + + = với m ≤ k ≤ n 
1.1. Xét hai khai triển nhị thức : 
2 0 1 2 2 2 2
2 2 2 2(1 ) ...
n n n
n n n nx C C x C x C x+ = + + + + (1) 
2 0 1 2 2 2 2
2 2 2 2(1 ) ...
n n n
n n n nx C C x C x C x− = − + − + (2) 
Cộng (1) và (2) vế với vế ta được : 
2 2 0 2 2 2 2
2 2 2(1 ) (1 ) 2( ... )
n n n n
n n nx x C C x C x+ + − = + + + 
Thay x = 3 ta có : 
2 2 0 2 2 2 2
2 2 24 ( 2) 2( 3 ... 3 )
n n n n
n n nC C C+ − = + + + 
Vậy : 0 2 2 4 4 2 2 2 1 22 2 2 23 3 ... 3 2 (2 1)
n n n n
n n n nC C C C
−+ + + + = + 
Tổ hợp và xác suất 26
1.2. Xét số hạng : 20052006 2006
2006! (2006 )! 2006.2005!.
!(2006 )! (2005 )! !(2005 )!
k k
k
kC C
k k k k k
−
−
−= =− − − 
 = 20052006.
kC 
 Do đó S = 0 2005 1 2004 2005 2005 02006 2006 2006 2005 2006 2006 2006 1. . ... . ... .
k k
kC C C C C C C C
−
−+ + + + + 
 = 2006( 0 1 20052005 2005 2005 2005... ... )
kC C C C+ + + + + 
Mà 2005 0 1 2005 20052005 2005 2005(1 ) ...x C C x C x+ = + + + 
Cho x = 1 ta được : 2005 0 1 20052005 2005 20052 ...C C C= + + + 
Vậy S = 2006.22005 = 1002.22006 
1.3. Xét khai triển 2 0 1 2 2 2 22 2 2 2(1 ) ...
n n n
n n n nx C C x C x C x− = − + − + 
Thay x = 1 ta được : 0 = 0 1 2 22 2 2 2...
n
n n n nC C C C− + − + 
0 2 2 1 3 2 1
2 2 2 2 2 2... ...
n n
n n n n n nC C C C C C
−⇔ + + + = + + + 
Vậy 2 4 2 2 1 3 2 12 2 2 2 2 2... ... 2
n n
n n n n n nC C C C C C
− −+ + + = + + + − vì 0 22 2 1nn nC C= = 
E. Câu hỏi trắc nghiệm cuối chương 
Câu 1 : Một buổi tiệc có 50 người dự.Khi tan tiệc họ bắt tay nhau thì số các bắt tay là : 
 a) 100 b) 1235 c) 2450 d) đáp số khác 
Câu 2 : Cho tập hợp E = { }, , ,a b c d .Các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? 
a) Tập hợp { }, ,a b c là một chỉnh hợp 4 chập 3 
b) Cặp thứ tự (a,a) là một chỉnh hợp 4 chập 2 
c) Bộ 3 thứ tự (a.c.d) là một chỉnh hợp 4 chặp 3 
d) Hai chỉnh hợp (a,b,c) và (b,c,a) giống nhau 
Câu 3 : Có tất cả bao nhiêu số chẵn có thể thành lập được từ các chữ số 2.4.6.8 biết 
rằng số đó gồm 3 chữ số khác nhau 
a) 24 b) 32 c) 64 d) số khác 
Câu 4 :Từ TP.Hồ Chí Minh đến Nha Trang có thể đi bằng ôtô,tàu hỏa,tàu thủy hoặc 
máy bay.Mỗi ngày có 6 chuyền ôtô, 4 chuyến tàu hỏa,3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến 
máy bay.hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn phương tiện đi từ TP.HCM đến Nha Trang? 
a) 144 b) 15 c) 24 d) số khác 
Câu 5 : Một người có 5 áo sơ mi khác nhau và 4 quần khác nhau .Hỏi người đó có bao 
nhiêu cách chọn một bộ đồ (một áo và một quần) 
a) 9 bộ b) 10 c) 20 d) số khác 
Câu 6 : Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số x abcd= thỏa ba điều kiện sau : 
(1) 4000 < x < 6000 
(2) x là bội số của 5 
(3) 3 ≤ b < c ≤ 6 
Tổ hợp và xác suất 27
a) 12 b) 24 c) 32 d) 64 
Câu 7 : Hệ số của x4 trong khai triển (2x – 3)6 là : 
a) 240 b) 480 c) – 2160 d) 2160 
Câu 8 : Một bài kiểm tra toán gồm 30 câu .Mỗi câu có 4 phương án trả lời.Hỏi bài 
kiểm tra đó có bao nhiêu phương án trả lới? 
a) 120 b) 80 c) 60 d) số khác 
Câu 9 : Giả sử có 12 vận động viên bơi lội tham gia cuộc thi.Nếu không có hai vận 
động viên về đích cùng một lúc thì có bao nhiêu kết quả nhất,nhì,ba? 
a) 44 b) 132 c) 1320 d) số khác 
Câu 10 : Trong mặt phẳng cho 12 điểm mà không có 3 điểm nào thẳng hàng.Hỏi có 
bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh chọn trong 12 điểm này? 
a) 220 b) 208 c) 44 d) số khác 
Câu 11 : Trong mặt phẳng cho 12 điểm phân biệt.Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 
không có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp 12 điểm này? 
a) 66 b) 132 c) 24 d) số khác 
Câu 12 : Tổng số các hệ số của tất cả các số hạng trong khai triển nhị thức (2x – 3y)20 
là : 
a) 220 b) -1 c) 1 d) số khac 
Câu 13 : Có bao nhiêu số lẻ gồm 2 chữ số và nhỏ hơn 80? 
a) 40 b) 45 c) 35 c) số khác 
Câu 14 : Một lục giác không có một đôi cạnh nào song song cả.Có tất cả bao nhiêu 
đường thẳng góc kẻ từ một đỉnh đến một cạnh không qua đỉnh đó? 
a) 24 b) 25 c) 30 d) 20 
Câu 15: Một học sinh viết 6 lá thư gởi cho 6 người bạn.Sau khi bỏ 6 lá thư vào 6 phong 
bì và dán lại thì học sinh đó mới nhớ là mình quên viết địa chỉ.Nếu bây giờ mới viết 
địa chỉ thì có bao nhiêu trường hợp trong đó có 3 địa chỉ viết đúng lá thư mình gởi? 
a) 30 b) 40 c) 45 d) 50 
Câu 16: Cho tập hợp E gồm có 10 phần tử.Có bao nhiêu tập con của E mà số phần tử 
lớn hơn 6? 
a) 172 b) 174 c) 176 d) số khác 
Câu 17 : Bất phương trình 
3
3 2
( 1)! !
nA
n n
+ <+ có bao nhiêu nghiệm? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) vô nghiệm 
Câu 18 : Cho 3 112 12
n nC C+ −= thì số tổ hợp n chập 4 bằng: 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 
Câu 19 : Số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức : 2 103
1( )+x
x
 là : 
a) 200 b) 210 c) 220 d) số khác 
Tổ hợp và xác suất 28
Câu 20 : Trong khai triển nhị thức : 
(1 + x + x2 )n = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + a2n x2n thì tổng các số hạng 
a0 + a2 + a4 + . . . + a2n bằng bao nhiêu? 
a) 
3 1
2
n +
 b) 
2 1
2
n +
 c) 
3
2
n
 d) 3n 
 Bảng trả lời : 
1b 2c 3a 4a 5c 6b 7d 8a 9c 10a 
11b 12c 13c 14a 15b 16c 17d 18b 19b 20a 
Hướng dẫn giải: 
1b Số bắt tay là : 250
50.49 1235
2
C = = 
2c Cho tập hợp E = { }, , ,a b c d .Một chỉnh hợp 4 chập 3 là (a,c,d) đúng 
3a Có tất cả 4 .3 .2 = 24 số 
4a Có 6.2.2.2 = 144 sự lựa chọn 
5c Có 20 bộ đồ 
6b Xét số x abcd= . 
• Điều kiện (1) 4000 < x < 6000 thì có 2 cách chọn a là a = 4 hay 5 
• Điều kiện (2) : x chia hết cho 5 thì có 2 cách chọn d là d = 0 hay 5 
• Điều kiện (3) : 3 ≤ b < c ≤ 6 thì ta có : nếu b= 3 thì c = 4 , 5 , 6 
 nếu b = 4 thì c = 5, 6 và nếu b= 5 thì c= 6 
Vậy có tất cả 2.2.6 = 24 số thỏa 3 điều kiện 
7d Ta có : ( )6 0 6 1 5 2 4 2 6 66 6 6 62 3 (2 ) (2 ) ( 3) (2 ) ( 3) ... ( 3)x C x C x C x C− = + − + − + + − 
 Vậy hệ số của x4 là 22.(-3)2. 26C = 16.9.15 = 2160 
8a Có 30 . 4 = 120 phương án trả lời 
9c Có 312A = 12.11.10 = 1320 
10a Số tam giác là 312
12.11.10
1.2.3
C = = 220 
11b Số vectơ là 212A = 12.11 = 132 
12c Cho x = y = 1 ta được tổng các hệ số là (- 1)20 = 1 
13c Số nhỏ hơn 80 có dạng x = ab 
• với a = 1,2,3,4,5,6,7 nên có 7 cách chọn chữ số a 
• x là số lẻ nên b = 1,3,5,7,9 .có 5 cách họn chữ số b 
Vậy có 2.5 = 35 số lẻ nhỏ hơn 80 
14a Lục giác có 6 đỉnh và 4 cạnh không qua một đỉnh cho sẵn.Như vậy ứng với mỗi 
đỉnh ,có 4 đường thẳng góc .Vậy có tất cả 6.4 = 24 đường thẳng góc 
Tổ hợp và xác suất 29
15b Có 3 địa chỉ đúng trong 6 địa chỉ .Do đó có tất cả 36 20C = cách chọn 3 địa chỉ 
đúng 
Ứng với một địa chỉ đúng ,chỉ có 2 địa chỉ viết sai.Ví dụ : 
o Địa chỉ phải viết : 1 2 3 
o Địa chỉ viết sai : 2 3 1 hoặc 3 1 2 
Vậy có tất cả 20.2 = 40 trường hợp có thể xảy ra 
16c Tập E gồm có 10 phần tử 
• Số tập con của E có 7 phần tử là 7 310 10 10.9.8 1201.2.3C C= = = 
• Số tập con của E có 8 phần tử là 8 210 10 45C C= = 
• Số tập con của E có 9 phần tử là 9 110 10 10C C= = 
• Số tập con của E có 10 phần tử là : 1 
Vậy số tập con của E có số phần tử lớn hơn 6 là : 120 + 45 + 10 + 1 = 176 
17d Ta có : 
3
3 2
( 1)! !
nA
n n
+ <+ 
( 3)( 2)( 1) 2 ( 3)( 2) 2
( 1)! !
n n n n n
n n
+ + +⇔ < ⇔ + + <+ 
 ⇔ n2 + 5n +4 < 0 ⇔ - 4 < n < - 1 Mà n là số nguyên dương 
Vậy bất phương trình vô nghiệm 
18 b Ta có : 3 112 12
n nC C+ −= ⇔ n + 3 = 12 – (n – 1) ( theo tính chất của knC ) 
Vậy n = 5 Do đó số tổ hợp 5 chập 4 bằng số tổ hợp 5 chập 1 là 5 
19b Trong khai triển 2 103
1( )x
x
+ thì số hạng thứ k + 1 là : 
2 10 3 20 5
10 10( ) .( )
k k k k kC x x C x− − −= . Số hạng không chứa x khi 20 – 5k = 0 
Vậy k = 4 .Suy ra hệ số của số hạng không chứa x là 410C = 210 
20a Trong khai triển (1 + x + x2 )n = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + a2n x2n 
• Cho x = 1 ta được : 3n = a0 + a1 + a2 + . . . + a2n (1) 
• Cho x = -1 ta được : 1n = a0 – a1 + a2 –a3 + . . . + a2n (2) 
 Cộng theo vế (1) và (2) ta được : 
 3n + 1 = 2(a0 + a2 + a4 + . . . + a2n ) 
Vậy a0 + a2 + a4 + . . . + a2n = 
3 1
2
n +
II.XÁC SUẤT 
§ 1. Biến cố và xác suất của biến cố 
A. Tóm tắt giáo khoa 
1. Biến cố 
Tổ hợp và xác suất 30
a) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu : 
Một phép thử ngẫu nhiên (ký hiệu T) là một thí nghiệm hay một hành động mà có thể 
lập đi lập lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau, kết quả của nó không dự đoán 
trước được và có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra. 
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gián mẫu của phép 
thử, ký hiệu Ω 
Ghi chú : Trong bài này ta thường dùng các từ : 
• Đồng xu là đồng tiền kim loại có 2 mặt,trên một mặt có ghi giá trị của 
đồng tiền gọi là mặt ngửa (N) , mặt kia là mặt sấp (S) 
• Con súc sắc là một khối lập phương mà 6 mặt lần lượt có 1 , 2 , 3 . . . 6 
chấm.Mặt có k chấm gọi là mặt k chấm 
• Cỗ bài tú lơ khơ gồm 32 quân bài chia thành 4 chất : cơ , rô ( màu đỏ) 
,chuồn .bích (màu đen).Mỗi chất có 13 quân bài là : 
2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A ( J đọc là bồi,Q đọc là đầm ,K đọc là già,A đọc 
là ách hay xì) 
Ví dụ : Gieo một con súc sắc là một thí nghiệm ngẫu nhiên 
Không gian mẫu là tập hợp { }1, 2,3, 4,5,6Ω = 
b) Biến cố liên quan đến phép thử 
 Một biến cố A liên quan tới phép thử T là một tập con AΩ của không gian mẫu Ω của 
phép thử đđó . Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thuộc tập AΩ .Mỗi phần tử 
của AΩ đđược gọi là một kết quả thuận lợi cho A 
2. Xác suất của biến cố : 
a) Định nghĩa cổ điển : Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập hợp hữu 
hạn và các kết quả của T là đồng khả năng.Nếu A là một biến cố liên quan với phép 
thử T và AΩ là tập hợp các kết quả mô tả A thì xác suất của A là một số , ký hiệu là 
P(A) , được xác định bởi công thức : 
 ( ) AP A
Ω= Ω 
 trong đó AΩ và Ω lần lượt là số phần tử của tập AΩ và Ω 
• Biến cố chắc chắn (luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T ) có xác suất 
bằng 1 . 
• Biến cố không thể ( không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T) có xác 
suất bằng 0 
Tổ hợp và xác suất 31
Ví dụ 1 : Gieo một đồng xu thì không gian mẫu là { },N SΩ = .Xác suất để mặt N là 
1
2
Ví dụ 2 : Gieo một con súc sắc thì không gian mẫu là { }1, 2,3, 4,5,6Ω = . 
Biến cố { }2, 4,6A = (số chấm trên mặt xuất hiện là số chẵn) 
Xác suất để mặt xuất hiện là số chẵn bằng : P(A) = 
3 1
6 2
= 
Ví dụ 3 : Chọn ngẫu nhiên 2 lá bài trong cỗ bài 52 lá thì số phần tử của không gian 
mẫu Ω là 252C = 1326 ( số tổ hợp 52 chập 2) 
Biến cố AΩ được đúng một là xì (ách) (cơ,rô,chuồn,bích) là 2.51 
Vậy xác suất của biến cố A là P(A) = 
4.51 0,15
1326
= 
b) Định nghĩa thống kê của xác suất 
• Xét biến cố A liên quan đến phép thử T.Trong N lần thực hiện phép thử T thì 
số lần xuất hiện biến cố A gọi là tần số của A 
• Tỉ số giữa tần số của A với số N gọi là tần suất của A trong N lần thực hiện 
phép thử T , số này được gọi là xác suất thực nghiệm của A 
B.Giải toán 
Dạng 1 : Sử dụng công thức ( ) AP A
Ω= Ω 
 Ví dụ 1 : Gieo một con súc sắc . Tính xác suất để số chấm mặt trên xuất hiện là số lẻ 
Giải 
Số phần tử của không gian mẫu là 6 
Số phần tử của biến cố A (số chấm của mặt trên xuất hiện là số lẻ) là 3 
Vậy P(A) = 
3 0,5
6
= 
 Ví dụ 2 : Gieo hai đồng xu cùng một lúc . Tính xác suất để được nhiều nhất một mặt 
 sấp (S). 
Giải 
Không gian mẫu { }, , ,SS SN NN NSΩ = gồm có 4 phần tử 
Biến cố được nhiều nhất một mặt S là { }, ,A SN NN NS= 
Tổ hợp và xác suất 32
Vậy xác suất 
3( )
4
P A = = 0,75 
 Ví dụ 3 : Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 20 . Tính xác suất để số 
 được chọn là số nguyên tố . 
Giải 
Có 19 cách chọn một số nguyên dương nhỏ hơn 20 
Có 7 số nguyên tố nhỏ hơn 20 là : 3,5,7,11,13,17,19 
Vậy xác suất để số được chọn là số nguyên tố là P(A) = 
7
19
= 0,37 
 Ví dụ 4 : Danh sách lớp học được đáng số thứ tự từ 1 đến 32.Bạn Huy có thứ tự 20. 
a) Giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp trả bài.Tính xác suất để 
Huy được chọn 
b) Giáo viên chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trả bài.Tính xác suất để 5 học sinh 
này có số thứ tự nhỏ hơn số thứ tự của Huy 
Giải 
a) Chọn một học sinh trong 35 học sinh thì có 35 cách chọn 
Chọn học sinh tên Huy chỉ có một cách chọn 
Vậy xác suất Huy được chọn là P = 
1
35
= 0,028 
b) Chọn 5 học sinh trong 35 học sinh thì có 535
35.34.33.32.31
1.2.3.4.5
C = =324632 cách chọn 
Chọn 5 học sinh trong 19 học sinh có số thứ tự nhỏ hơn 20 thì có : 
5
19
19.18.17.16.15
1.2.3.4.5
C = = 7752 
Vậy xác suất để chọn 5 học sinh có số thứ tự nhỏ hơn Huy là : 
7752
324632
P = = 0,024 
 Ví dụ 5 : Chọn ngẫu nhiên một viên bi trong bình đựng 6 bi đen và 4 bi trắng. Tính 
 xác suất để được một bi trắng 
Giải 
Chọn một viên bi trong bình đựng 10 bi thì có 10 cách chọn 
Có 4 cách chọn 1 bi trắng trong 4 bi trắng 
Tổ hợp và xác suất 33
Vậy các suất để được một bi trắng là : P = 
4
10
= 0,40 
 Ví dụ 6 : Chọn ngẫu nhiên 13 quân bài trong cỗ bài 52 lá.Tính xác suất để được 5 lá 
 chuồn, 4 lá cơ , 3 lá rô và 1 lá bích 
Giải 
• Có 1352C cách chọn 13 lá bài trong cỗ bài 52 lá 
• Có 513C cách chọn 5 lá chuồn trong 13 lá chuồn 
• Có 413C cách chọn 4 lá cơ trong 13 lá cơ 
• Có 313C cách chọn 3 lá rô trong 13 lá rô 
• Có 113C cách chọn 1 lá bích trong 13 lá bích 
Vậy xác suất phải tìm là 
5 4 3 1
13 13 13 13
13
52
. . .C C C CP
C
= = 0,005 
 Ví dụ 7 : Gieo 3 con súc sắc cùng một lúc .Tính xác suất để được tổng số chấm các 
 mặt trên xuất hiện bằng 6 
Giải 
Số phần tử của không gian mẫu là 6.6.6 = 216 
Tổng số chấm các mặt trên xuất hiện bằng 6 là : 
(1,1,4) (1,2,3) (1,3,2) (1,4,1) (2,1,3) (2,2,2) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1) (4,1,1) 
Vậy xác suất phải tìm là : 
10
216
P = = 0,04 
Dạng 2 :Tính xác suất theo tần suất 
Ví dụ 1 : Gieo 2 đồng xu 20 lần và thu được kết quảsau : 
Biến cố Tần số xuất hiện 
A là { },N N 3 
B là { },S N 5 
C là { },N S 7 
D là { },S S 5 
 Tính xác suất P(A) , P(B) , P(C) , P(D) 
Giải 
Tổ hợp và xác suất 34
Theo định nghĩa P(A) là tần suất của A .Vậy P(A) 
3
20
= = 0, 15 
 P(B) 
5
20
= = 0,25 P(C) = 7
20
= 0,35 và P(D) = 
5
20
= 0,25 
 Ví dụ 2 : Gieo con súc sắc 30 lần ta được kết quả như sau : 
Số chấm xuất hiện Tần số 
A là số 1 4 
B là số 2 6 
C là số 3 5 
D là số 4 7 
E là số 5 5 
F là số 6 3 
Tính xác suất của các biến cố A,B,C,D,E,F 
Giải 
Theo định nghĩa ta có : P(A) = 
4
30
= 0,13 P(B) = 
6
30
= 0,2 
P(C) = 
5
30
=0,16 P(D) = 
7
30
= 0,23 P(E) = 0,16 P(F) = 
3
30
= 0,10 
C.Bài tập rèn luyện 
2..41 Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 50 số tự nhiên 1,2,3, . . . ,50 
 a) Tính xác suất của biến cố A : trong 3 số đó có và chỉ có 2 bội số của 5 
 b) Tính xác suất của biến cố B : trong 3 số đó có ít nhất một số chính phương 
2..42 Gieo 3 đồng xu cùng một lúc.Tính xác suất để có : 
 a) hai đồng lật ngửa 
 b) có ít nhất một đồng lật ngửa 
2..43 Gieo 2 con súc sắc cùng một lúc 
Tính xác suất của biến cố A : được 2 số chấm xuất hiện khác nhau 
Tính xác suất của biến cố B : được tổng số chấm xuất hiện bằng 7 
2..44. Một người viết 10 lá thơ và ghi địa chỉ gởi cho các người bạn trên 10 
phong bì . Sau đó người ấy bỏ ngẫu nhiên 10 lá thơ trong 10 phong bì. 
Tính xác suất để mỗi người bạn đều nhận được là thơ đúng của mình 
2.45. Một cuộc xổ số tombola cĩ 100 vé và 10 vé trúng .Chọn ngẫu nhiên 3 vé . 
Tổ hợp và xác suất 35
a) Tính xác suất để được đúng một vé trúng 
b) Tính xác suất để được ít nhất một vé trúng 
2.46. Một bình đựng 5 bi trắng,6 bi đen và 4 bi đỏ.Lấy ngẫu nhiên 3 bi. 
a) Tính xác suất để được 3 bi cùng màu 
b) Tính xác suất để được 3 bi khác màu 
2.47. Một giáo viên phát ngẫu nhiên 10 bài kiểm tra toán cho 10 học sinh 
Tính xác suất để mỗi học sinh nhận đúng bài kiểm tra của mình 
2..48. Chọn ngẫu nhiên 3 lá bài trong cổ bài 52 lá 
a) Tính xác suất để được 3 lá hình 
b) Tính xác suất 3 lá xì 
D. Hướng dẫn giải hay đáp số 
2.41. a) Ta có C 350 cách chọn 3 số trong 50 số tự nhiên 
Trong các số tự nhiên từ 1 đến 50 có 10 bội số của 5 ,do đó có 210C cách chọn 2 bội số 
của 2. 
Có 40 cách chọn một số không phải bội số của 5 
Vậy P(A) = 
2
10
3
50
40.C
C
b) Trong các số tự nhiên từ 1 đến 50 có 7 số chính phương 
Do đó có 343C cách chọn 3 số không có số chính phương 
Vậy số cách chọn 3 số trong đó có ít nhất một số chính phương là 3 350 43C C− 
Vậy P(B) = 
3 3 3
50 43 43
3 3
50 50
1C C C
C C
− = − 
1.1 . Gieo 3 đồng xu cùng một lúc thì không gian mẫu gồm 8 phần tử 
{ }, , , , ,