Giáo án Tự chọn môn Toán, kì II

à cho điểm .
- Thảo luận nhúm
- Đại diện của 2 nhúm lờn bảng trỡnh bày
a. 
 Đặt u , v > 0
KQ: Nghiệm của hệ là
b. 
 Đk : x , y > 0
hpt
KQ : Hệ phương trỡnh cú nghiệm là :
- Nhận xột
3/Củng cố- dặn dũ: Nhắc lại phương phỏp giải cỏc PT,Bpt,hệ PT mũ và Lụgarit
Bài tập về nhà :
 1 . Tỡm Tập nghiệm của phương trỡnh 
 2 . Giải hệ PT 
 3 . Giải phương trỡnh 
 	 4 . Giải cỏc hpt : a. b. 
 c. 
 4/Bổ sung: 
 SOÁ PHệÙC
KIEÁN THệÙC CAÀN NHễÙ.
1/ Taọp hụùp soỏ phửực: C
2/ Soỏ phửực (daùng ủaùi soỏ) : z = a + bi (a, b, i laứ ủụn vũ aỷo, i2 = -1); a laứ phaàn thửùc, b laứ phaàn aỷo cuỷaz
z laứ soỏ thửùc phaàn aỷo cuỷa z baống 0 (b = 0)
z laứ phaàn aỷo phaàn thửùc cuỷa z baống 0 (a = 0)
3/ Hai soỏ phửực baống nhau: 
a + bi = a’ + b’i
4/ Bieồu dieón hỡnh hoùc : Soỏ phửực z = a + bi (a, b ủửụùc bieồu dieón bụỷi ủieồm M(a ; b) hay bụỷi trong mp(Oxy) (mp phửực) y
 M(a+bi)
 0 x
5/ Coọng vaứ trửứ soỏ phửực : 
 . (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
 . (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’
Soỏ ủoỏi cuỷa z = a + bi laứ –z = -a – bi (a, b 
z bieồu dieón , z’ bieồu dieón thỡ z + z’ bieồu dieón bụỷi vaứ z – z’ bieồu dieón bụỷi 
6/ Nhaõn hai soỏ phửực : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’.
7/ Soỏ phửực lieõn hụùp cuỷa soỏ phửực z = a + bi laứ 
 a) 
 b) z laứ soỏ thửùc ; z laứ soỏ aỷo 
8/ Moõủun cuỷa soỏ phửực : z = a + bi 
 a) 
 b) 
 c) 
9/ Chia hai soỏ phửực :
 a) Soỏ phửực nghũch ủaỷo cuỷa z (z: 
 b) Thửụng cuỷa z’ chia cho z (z: 
 c) Vụựi z, 
10/ Caờn baọc hai cuỷa soỏ phửực : 
z laứ caờn baọc hai cuỷa soỏ phửực 
z = x + yi laứ caờn baọc hai cuỷa soỏ phửực w = a + bi 
 (a, b, x, y
a) w = 0 coự ủuựng 1 caờn baọc hai laứ z = 0
b) w coự ủuựng hai caờn baọc hai ủoỏi nhau 
 * Hai caờn baọc hai cuỷa a > 0 laứ 
 * Hai caờn baọc hai cuỷa a < 0 laứ 
11/ Phửụng trỡnh baọc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C laứ soỏ phửực cho trửụực, A ).
 a) : Phửụng trỡnh coự hai nghieọm phaõn bieọt , ( laứ 1 caờn baọc hai cuỷa 
 b) : Phửụng trỡnh coự 1 nghieọm keựp laứ 
12/ Daùng lửụùng giaực cuỷa soỏ phửực : 
 * z = (r > 0) laứ daùng lửụng giaực cuỷa z = a + bi (a, b 
 + laứ moọt acgumen cuỷa z.
 + 
13/ Nhaõn chia soỏ phửực dửụựi daùng lửụùng giaực.
Neỏu z = r(costhỡ :
 a) ]
 b) 
14/ Coõng thửực Moa-vrụ : thỡ 
15/ Caờn baọc hai cuỷa soỏ phửực dửụựi daùng lửụùng giaực :
Caờn baọc hai cuỷa soỏ phửực z = r(cos (r > 0) laứ : vaứ 
BAỉI TAÄP
Baứi 1: Tỡm phaàn thửùc vaứ phaàn aỷo cuỷa caực soỏ phửực sau :
 a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) ẹS : 1 vaứ 1
 b) (1 + i)2 – (1 – i)2 ẹS: 0 vaứ 4
 c) (2 + i)3 – (3 – i)3 ẹS: -16 vaứ 37
 d) ẹS :vaứ 
Baứi 2: Cho soỏ phửực z = x + yi. Tỡm phaàn thửùc vaứ phaàn aỷo cuỷa caực soỏ phửực :
 a) z2 – 2z + 4i ẹS: x2 – y2 – 2x vaứ 2(xy – y + 2)
 b) ẹS: vaứ 
Baứi 3: Giaỷi caực phửụng trỡnh sau (aồn z):
 a) ẹS: 
 b) ẹS: -1 + i ; 1/2
 c) ẹS: 2/3 + 4i
 d) ẹS: 0, -1, 
 e) ẹS: 0, i, -i
 f) ẹS: bi (b
Baứi 4: Xaực ủũnh taọp hụùp caực ủieồm trong maởt phaỳng phửực bieồu dieón caực soỏ z thoỷa maừn moói ủieàu kieọn sau:
 a) ẹS: x = 1/2 vaứ x = -7/2
 b) = 2 ẹS: y = 
 c) 2|z – i| = ẹS: y = 
Baứi 5: Tỡm soỏ phửực z thoỷa maừn : ẹS: 0, 1 , -1
Baứi 6: Phaõn tớch ra thửựa soỏ :
 a) a2 + 1 ẹS: (a – i)(a + i) b) 2a2 + 3 ẹS:
 c) 4a4 + 9b2 ẹS: (2a – 3bi)(2a + 3bi) d) 3a2 + 5b2 ẹS: 
Baứi 7: Thửùc hieọn pheựp tớnh :
 a) ẹS: b) ẹS: i
 c) ẹS: -i d) ẹS: 
 e) ẹS: f) ẹS: 
 g) ẹS: h) (2 – i)6 ẹS: -117 – 44i
Baứi 8: Tỡm caờn baọc hai cuỷa moói soỏ phửực sau :
 a) -1 + 4 ẹS: b) 4 + 6 ẹS: 
 c) -1 - 2 ẹS: d) -5 + 12.i ẹS: (2 + 3i)
Baứi 9: Giaỷi caực phửụng trỡnh sau trong C.
 	a) ẹS: 
 	b) ẹS: 
 	 c) x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 ẹS: 2 + i ; 1 – 2i 
	d) 	ẹS: 
	e) 	ẹS: 
 	f) 3i.x2 – 2x – 4 + i = 0 ẹS: ; 
Baứi 10: Giaứi caực heọ phửụng trỡnh :
 a) ẹS:(3 – i; 1 + 2.i) vaứ (1 + 2.i; 3 – i) 
 b) ẹS: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)
Baứi 11: Tỡm moọt acgumen cuỷa moói soỏ phửực sau: 
 a) ẹS: b) 4 – 4i ẹS: 
 c) 1 - ẹS: d) ẹS: 
 e) ẹS: f) ẹS: 
Baứi 12: Thửùc hieọn pheựp tớnh :
3(cos20o + isin20o)(cos25o + isin25o) ẹS: 
5 ẹS: 15(cos
 ẹS: 
 ẹS: 
Baứi 13: Vieỏt dửụựi daùng lửụùng giaực caực soỏ phửực sau:
 a) ẹS: ]
 b) 1 + i ẹS: 
 c) ẹS: 
 d) ẹS: 
 e) ẹS: 
 f) ẹS: 
 g) z = ẹS: 
Baứi 14: Tớnh :
(cos12o + isin12o)5 ẹS: 
[)]7 ẹS: 
 ẹS: -2 6
(1 + i)16 ẹS: 2 8
 ẹS: 1
 ẹS: 
 ẹS: 221
PHẦN : HèNH HỌC
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHễNG GIAN
Phần 1: Hệ toạ độ trong khụng gian
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Diện tớch của hỡnh bỡnh hành ABCD
2. Diện tớch tam giỏc ABD
3. Thể tớch khối hộp ABCD.A’B’C’D’ 	3’. Thể tớch tứ diện ABCD.
4. Một số tớnh chất của tớch vụ hướng và tớch cú hướng
cựng phương 
đồng phẳng 
5. Toạ độ trọng tõm của tam giỏc và trung điểm của đoạn thẳng
I
G
B. Bài tập
1. Cho ba vectơ . Tỡm toạ độ cỏc vectơ sau đõy: 
 và 
2. Tỡm toạ độ của vectơ x biết rằng
a) và 	b) và c) và ; 
3. a) Cho 3 điểm khụng thẳng hàng: ; ; . Tỡm toạ độ trọng tõm của tam giỏc ABC.
b) Cho 4 điểm khụng đồng phẳng ; ; ; . Tỡm toạ độ trọng tõm tứ diện ABCD.
4. Cho điểm M cú toạ độ (x; y; z). Tỡm tọa độ hỡnh chiếu vuụng gúc của M:
a) Trờn cỏc mặt phẳng Oxy, Oxz, Oyz.	b) Trờn cỏc trục toạ độ Ox, Oy, Oz.
c) Tỡm toạ độ của điểm đối xứng với điểm M qua gốc toạ độ O (M1), qua trục Ox (M2), qua trục Oy (M3), qua trục Oz (M4), qua mặt phẳng Oxy(M5), qua mặt phẳng Oxz(M6), qua mặt phẳng Oyz (M7).
5. Trong hai bộ ba điểm sau, bộ ba điểm nào thẳng hàng:
; ; và ; ; 
6. Cho hỡnh hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: ; ; ; . Tỡm toạ độ cỏc đỉnh cũn lại. Tương tự nếu ; ; ; .
7. Cho bốn điểm ; ; ;. 
a) Chứng minh ABCD là hỡnh bỡnh hành. 	b) Tớnh AB, AD và diện tớch hỡnh bỡnh hành ABCD.
8. Cho 3 điểm: ; ; . 
a) Tớnh AB, BC, CA và diện tớch tam giỏc ABC. 
b) Tỡm toạ độ trung điểm của AB, BC, CA và toạ độ trọng tõm tam giỏc ABC.
9. Cho tam giỏc ABC với ; ; . 
a) Tớnh AB, BC, CA và diện tớch tam giỏc ABC. 
b) Tỡm toạ độ trung điểm của AB, BC, CA và toạ độ trọng tõm tam giỏc ABC.
c) Tỡm chõn D của đường phõn giỏc trong AD của gúc A.
10. Cho ba vectơ: ; ; . Tỡm:
a) (.).	b) .(.)	c) .+.+.	d) 3-2(.).+.	e) 4.+-5
11. Tỡm gúc giữa hai vectơ sau:
a) ; 	b) ; 	c) ; 
12. a) Trờn trục Oy, tỡm điểm cỏch đều hai điểm: ; .
b) Trờn mặt phẳng Oxy, tỡm điểm cỏch đều ba điểm: ; ; .
13. Xột sự đồng phẳng của ba vectơ sau: 
a) ; ; .	b) ; ; .
c) ; ; .	d) ; ; .
e) ;;
14. Cho 3 điểm ; ; 
a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giỏc (Chứng minh A, B, C khụng thẳng hàng).
b) Tớnh chu vi và diện tớch tam giỏc.
c) Tỡm toạ độ đỉnh D để tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành.
d) Tớnh độ dài đường cao của tam giỏc ABC hạ từ đỉnh A.
e) Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC.
f) Tỡm tọa độ chõn D1 đường phõn giỏc trong AD1 và chõn D2 đường phõn giỏc ngoài AD2 của
15. Cho bốn điểm: ; ; ; 
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tớnh gúc tạo bởi cỏc cạnh đối của tứ diện ABCD.
c) Tớnh thể tớch tứ diện và tớnh độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
16. Cho tam giỏc ABC biết: ; ; . Tỡm độ dài cỏc đường phõn giỏc trong.
17. Chứng minh cỏc tớnh chất của tớch cú hướng của hai vectơ sau:
a) 	b) 	c) 
18. Cho tam giỏc ABC với: ; ; 
a) Tớnh chu vi và diện tớch tam giỏc.
b) Tỡm toạ độ đỉnh D để tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành.
c) Tớnh độ dài đường cao của tam giỏc ABC hạ từ đỉnh A.
d) Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC.
e) Tỡm tọa độ chõn D1 đường phõn giỏc trong AD1 và chõn D2 đường phõn giỏc ngoài AD2 của
19. Cho bốn điểm: ; ; ; 
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện (Chứng minh A, B, C, D khụng đồng phẳng).
b) Tớnh gúc tạo bởi cỏc cạnh đối của tứ diện ABCD.
c) Tớnh thể tớch tứ diện và tớnh độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
d) Tỡm toạ độ tõm hỡnh tứ diện ABCD.
e) Tỡm tọa độ của điểm I cỏch đều bốn điểm A, B, C, D.
f) Tỡm toạ độ hỡnh chiếu K của D lờn mặt phẳng (ABC).
20. Cho ba điểm: ; ; .
a) Chứng minh ABC là tam giỏc vuụng.
b) Tỡm toạ độ chõn của đường phõn giỏc trong của tam giỏc xuất phỏt từ B.
c) Tớnh chu vi và diện tớch tam giỏc ABC.
21. Cho bốn điểm: ; ; ; 
a) Chứng tỏ D nằm ngoài mặt phẳng (ABC).
b) Tỡm toạ độ trọng tõm của tứ diện ABCD.
c) Tớnh diện tớch tứ diện ABCD và tớnh độ dài đường cao hạ từ đỉnh A.
22. Cho bốn điểm: ; ; ; 
a) Chứng minh A, B, C, D nằm trờn cựng mặt phẳng.
b) Tỡm toạ độ giao điểm I của AC và BD. 
23. Cho tam giỏc CDE với: ; ; . Tớnh độ dài đường trung tuyến, đường cao, đường phõn giỏc xuất phỏt từ đỉnh E của tam giỏc.
24. Cho tứ bốn điểm ; ; ; . Tỡm toạ độ hỡnh chiếu vuụng gúc H của P lờn mặt phẳng ABC.
25. Cho bốn điểm: ; ; ; 
a) Tớnh cosin của gúc tạo bởi và .
b) Tớnh diện tớch tam giỏc BCD.
c) Tớnh độ dài đường cao của hỡnh tứ diện ABCD xuất phỏt từ đỉnh A.
Phần 2: Phương trỡnh mặt cầu.
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trỡnh mặt cầu tõm , bỏn kớnh R:
Dạng chớnh tắc:
Dạng khai triển: (Với )
- Tõm: 
- Bỏn kớnh: 
2. Một mặt phẳng (P) cắt mặt cầu bởi thiết diện là một đường trũn C tõm I’, bỏn kớnh r: C(I’,r)
- d là khoảng cỏch từ tõm I của mặt cầu đến mặt phẳng P: 
- Tõm I’ là giao điểm của đường thẳng (d) (qua tõm I của mặt cầu và vuụng gúc với mặt phẳng (P)) và mặt phẳng (P).
- Bỏn kớnh: 
* Nếu (P) đi qua tõm I của mặt cầu thỡ: II’ và R=r.
3. Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xỳc với mặt cầu S(I, R): 
B. Bài tập: Phương trỡnh mặt cầu
1. Tỡm tõm và bỏn kớnh của cỏc mặt cầu sau:
a) 	b) 
b) 	c) 
e) 	f) 
g) 	h) 
i) 	j) 
2. Viết phương trỡnh của mặt cầu đường kớnh AB với A, B cú toạ độ:
a); .	b) ; .
3. Cho hai mặt cầu: và .
Chứng minh rằng (S1) và (S2) cắt nhau theo một đường trũn. Xỏc định tõm và bỏn kớnh của nú.
4. Cho bốn điểm ; ; ; 
a) Chứng minh rằng ABCD là tứ diện cú ba mặt vuụng tại A.
b) Tỡm phương trỡnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
5. Tỡm phương trỡnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCO với ; ; ; .
6. Cho ; ; ; ; .
a) Chứng minh rằng ABCD là hỡnh vuụng và SA là đường cao của hỡnh chúp S.ABCD.
b) Tỡm phương trỡnh mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.
7. Cho hai mặt cầu và . Tỡm phương trỡnh mặt cầu (S) cú tõm nằm trờn đường nối tõm của 2 mặt cầu trờn, tiếp xỳc với hai mặt cầu trờn và cú bỏn kớnh lớn nhất.
Mặt cầu đi qua cỏc điểm
8. Viết phương trỡnh mặt cầu nếu biết:
a) Tõm I(1; -3; 5), bỏn kớnh .
b) Tõm I(5; -3; 7). bỏn kớnh R = 2.
c) Tõm I(3; -2; 1) và qua điểm A(2; 1; -3).
d) Tõm I(4; -4; -2) và đi qua gốc toạ độ.
e) Tõm I(4; -1; 2) và qua điểm A(1; -2; -4)
f) Hai đầu đường kớnh là A(4; -3; -3) và B(2; 1; 5).
g) Hai đầu đường kớnh là A(2; -3; 5) và B(4; 1; -3).
h) Nhận AB làm đường kớnh với A(6; 2; -5) và B(-4; 0; 7).
i) Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2).
j) Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0).
k) Qua ba điểm: A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và cú tõm nằm trờn mặt phẳng (Oyz).
9. Cho cỏc điểm: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đú a, b, c là cỏc hằng số dương.
a) Chứng minh tam giỏc ABC là tam giỏc nhọn.
b) Viết phương trỡnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
5x - 4y + 3z + 20 = 0
3x - 4y + z - 8 = 0
c) Tỡm toạ độ O’ đối xứng với O qua mặt phẳng (ABC).
10. Lập phương trỡnh mặt cầu tõm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng ( d): 
tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.
11. Cho cỏc điểm: A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4).
a) Viết phương trỡnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Xỏc định tõm I và bỏn kớnh R của mặt cầu đú.
b) Viết phương trỡnh mặt phẳng (ABC). Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng qua I và vuụng gúc với mặt phẳng (ABC).
Vị trớ tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
12. Xột vị trớ tương đối của mặt cầu và mặt phẳng sau:
a) , x + 2y + z -1 = 0.
b) , x + 2y + 2z = 0.
c) , x + y -z - 10 = 0.
d) , z - 3 = 0.
e) , y - 1 = 0.
f) , x- 5 = 0.
g) , x + 2y - z - 8 = 0.
h) , x - 2y - z + 5 = 0.
i) , x - 2y - 3 = 0.
j) , x - 2 = 0.
k) , 2x - 4y - 2z + 5 = 0.
l) , 2x + y - z + m = 0.
m) , x + y - z - 4 = 0. 
13. Cho điểm D(-3; 1; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8).
a) Viết phương trỡnh đường thẳng AC.
b) Viết phương trỡnh mặt phẳng (P).
c) Viết phương trỡnh mặt cầu tõm D bỏn kớnh R = 5. Chứng minh rằng mặt cầu này cắt AC.
d) Xột vị trớ tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu tõm D bỏn kớnh R khi R thay đổi.
Mặt cầu tiếp xỳc với mặt phẳng
14. Viết phương trỡnh mặt cầu:
a) Tõm I(3; -5; -2) và tiếp xỳc với mặt phẳng 2x - y -3z + 1 = 0.
b) Tõm I(1; 4; 7) và tiếp xỳc với mặt phẳng 6x +6y -7z +42 = 0.
c) Tõm I(1; 1; 2) và tiếp xỳc với mp(P): x + 2y + 2z + 3 = 0.
d) Tõm I(-2; 1; 1) và tiếp xỳc với mặt phẳng: x + 2y - 2z + 5 = 0.
e) Bỏn kớnh R = 3 và tiếp xỳc với mặt phẳng x + 2y + 2z + 3 = 0 tại điểm M(1; 1; -3).
f) Tiếp xỳc với cỏc mp: 6x -3y -2z -35 = 0, 6x -3y -2z+63 = 0 và với 1 trong 2 mp ấy 
tại M(5; -1; -1).
2x + 4y -z - 7 = 0
4x +5y +z - 8 = 0
g) Tõm I nằm trờn (d): và tiếp xỳc với 2 mp (P): x+2y-2z-2=0, 
(Q): x +2y-2z+4= 0.
h) Tõm I nằm trờn (d): y = x - 4, z = 2x - 6 và tiếp xỳc với 2 mặt phẳng Oxy và Oyz.
15. Cho 4 điểm: A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2).
a) Viết phương trỡnh mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Viết phương trỡnh mặt cầu tõm A tiếp xỳc với mặt phẳng (BCD). Tỡm toạ độ tiếp điểm.
16. Cho 4 điểm A(-2; 0; 1), B(0; 10; 3), C(2; 0; -1) và D(5; 3; -1).
a) Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C.
b) Viết phương trỡnh đường thẳng qua D và vuụng gúc với mp(P).
c) Viết phương trỡnh mặt cầu tõm D và tiếp xỳc với mp(P). 
17. Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + 6z - 18 = 0 cắt Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C. Viết phương trỡnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. 
Mặt phẳng tiếp xỳc với mặt cầu (tiếp diện)
18. Viết phương trỡnh mặt phẳng:
a) Tiếp xỳc với mặt cầu: tại điểm M(-1; 3; 0).
b) Tiếp xỳc với mặt cầu: tại M(4; 3; 0).
c) Tiếp xỳc với mặt cầu: tại M(7; -1; 5).
d) Tiếp xỳc với mặt cầu: và song song với mp: Ax+By+Cz+D=0.
e) Tiếp xỳc với mặt cầu: và song song với mp: 3x-2y+6z+14=0.
f) Tiếp xỳc với mặt cầu: và song song với mp: 4x +3z -17 = 0.
g) Tiếp xỳc với mặt cầu: và song song với mp: x +2y +2z +5 = 0.
h) Chứa đường thẳng: x=4t+4, y=3t+1, z=t+1 và tiếp xỳc với mc: 
i) Tiếp xỳc với mặt cầu ngoại tiếp ABCD tại A với A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0).
j) Tiếp xỳc với mặt cầu: và song song với 2 đường thẳng:
; .
k) Chứa đường thẳng (d):	 và tx với mc: .
l) Tiếp xỳc với mặt cầu và vuụng gúc với đường thẳng (d):
19. Với giỏ trị nào của a thỡ mặt phẳng x +y +z +a = 0 tiếp xỳc với mặt cầu. Xỏc định tiếp điểm.
20. Cho mặt cầu (S): và đường thẳng (d): x = 1, y = 2 -5t, z = -4 +5t.
a) Tỡm giao điểm A, B của đường thẳng và mặt cầu. Tớnh khoảng cỏch từ tõm (S) đến (d).
b) Lập phương trỡnh mặt phẳng tiếp xỳc với mặt cầu tại A, B.
21. Cho mặt cầu (S): . Viết phương trỡnh tiếp diện của (S):
2x - y - 1 = 0
z - 1 = 0
a) Đi qua T(1; 1; 1).
b) Đi qua đường thẳng: 
c) Đi qua đường thẳng: .
d) Vuụng gúc với đường thẳng: .
Vị trớ tương đối của đường thẳng và mặt cầu
22.Cho mặt cầu (S): . Xột vị trớ tương đối của (S) với (d):
a) (d): (x = 1 - 2t; y = 2 + t; z = t + 3).	b) (d): (x = 1 - t; y = 2 - t; z = 4).
x - 2y - z - 1 = 0
x + y + 2 = 0
c) (d): .
23. Tỡm vị trớ tương đối của đường thẳng (d) với mỗi mặt cầu (S) sau:
a) (S): 	b) (S): 
x - 2y - z + m = 0
x + y + 2 = 0
c) (S): 
24. Tuỳ theo m, xột vị trớ tương đối của (d): 	với mặt cầu (S): 
25. Tỡm vị trớ tương đối của mặt cầu và đường thẳng sau:
2x + y - z - 1 = 0
x - 2z - 3 = 0
a) , .
b) , 
c) , (x = -2 - t; y = t; z = 3 - t).
x - 2y - 3 = 0
2x + z - 1 = 0
d) , (x = 1 - t; y = m + t; z = 2 + t).
e) , 
Đường thẳng tiếp xỳc với mặt cầu (tiếp tuyến)
26. Cho mặt cầu (S), tõm I(2; 1; 3), bỏn kớnh R = 3.
a) Chứng minh rằng T(0, 0, 5) nằm trờn mặt cầu (S).
b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (S) tại T, biết rằng tiếp tuyến đú:
- cú vectơ chỉ phương là: 
x - 2y + 3z - 2 = 0
x + y - z = 0
- vuụng gúc với mặt phẳng: 
- Song song với đường thẳng (d’): 
27) Cho mặt cầu (S): . Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (S):
a) Cú vectơ chỉ phương và đi qua A(-4; 3; m).
b) Đi qua A(-2; 1; 3) và B(-4; -2; n).
28. Viết phương trỡnh mặt cầu tõm I(1; 2; -1) tiếp xỳc với đường thẳng:
x - 2y - 1=0
z - 1 = 0
a) x = 1 - t; y = 2; z = 2t.
b) 
Vị trớ tương đối của hai mặt cầu
29. Xột vị trớ tương đối của hai mặt cầu (S1) và (S2) sau:
a) , 
b) , 
c) , 
d) , 
e) , 
f) , 
Đường trũn trong khụng gian
Phương trỡnh: hoặc 
Điều kiện: (Aa + Bb + Cc)2 < R2(A2 + B2 + C2) hay (R- R’)2 <(a- a’)2 + (b- b’)2 + (c- c’)2< (R+ R’)2
30. Tỡm tõm và bỏn kớnh cỏc đường trũn sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
g) 	h) 
31. Cho ba điểm A(2; 4; 1), B(-1; 4; 0), C(0; 0; -3).
a)Định tõm và tớnh bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. Từ đú viết phương trỡnh đường trũn.
b)Cho (d): x = 2 - 5t, y = 4 + 2t, z = 1. Chứng minh (d) cắt đường trũn đó cho tại 2 điểm. Tỡm toạ độ.
32.Cho đường trũn (C) cú phương trỡnh:
 . Viết phương trỡnh mặt cầu chứa (C) và đi qua gốc O.
33. Cho đường trũn (C) và đường thẳng (d) cú phương trỡnh là:
(d): 	(C): 
Tỡm phương trỡnh đường thẳng (d) tựa trờn (C), cắt (d) và vuụng gúc với (d).
34.Cho đường trũn (C) xỏc định bởi:
 (C): 
a) Tỡm toạ độ tõm và tớnh bỏn kớnh đường trũn (C).
b) Lập phương trỡnh mặt cầu chứa đường trũn (C) và cú tõm thuộc mặt phẳng x + y + z + 3 = 0.
Phần 3: Phương trỡnh mặt phẳng
I. Phương trỡnh mặt phẳng
A. Kiến thức cần nhớ
a) Phương trỡnh tổng quỏt: Ax + By + Cz + D = 0 với , là vtpt của mp.
b) Phương trỡnh mặt phẳng đi qua và cú vectơ phỏp tuyến cú dạng:
c) Phương trỡnh mp theo đoạn chắn, đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) cú dạng: 
d) Mặt phẳng đi qua và cú cặp vectơ chỉ phương và thỡ cú vectơ phỏp tuyến và phương trỡnh: 
e) Phương trỡnh phỏp dạng của mặt phẳng: với 
B. Bài tập
1. Mặt phẳng (P) cú phương trỡnh 3x - 5y+ z - 15 = 0
a) Tỡm một vectơ phỏp của mặt phẳng đú.
b) Tỡm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với cỏc trục toạ độ. 
2. Mặt phẳng (P) cú phương trỡnh 2x - 3y + 5z - 1 = 0.
a) Tỡm toạ độ một vetcơ phỏp của mặt phẳng đú.
b) Tỡm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với cỏc trục toạ độ Ox, Oy, Oz.
3. Viết phương trỡnh mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) và phương trỡnh mặt phẳng đi qua M(2; -1; 3) và lần lượt song song với cỏc mặt phẳng toạ độ đú.
4. Viết phương trỡnh mặt phẳng:
a) Đi qua điểm M(3; 2; -5) và cú vectơ phỏp tuyến .
b) Đi qua M(1; -3; 7) và cú vectơ phỏp .
c) Đi qua và song song với cỏc mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
d) Đi qua M(1; 3; -2) và vuụng gúc với trục Oy.
e) Đi qua điểm M(1; 3; -2) và vuụng gúc với đường thẳng M1M2 với M1(0; 2; -3) và M2(1; -4; 1).
f) Đi qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0.
g) Qua P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vuụng gúc với mặt phẳng 2x - y + 3z - 1= 0.
h) Qua cỏc hỡnh chiếu của A(2; 3; 4) lờn cỏc trục toạ độ.
i) Qua M(2; -1; 2) song song với Oy và vuụng gúc với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0.
j) Qua P(2; -1; 3), Q(3; 1; 2) và song song với vectơ .
k) Qua A(3; 4; -5) và song song với 2 vectơ và .
l) Qua P(8; -3; 1), Q(4; 7; 2) và vuụng gúc với mặt phẳng 3x + 5y - 7z - 21 = 0.
m) Qua I(3; -1; 5) và vuụng gúc với MN, trong đú M(4; 2; -1), N(1 ; -2, 3).
n) Qua K(-1; -2; 5) đồng thời vuụng gúc với 2 mp (P1):x + 2y - 3z + 1 = 0 và (P2):2x - 3y + z + 1 = 0.
o) Qua A(-1; 1; 2) và vuụng gúc với BC, trong đú B(3; -1; 0), C(2; 1; 1).
p) Qua M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng x - 3y + 2z + 13 = 0.
q) Qua M(1; 0; -2) và vuụng gúc với 2mp (P1): 2x + y - z - 2 = 0 và (P2): x - y - z - 3 = 0.
r) Qua A(2; 1; 1), B(3; 2; 2) và vuụng gúc với mặt phẳng x + 2y - 5z - 3 = 0.
s) Qua A( 1; 0; 2), song song với và vuụng gúc với mặt phẳng 2x - y - 5z = 0.
t) Qua M(2; -1; 4) và cắt cỏc trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao cho OR = 2OP = 2OQ.
u) Qua cỏc hỡnh chiếu vuụng gúc của M(2; 3; -5) lờn cỏc mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
v) Qua AB và song song với CD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
w) Qua A(2; 0; 0), B(1; 2; 0), C(2; 1; -2).
x) Qua A(1; 2; 1), B(0; 1; 2) và vuụng gúc với mặt phẳng x - 2y + z + 3 = 0.
y) Chứa Oz và qua R(2;