Giáo án Tự chọn 12 - Vấn đề 2 Tính đơn điệu của hàm số

VẤN ĐỀ 2
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
I) Định nghĩa:
1) f(x) đồng biến / (a;b) Û "x1;x2Ỵ(a;b):x1< x2Þ f(x1) < f(x2)
2) f(x) nghịch biến / (a;b) Û"x1;x2Ỵ(a;b):x1 f(x2)
II) Dấu hiệu của tính đơn điệu:
a) f(x) đồng biến / (a;b) Ûf’(x)³ 0, "xỴ (a;b)
b) f(x) nghịch biến / (a;b) Ûf’(x) £0, "xỴ (a;b) 
c) f(x) hàm hằng / (a;b) Û f’(x) = 0, "xỴ (a;b)
K Chú ý: Trong chương trình toán phổ thông, đối với những hàm số được xét, ta sử dụng được mục a) & b) vì dấu “=” thường chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b). Riêng đối với hàm số thì khi áp dụng dấu hiệu ta phải loại dấu “=” đi vì dấu “=” không thể xảy ra.(Điều này sẽ được lý giải sau).
III)Điểm tới hạn: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 Ỵ (a;b). Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f ’(x) không xác định hoặc bằng 0.
IV)Cách tìm các khoảng đơn điệu của một hàm số thông qua bảng biến thiên: Ta thực hiện các bước sau:
1)Tìm các điểm tới hạn.
2)Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
3)Từ đó suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi khoảng.
VI) Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai:
1) Định lý: Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c a¹0 và một số thực a. 
 Nếu af(a) = a(aa2 + ba + c) < 0 thì: 
+ Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 (x1 < x2) .
+x1< a <x2 (a nằm trong khoảng hai nghiệm).
2) Hệ quả:
+
+
V) Dấu của tam thức bậc hai: 
1) Dạng: f(x) = ax2+bx+c (a¹0) 
2) Nghiệm của tam thức là nghiệm của phương trình bậc hai ax2+bx+c =0
3) Dấu của tam thức bậc hai:
a)D<0: Tam thức vô nghiệm
x
f(x)
 cùng dấu với a
b) D=0: Tam thức có nghiệm kép x1 = x2 = -b/2a
x
 -b/2a 
f(x)
 cùng dấu với a 0 cùng dấu với a
c) D>0:Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1,x2(x1,x2)
x
 x1 x2 
f(x)
 cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a
VII) Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên R 
 Cho f(x) = ax2 +bx+c. Xét hai trường hợp:
1) a = 0 (Nếu a có chứa tham số) 2) a¹0: v v 
+ +
VI) So sánh một số a với các nghiệm của một tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c (a¹0) và một số thực a.:
+ af(a)< 0 Ûx1 < a < x2 
+af(a)= 0Ûx= a và x=S-a (hoặc x =P/a (a ¹0))
+ÛaÏ[x1;x2]) (a nằm ngoài đoạn [x1;x2])
VII) So sánh hai số a, b với các nghiệm của một tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c (a¹0) và hai số thực a, b:
+
+
+
+ 
B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:
Xét chiều biến thiên của hàm số.
Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến.
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức. 
BÀI TẬP 
Bài 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
1)
2) 
3) 
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14) 
15) 
16) 
17)
18)
19)
20) trên 
Bài 2: 
Cho hàm số , m tham số. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số luôn đồng biến.
Cho hàm số , m tham số. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số luôn nghịch biến.
Bài 3: 
Cho hàm số: , m tham số. Tìm m để hàm số có đúng một điểm tới hạn trong khoảng (0;1).
Cho hàm số: , m tham số. Tìm m để hàm số có nhiều hơn một điểm tới hạn trên khoảng (2;4).
Bài 4: Với giá trị nào của m thì hàm số (m là tham số) đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 +3(2m – 1)x +1 
Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
Lập bảng biến thiên của hàm số khi m = 1.
Biện luận theo m tính đơn điệu của hàm số.
Bài 6: Cho hàm số y = (m2 – 1) + (m + 1)x2 +3x +5
Tìm m để hàm số luôn đồng biến.
Lập bảng biến thiên của hàm số khi m = 2. 
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số y = đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Bài 8: Xác định m để hàm số y = : 
Đồng biến trên tập xác định của nó. 
Đồng biến trên khoảng .
Nghịch biến trên khoảng . 
Bài 9: Tìm m để hàm số hàm số y = 
Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Đồng biến trên khoảng .
Bài 10: Tìm m để hàm số y = 
Luôn nghịch biến.
Nghịch biến trên [1; +) 
Bài 11: Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Bài 12: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
, với mọi x > 0.
 , với mọi