Giáo trình xác suất thống kê

xe SYM, hoÆc mét c¸ch chän xe Suzuki, hoÆc mét c¸ch chän xe Yamaha. VËy Dòng cã 1+1+1+1 = 4 c¸ch ®Ó chän xe.
Quy t¾c nh©n:
-Gi¶ sö ®Ó hoµn thµnh mét c«ng viÖc th× ta chia thµnh nhiÒu c«ng ®o¹n, trong mçi c«ng ®o¹n Êy ta l¹i cã sè c¸ch ë mçi mét c«ng ®o¹n riªng. Nªn c«ng viÖc cña ta sÏ cã sè c¸ch b»ng tÝch sè c¸ch võa t×m ®­îc ë mçi c«ng ®o¹n.
VD: TÝnh sè c¸ch ®i tõ nhµ Minh ®Ñp trai ®Õn tr­êng V©n Néi biÕt tõ nhµ Minh ®Ñp trai ®Õn Cæ §iÓn cã 2 con ®­êng, råi tõ Cæ §iÓn tíi V©n Néi cã 5 con ®­êng. BiÕt Minh ®Ñp trai ph¶i ®i qua Cæ §iÓn míi tíi ®­îc V©n Néi.
Tr¶ lêi: Ta thÊy c«ng viÖc cña Minh xÊu sè bÞ chia thµnh 2 c«ng ®o¹n: Tõ nhµ tíi Cæ §iÓn, råi tõ Cæ §iÓn tíi V©n Néi. Ta cã c«ng ®o¹n tõ nhµ Minh xÊu sè tíi Cæ §iÓn cã 2 c¸ch ®Ó ®i( v× chØ cã hai con ®­êng), C«ng ®o¹n tõ Cæ §iÓn tíi V©n Néi cã 5 c¸ch ®Ó ®i( v× cã 5 con ®­êng). VËy tõ nhµ Minh xÊu sè tíi tr­êng cã : 2. 5= 10 c¸ch ®Ó ®i.
Ho¸n vÞ:
Cho mét tËp hîp M gåm n phÇn tö. Mçi c¸ch s¾p xÕp cña n phÇn tö cña tËp hîp M theo mét c¸ch thø tù nhÊt ®Þnh ®­îc gäi lµ mét ho¸n vÞ cña n phÇn tö ®· cho.
Ký hiÖu: Pn= n! (n!=1.2.3.n)
VD: Bµi 1a SGK( ban c¬ b¶n): Tõ c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6, lËp sè tù nhiªn gåm 6 ch÷ sè kh¸c nhau. Hái cã tÊt c¶ bao nhiªu sè?
Gi¶i: P6= 6! Sè
VD: Bµi 2 SGK( ban c¬ b¶n): Cã bao nhiªu c¸ch x¾p xÕp chç ngåi cho m­êi ng­êi kh¸ch vµo m­êi ghÕ kª thµnh mét d·y?
Gi¶i: P10= 10! C¸ch
VD: Bµi 5 SGK (ban tù nhiªn): cã bao nhiªu kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra ®èi víi thø tù gi÷a c¸c ®éi trong mét gi¶i bãng ®¸ cã 5 ®éi bãng( Gi¶ sö kh«ng cã hai ®éi nµo cã ®iÓm trïng nhau).
Gi¶i: V× kh«ng cã hai ®éi nµo cã ®iÓm trïng nhau nªn mçi kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra ®èi víi thø tù gi÷a c¸c ®éi lµ: P5= 5!
ChØnh hîp:
 ChØnh hîp kh«ng lÆp: Cho tËp M cã n phÇn tö, k lµ mét sè nguyªn d­¬ng 1≤k≤n. Mçi c¸ch s¾p xÕp k phÇn tö cña tËp hîp M theo mét thø tù nhÊt ®Þnh ®­îc gäi lµ mét chØnh hîp kh«ng lÆp chËp k cña n phÇn tö ®· cho.
Ký hiÖu: Akn
C«ng thøc: Akn=n!n-k!k!
VD: Cho tËp hîp A={1,2,3,4,5,6,7,8}. Hái cã bao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau ®­îc lËp tõ c¸c ch÷ sè trªn?
Gضi: Cã thÓ lËp ®­îc : Mét sè gåm 4 ch÷ sè ®­îc lËp tõ 8 ch÷ sè trªn t­¬ng øng víi chØnh hîp kh«ng lÆp chËp 4 cña 8 ch÷ sè ®¨ cho. VËy sè c¸c sè kh¸c nhau ®­îc thiÕt lËp tõ c¸c ch÷ sè trªn lµ: A48 sè cã ba ch÷ sè.
VD: Cã mÊy c¸ch chän 3 cuèn s¸ch tõ tËp hîp gåm 7 cuèn s¸ch vµ xÕp lªn gi¸ s¸ch cã 3 chç.
Gi¶i: Mçi c¸ch x¾p xÕp 3 cuèn s¸ch trong 7 cuèn s¸ch lµ mét chØnh hîp chËp 3 cña 7 phÇn tö ®· cho. VËy sè c¸ch x¾p xÕp kh¸c nhau 3 cuèn s¸ch trong 7 cuèn lªn gi¸ s¸ch cã 3 chç trèng lµ: A37=7!7-3!=210.
VD: ( bµi 3SGK c¬ b¶n): Cã 7 b«ng hoa mµu kh¸c nhau vµ 3 c¸i lä kh¸c nhau. Hái cã bao nhiªu c¸ch c¾m 3 b«ng hoa vµo 3 c¸i lä ®· cho (mçi lä c¾m 1 b«ng) ?
Gi¶i: Do 7 b«ng hoa cã mµu kh¸c nhau vµ 3 lä hoa kh¸c nhau nªn mçi lÇn chän ra 3 b«ng hoa ®Ó c¾m vµo 3 lä th× ta cã sè c¸ch c¾m hoa lµ chØnh hîp
 A73=7!7-3!=210.
ChØnh hîp lÆp: Cho tËp M gån n phÇn tö. Gäi chØnh hîp lÆp chËp k cñ n phÇn tö cña tËp M lµ mét tËp hîp cã thø tù gåm k phÇn tö lÊy tõ tËp M, mµ mçi phÇn tö cña nã cã thÓ cã mÆt tíi k lÇn.
VD: M={1;2} h·y lËp c¸c chØnh hîp lÆp chËp 3 cña phÇn tö ®· cho?
Gi¶i: 1;1;1,1;1;2,1;2;2,1;2;1,2;1;1,2;1;2,2;2;1,2;2;2
NghÜa lµ cã 23=8 chØnh hîp lÆp chËp 3 kh¸c nhau cña 2 phÇn tö ®· cho.
Sè c¸c chØnh hîp lÆp chËp k kh¸c nhau cña n phÇn tö ®· cho b»ng nk.
VD: Cã bao nhiªu c¸ch ph©n ngÉu nghiªn 15 tÆng phÈm cho 3 ng­êi?
Gi¶i: Mçi c¸ch ph©n 15 tÆng phÈm cho 3 ng­êi lµ mét chØnh hîp chËp 15 cña 3. VËy sè c¸ch ph¸t ngÉu nghiªn 15 tÆng phÈm cho 3 ng­êi lµ 315.
VD: (bµi 9 SGK n©ng cao): Mét bµi thi tr¾c nghiÖm kh¸ch quan gåm 10 c©u. Mçi c©u cã 4 ph­¬ng ¸n tr¶ lêi. Hái bµi thi ®ã cã bao nhiªu ph­¬ng ¸n tr¶ lêi?
Gi¶i: V× mçi c©u cña chóng ta cã 4 ph­¬ng ¸n tr¶ lêi nªn víi 10 c©u hái kia th× sÏ cã 410 sè ph­¬ng ¸n tr¶ lêi.
Tæ hîp:
Cho tËp M gåm n phÇn tö. Mét tËp con( Kh«ng kÓ thø tù) gåm k phÇn tö (k≤n) cña tËp M ®­îc gäi lµ mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö ®· cho.
Hai tæ hîp chËp k cña n phÇn tö ®· cho ®­îc gäi lµ kh¸c nhau nÕu chóng cã Ýt nhÊt 1 phÇn tö kh¸c nhau.
Ký hiÖu lµ Ckn lµ sè tæ hîp chËp k kh¸c nhau cña n phÇn tö ®· cho.
 Ckn=n!k!n-k!
VD: Cã bao nhiªu c¸ch ph©n c«ng 5 ng­êi ®i lao ®éng cña líp cã 50 häc sinh.
Gi¶i: Mçi c¸ch chän nhÉu nhiªn 5 ng­êi trong 50 ng­êi lµ mét tæ hîp chËp 5 cña 50.
VËy sè c¸ch ph©n c«ng kh¸c nhau5 ng­êi trong 50 ng­êi ®i lao ®éng lµ:
 C550=50!5!50-5!=2118760
VD: (bµi 6 SGK c¬ b¶n): Trong mÆt ph¼ng cho 6 ®iÓm ph©n biÖt sao cho kh«ng cã 3 ®iÓm nµo th¼ng hµng. Hái cã bao nhiªu tam gi¸c ®­îc lËp tõ tËp hîp ®iÓm ®· cho?
Gi¶i: C¸c tam gi¸c b»ng sè c¸c tæ hîp chËp 3 cña 6 ®iÓm. Tõ ®ã, ta cã sè tam gi¸c b»ng C36=20.
VD: (bµi 7 SGK c¬ b¶n): Trong mÆt ph¼ng cã bao nhiªu h×nh ch÷ nhËt ®­îc t¹o thµnh tõ 4 ®­êng th¼ng song song víi nhau vµ 5 ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi 4 ®­êng th¼ng song song ®ã?
Gi¶i: H×nh ch÷ nhËt cña ta muèn dùng ®­îc ph¶i cÇn cã chiÒu réng vµ chiÒu dµi. Ta sÏ ®i t×m chiÒu réng vµ chiÒu dµi tõ 4 ®­êng th¼ng song song vµ 5 ®­êng th¼ng vu«ng gãc.
+Chän 2 trong 4 ®­êng th¼ng song song, ta they c¸c ®­êng th¼ng trªn ®Òu cè ®Þnh nªn mçi lÇn chän ta sÏ cã tæ hîp chËp 2 cña 4 ®­êng th¼ng. VËy cã C24c¸ch.
+Chän 2 trong 5 ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi 4 ®­êng th¼ng ®· cho. T­¬ng tù ta cã C25 c¸ch.
+VËy ta cã sè c¸ch ®Ó cã h×nh ch÷ nhËt lµ: C25 . C24=60 (H×nh ch÷ nhËt).
C¸ch ph©n biÖt d¹ng bµi:
Häc sinh cã rÊt nhiÒu b¹n , hä kh«ng biÕt khi nµo dïng C vµ khi nµo dïng A hoÆc chØnh hîp lÆp. T¹i v× c¸c b¹n Êy kh«ng hiÓu §Þnh NghÜa, kh«ng n¾m ch¾c ®Þnh nghÜa sÏ lµm cho chóng ta thªm lóng tóng.
Sau ®©y thÇy gi¸o sÏ cung cÊp c¸c d¹ng bµi, gióp c¸c em n¾m b¾t ®­îc khi nµo dïng A, khi nµo dïng C, vµ khi nµo dïng chØnh hîp lÆp,.:
VD: (bµi 5 SGK c¬ b¶n): Cã bao nhiªu c¸ch c¾m 3 b«ng hoa vµo 5 c¸i lä kh¸c nhau (mçi lä c¾m kh«ng qu¸ mét b«ng) nÕu:
C¸c b«ng hoa kh¸c nhau?
C¸c b«ng hoa nh­ nhau?
Gi¶i: 
a.Gäi tªn 3 b«ng hoa ®ã lµ A,B,C. Chän 3 trong 5 lä hoa ®Ó c¾m th× mçi c¸ch c¾m lµ : A35=60 c¸ch.
b.V× c¸c b«ng hoa lµ nh­ nhau nªn mçi c¸ch c¾m lµ mét tæ hîp chËp 3 cña 5 lä. VËy sè c¸ch c¾m lµ: C35=10 c¸ch.
VD: (bµi 8 SGK n©ng cao): Trong mét ban chÊp hµnh gåm 7 ng­êi, cÇn chän 3 ng­êi vµo ban th­êng vô.
NÕu kh«ng cã sù ph©n biÖt vÒ chøc vô cña 3 ng­êi trong ban thi cã bao nhiªu c¸ch chän?
NÕu cÇn chän 3 ng­êi vµo ban th­êng vô víi c¸c chøc vô: BÝ th­, Phã BÝ th­, Uû viªn th­êng vô th× cã bao nhiªu c¸ch chän?
Gi¶i:
V× kh«ng cã sù ph©n biÖt vÒ choc vô th× sè c¸ch chän lµ: C37=35.
V× cã sù ph©n biÖt vÒ chøc vô th× sè c¸ch chän lµ: A37=210.
VD: (bµi 13 SGK n©ng cao): Mét cuéc thi cã 5 ng­êi tham dù, gi¶ thiÕt r»ng kh«ng cã hai ng­êi nµo b»ng ®iÓm nhau.
NÕu kÕt qu¶ cña cuéc thi lµ viÖc chän ra 4 ng­êi ®iÓm cao nhÊt th× cã bao nhiªu kÕt qu¶ cã thÓ?
NÕu kÕt qu¶ cña cuéc thi lµ viÖc chän ra c¸c gi¶i nhÊt, nh×, ba th× cã thÓ cã bao nhiªu kÕt qu¶ cã thÓ?
Gi¶i: 
Mçi c¸ch chän 4 ng­êi cã ®iÓm cao nhÊt lµ mét tæ hîp chËp 4 cña 15 phÇn tö. Nªn cã sè c¸ch lµ : C415=1365.
Tr­êng hîp nµy mçi c¸ch chän 3 ng­êi lµ mét chØnh hîp chËp 3 cña 15 phÇn tö. Nªn cã sè c¸ch chän lµ : A315=2730.
VD: Cã bao nhiªu c¸ch ph©n ngÉu nhiªn 15 hµnh kh¸ch lªn 3 toa tµu mµ toa thø nhÊt cã ®óng 3 hµnh kh¸ch?
Gi¶i: Ta thÊy cã C315 c¸ch lÊy 3 hµnh kh¸ch trong 15 hµnh kh¸ch cho vµo toa thø nhÊt. Sè c¸ch ph©n 12 hµnh kh¸ch cßn l¹i lªn 2 toa thø hai vµ thø ba b»ng sè chØnh hîp lÆp chËp 12 cña 2, nghÜa lµ b»ng 212. VËy sè c¸ch ph©n ngÉu nhiªn 15 hµnh kh¸ch lªn 3 toa tµu mµ toa thø nhÊt cã 3 hµnh kh¸ch lµ: C315 . 212=1863680.
Bµi tËp tù luyÖn:
 a. Cã mÊy c¸ch ph©n phèi ngÉu nhiªn 20 tÆng phÈm cho 4 ng­êi.
Cã mÊy c¸ch ph©n phèi ngÉu nhiªn 20 tÆng phÈm cho 4 ng­êi sao cho ng­êi thø nhÊt cã ®óng 3 tÆng phÈm.
Cã mÊy c¸ch ph©n phèi ngÉu nhiªn 20 tÆng phÈm cho 4 ng­êi sao cho mçi ng­êi cã 5 tÆng phÈm.
Trªn mÆt ph¼ng cã 20 ®iÓm ( kh«ng cã 3 ®iÓm nµo cïng n»m trªn mét ®­êng th¼ng). Qua mçi cÆp ®iÓm ta vÏ ®­îc mét ®­êng th¼ng. Hái cã bao nhiªu ®­êng th¼ng nh­ vËy?
Mét häc sinh ph¶i thi 4 m«n trong 10 ngµy( mçi ngµy thi mét m«n). Cã mÊy c¸ch lËp ch­¬ng tr×nh thi?
Cã bao nhiªu sè kh¸c nhau gåm 5 ch÷ sè (ch÷ sè ®Çu tiªn kh¸c kh«ng) ®­îc lËp tõ c¸c ch÷ sè tõ 0 tíi 9?
Cã mÊy c¸ch lËp mét héi ®ång gåm 3 ng­êi lÊy trong 4 cÆp vî chång nÕu:
Trong héi ®ång cã thÓ tham giamçi mét trong 8 ng­êi trªn?
Trong héi ®ång ph¶i cã 2 n÷, mét nam?
C¸c sè 1,2,...,n lËp thµnh mét hµng ngang. Hái cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp sao cho:
Hai ch÷ sè 1 vµ 2 ®øng c¹nh nhau?
Ba ch÷ sè 1,2 vµ 3 ®øng c¹nh nhau?
Trong hép cã 100 s¶n phÈm gåm 90 s¶n phÈm tèt vµ 10 phÕ phÈm. Hái :
Cã bao nhiªu c¸ch lÊy 10 s¶n phÈm tõ hép gåm 100 s¶n phÈm?
Cã bao nhiªu c¸ch lÊy tõ 100 s¶n phÈm ra 10 s¶n phÈm trong ®ã cã 8 s¶n phÈm tèt vµ 2 phÕ phÈm?
Trªn mét vßng trßn cã 12 ®iÓm. Cã mÊy c¸ch vÏ d©y cung cã c¸c nót lµ c¸c ®iÓm ®· cho. Cã mÊy tam gi¸c nhËn c¸c ®iÓm lµ c¸c ®Ønh?
Ph©n ngÉu nhiªn 12 hµnh kh¸ch lªn 3 toa tµu:
Cã mÊy c¸ch ph©n ngÉu nhiªn 12 hµnh kh¸ch lªn 3 toa tµu?
Cã mÊy c¸ch ph©n ngÉu nhiªn 12 hµnh kh¸ch lªn 3 toa tµu mµ toa thø nhÊt cã ®óng 4 hµnh kh¸ch?
Cã mÊy c¸ch ph©n ngÉu nhiªn 12 hµnh kh¸ch lªn 3 toa tµu mµ mçi toa cã 4 hµnh kh¸ch?
Mét l« hµng cã 12 s¶n phÈm trong ®ã cã 8 s¶n phÈm tèt vµ 4 phÕ phÈm:
Cã mÊy c¸ch lÊy ngÉu nhiªn 4 s¶n phÈm trong 12 s¶n phÈm ®ã?
Cã mÊy c¸ch lÊy ngÉu nhiªn 4 s¶n phÈm trong 12 s¶n phÈm, trong ®ã cã 3 s¶n phÈm tèt vµ mét phÕ phÈm?
SGK1:Tõ c¸c sè1,2,3,4cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn gåm hai ch÷ sè kh¸c nhau?
sè cÇn t×m cã d¹ng ab trong ®ã a thuéc{1,2,3,4},b thuéc{1,2,3,4}\{a}.Tøc lµ:a cã4 c¸ch chän,b chØ cã 3c¸ch chän.vËy nh÷ng sè cÇn t×m cã:4.3=12 sè.
Bµi tËp luyÖn n©ng cao b¶n th©n
Bµi tËp 1:Cã 3 kiÓu mÆt ®ång hå ®eo tay:vu«ng,trßn,elip vµ 4kiÓu d©y:v¶i,nhùa,da,kim lo¹i.Hái cã bao nhiªu c¸ch chän mét chiÕc ®ång hå gåm 1 mÆt vµ 1 d©y.
Bµi tËp 2:Tõ A®Õn B cã4con ®­êng,tõ B ®Õn C cã2con ®­êng,tõ C ®Õn D cã3 con ®­êng ®Ó ®i.Hái:
a.Cã bao nhiªu c¸ch ®i tõ A ®Õn D qua B vµ C chØ mét lÇn.
b.Cã bao nhiªu c¸ch ®i tõ A ®Õn D råi tõ D quay l¹i A.
Bµi tËp3:Tõ c¸c sè:1;2;3;4 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn gåm:
a.Mét ch÷ sè? b.Hai ch÷ sè? c.Hai ch÷ sè kh¸c nhau?
Bµi tËp 4:Tõ c¸c sè: 1;2;3;4;5;6 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn bÐ h¬n100.
Bµi tËp5:Cho D={1;2;3;4;5}.Cã bao nhiªu sè tù nhiªn gåm:
a.Ba ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau?
b.Bèn ch÷ sè ®«i mé kh¸c nhau?
c.N¨m ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau?
Bµi tËp6:Cho D={0;1;2;3;4;5;6},hái cã bao nhiªu sè gåm:
a.n¨m ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau?
b.bèn ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau?
c.ba ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau?
Bµi tËp7:Tõ 5 ch÷ sè:0;1;3;5;7;9 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè gåm4 ch÷ sè kh¸c nhau mµ:
a.chia hÕt cho 5? b.kh«ng chia hÕt cho 5? 
c. sè ®ã nhá h¬n 7351? d.sè ®ã nhá h¬n 6842?
 Bµi tËp8:Tõ c¸c sè:1;2;3;4;5;6 lËp c¸c sè tù nhiªn gåm s¸u ch÷ sè kh¸c nhau: 
a.cã tÊt c¶ bao nhiªu sè? b.cã bao nhiªu sè ch½n,bao nhiªu sè lÎ?
c.cã bao nhiªu sè bÐ h¬n 432000?
Bµi tËp9:cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp chç ngåi cho m­êi ng­êi kh¸ch vµo 10 hµng ghÕ kª thµnh mét d·y?
Bµi tËp10:Cho D={0;1;2;3;4;5}.LËp ®­îc bao nhiªu sè cã 5 ch÷ sè:
a.®«i mét kh¸c nhau? b.®«i mét kh¸c nhau vµ chia hÕt cho 5?
*Bµi tËp11:cho D={0;1;2;3;4;5}.LËp ®­îc bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau vµ chia hÕt cho 3?
*Bµi tËp12:cho E={0;1;2;3;4;5;6;7}.Hái cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau vµ nhá h¬n 3425?
**Bµi tËp13:Cho D={0;1;2;3;4;5}.Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau vµ:
a.NhÊt thiÕt ph¶i cã mÆt ch÷ sè 0?
b.C¸c ch÷ sè 1;2 kh«ng ®­îc ë c¹nh nhau?
**Bµi tËp14:Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè mµ:
a.Ch÷ sè ®øng sau nhá h¬n ch÷ sè ®øng tr­íc?
b.Ch÷ sè ®øng sau lín h¬n ch÷ sè ®øng tr­íc?
 Bµi 15:c®sp Lai Ch©u2005-kB:Trong cuéc khai m¹c thi ®Êu bãng bµn,c¸c cÇu thñ dù thi ®Òu ph¶i b¾t tay nhau.Ng­êi ta ®Õm ®­îc cã45c¸i b¾t tay.Hái cã bao nhiªu cÇu thñ dù thi?
Bµi 16:C§KT-KT NghÖ An2006-KA:§éi tuyÓn häc sinh giái cña mét tr­êng gåm 9 em, trong ®ã cã 4 häc sinh khèi 12;3 häc sinh khèi 11;vµ 2 häc sinh khèi 10.Hái cã bao nhiªu c¸ch chän 5 häc sinh cña ®éi ®i dù thi tr¹i hÌ, sao cho mçi khèi cã 1 em ®­îc chän?
Bµi 17:C§SP Lµo Cai2006-kA:Tõ c¸c sè:1;2;3;4;5 lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 7 ch÷ sè sao cho mçi ch÷ sè1;2cã mÆt 2 lÇn,mçi ch÷ sè cßn l¹i cã mÆt mét lÇn?
Bµi 18AC§KT-KTCN12006-Ka:Tõ c¸c sè 0;1;2;3;4;5;6;7cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau?
Bµi 19:c®sp-VÜnh Phóc2006-Ka:Tõ c¸c sè3;4;5;6;7cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau?
Bµi20:c®tµi chÝnh2006-Ka:cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau sao cho kh«ng cã sè tù nhiªn nµo cã mÆt ch÷ sè1vµ9?
Bµi21:C§SPVÜnh Phóc: Tõ c¸c sè0;1;5;7;9cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 6 ch÷ sè,mµ c¸c ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau.
Bµi22:c®spCµ Mau:Cho c¸c sè0;1;2;3;4;5,cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau võa chia hÕt cho 5 võa lµ sè ch½n?
Bµi 23:Ng­êi ta ®Þnh lËp mét ®éi thanh niªn t×nh nguyÖn gåm7ng­êi,®­îc chän tõ3 nhãm sinh viªn:Nhãm sinh viªn to¸n cã10sinh viªn,nhãm sinh viªn v¨n cã 10 sinh viªn vµ nhãm sinh viªn nh¹c cã 10 sinh viªn.Hái:
Cã bao nhiªu c¸ch lËp ®éi thanh niªn t×nh nguyÖn sao cho mçi nhãm To¸n,V¨n vµ nh¹c cã Ýt h¬n2sinh viªn tham gia vµo ®éi?
Bµi24:c®sp Hµ Nam2005Km:Tõ c¸c sè0;1;2;3;4cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã3ch÷ sè kh¸c nhau?Bao nhiªu sè ch½n kh¸c nhau?
Bµi25:c®spHµ Nam20005kH:Cho c¸c sè0;1;2;3;4.cã thÓ thµnh lËp ®­îc bao nhiªu sè cã 7 ch÷ sè tõ c¸c ch÷ sè trªn?Trong ®ã ch÷ sè4 cã mÆt ®óng 3 lÇn,cßn c¸c ch÷ sè kh¸c cã mÆt ®óng mét lÇn.
Bµi26:C§SPHµ Nam2005Ka:Tõ c¸c ch÷ sè0;1;2;3;4;5lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 3ch÷ sè vµ cã tæng kh«ng v­ît qu¸12?
Bµi27:c® kt-kt 1:Tõ c¸c sè0;1;2;3;4;5;6;7cã thÓ lËp ®­îc bo nhiªu sè tù nhiªn ch½n cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau?
Bµi28:c®kt-cn-TPHCM2006:Cho A={1;2;3;4;5;6;7;8;9}.Hái cã bao nhiªu sè hµng tr¨m ®­îc thµnh lËp tõ3sè kh¸c nhau cña A chia hÕt cho2?
Bµi29:c® kü thuËt Cao Th¾ng2006:cã bao nhiªu sè tù nhiªn gåm3 ch÷ sè kh¸c nhau?Trong ®ã cã bao nhiªu sè lÎ?
Bµi30:c® tµi chÝnh h¶i quan2006:Cã bao nhiªu sè tù nhiªn gåm 5 ch÷ sè, ch÷ sè0cã mÆt ®óng 2 lÇn,ch÷ sè 1 cã mÆt ®óng1 lÇn,hai ch÷ sè cßn lai ph¶i ph©n biÖt?
Bµi31:c®spHNam dù bÞ2006:Cã4x¹ thñ lo¹i I vµ 16 x¹ thñ lo¹i II, x¸c xuÊt b¾n tróng ®Ých cña x¹ thñ I lµ 0,9, cña x¹ thñII lµ0,8.Chän ngÉu nghiªn mét x¹ thñ vµ x¹ thñ ®ã b¾n 1 viªn ®¹n.T×m x¸c xuÊt ®Ó viªn ®¹n tróng ®Ých?
Bµi32:c®spHNam2006:Tõ c¸c sè1;2;3;4;5cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 7 ch÷ sè,sao cho mçi ch÷ sè1vµ2cã mÆt 2 lÇn,mçi ch÷ sè cßn l¹i cã mÆt mét lÇn?
*Bµi33:c® b¸n c«ng hoa sen:Cho 2 ®­êng th¼ng d1 vµ d2 song song víi nhau.Trªn ®­êng th¼ng d1 cho10 ®iÓm ph©n biÖt,trªn ®­êng th¼ng d2 cho8 ®iÓm ph©n biÖt.Hái cã thÓ lËp bao nhiªu tam gi¸c mµ3 ®Ønh cña mçi tam gi¸c lÊy tõ18®iÓm ®· cho?
Bµi34:c®spH­ng Yªn2006Km:Tõ c¸c ch÷ sè0;3;4;5;6;7cã thÓ lËp bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm4 ch÷ sè kh¸c nhau?
Bµi35:c®spH­ng Yªn2006Ka:Mét tæ gåm6 nam vµ 3 n÷.CÇn chän trong tæ ®ã mét nhãm4ng­êi ®i lao ®éng.Hái cã bao nhiªu c¸ch chän sao cho:
a.Trong nhãm cã ®óng mét häc sinh n÷?
b.Trong nhãm ®ã kh«ng qu¸ 3 häc sinh n÷?
Bµi37:c® giao th«ngIII2006:Tõ mét nhãm gåm 15häc sinh khèi A,10häc sinh khèi Bvµ5 häc sinh khèiC.Chän ra15häc sinh sao cho Ýt nhÊt5häc sinh khèi Avµ ®óng 2 häc sinh khèi C.TÝnh sè c¸ch chän?
Bµi38:c® kinh tÕ ktII2006:Cho E={1;2;3;4;5;6;7}.Cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau?
**Bµi39§H.C§2004KB:Trong mét m«n häc, thÇy gi¸o cã 30 c©u hái kh¸c nhau gåm 5 c©u hái khã,10 c©u hái trung b×nh vµ 15 c©u hái dÔ.Tõ 30c©u hái ®ã cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu ®Ò kiÓm tra,mçi ®Ò gåm5 c©u hái kh¸c nhau,sao cho mçi ®Ò nhÊt thiÕt ph¶i cã 3 lo¹i c©u hái(khã,dÔ,trung b×nh)vµ sè c©u hái dÔ kh«ng Ýt h¬n2?
Bµi40:§H 2005 KA:Mét ®éi thanh niªn t×nh nguyÖn cã 15 ng­êi,gåm12 nam vµ3 n÷.Hái cã bao nhiªu c¸ch ph©n ®éi thanh niªn t×nh nguyÖn ®ã vÒ gióp ®ì3 tØnh miÒn nói,sao cho mçi tØnh cã 4 nam vµ1 n÷?
Bµi41:Cã bao nhiªu sè tù nhiªn gåm 3 ch÷ sè kh¸c nhau mµ c¶ 3 ch÷ sè ®ã ®Òu lÎ?
*Bµi42:B¸t gi¸c låi cã bao nhiªu ®­êng chÐo?
Bµ43:Tõ c¸c sè0;1;2;3;4;5;6cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn lÎ gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau?
Bµi 44:Mét líp mÉu gi¸o cã 15 em(9nam,6n÷).C« gi¸o muèn chän 5 em(3nam,2n÷)®Ó tham gia trß ch¬i.Hái cã bao nhiªu c¸ch chän nhãm?
Bµi45:Mét líp cã 7 häc sinh nam,4häc sinh n÷.C« gi¸o muèn chän 3 häc sinh xÕp bµn ghÕ cho líp trong ®ã cã Ýt nhÊt 1nam.Hái cã bao nhiªu c¸ch chän?
*Bµi 46:tõ c¸c ch÷ sè0;1;2;3;4;5cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè gåm4 ch÷ sè kh¸c nhau, trong ®ã nhÊt thiÕt ph¶i cã mÆt ch÷ sè 0?
*Bµi47:Cã bao nhiªu sè tù nhiªn gåm 5 ch÷ sè khac nhau chia hÕt cho 10?
*Bµi48:T­¬i ®­îc tÆng1 bã hoa vµo ngµy sinh nhËt.Cã 8 b«ng hång nhung vµ6b«ng hång b¹ch.T­¬i muèn chän 10 b«ng ®Ñp ®Ó c¾m b×nh,sao cho cã nhiÒu nhÊt 6 b«ng nhung vµ Ýt nhÊt 3 b«ng b¹ch?
***Bµi49:§a gi¸c ®Òu A1A2A3A2n(2≤n;n∈N) néi tiÕp ®­êng trßn t©m O.BiÕt sè tam gi¸c cã3®Ønh ∈{ A1,A2,,A2n} b»ng 20 lÇn sè h×nh ch÷ nhËt cã 4 ®Ønh€{A1,A2,,A2n}.T×m n?
***Bµi 50:Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè mµ:
a.ch÷ sè ®øng sau nhá h¬n ch÷ sè ®»ng tr­íc?
b.Ch÷ sè ®øng sau lín h¬n ch÷ sè ®øng tr­íc?
****Bµi51:B¹n Dòng cã11b¹n th©n ®Òu lµ n÷.Nh©n dÞp sinh nhËt Dòng ®Þnh mêi 5trong sè11ng­êi ®ã ®Õn gióp.Nh­ng trong 11ng­êi ®ã cã 2 ng­êi cïng yªu Dòng nªn kh«ng muèn gÆp mÆt nhau.Hái Dòng cã bao nhiªu c¸ch mêi ®Ó2 ng­êi ®ã kh«ng cïng ®Õn ?
Bµi52:Mét tr­êng tiÓu häc cã 50 ch¸u ngoan b¸c hå,trong ®ã cã 4 cÆp sinh ®«i.CÇn chän3ch¸u ®i dù §H ch¸u ngoan B¸c Hå.Hái cã bao nhiªu c¸ch chän mµ kh«ng cã cÆp sinh ®«i nµo?
Bµi 53:Cã10 nhµ to¸n häc:6n÷ ,4 nam vµ5 nhµ vËt lý nam.Cã bao nhiªu c¸ch lËp tæ c«ng t¸c3ng­êi cã c¶ nam,n÷ cã c¶ to¸n,lý?
Bµi54:Cã12s¶n phÈm :8lo¹i Avµ4 lo¹i B.Cã bao nhiªu c¸ch lÊy 3s¶n phÈm cã kh«ng qu¸ mét s¶n phÈm lo¹i B?
*****Bµi55:Cã bao nhiªu sè lµ ­íc cña 750000?
Hy väng c¸c em sÏ hiÓu hÕt néi dung c¸c bµi trªn.RÊt mong sím ®­îc gÆp l¹i c¸c em.
**Bµi 56:Cho E={0;1;2;3;4;5}.Cã bao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau vµ:
a.NhÊt thiÕt ph¶i cã mÆt ch÷ sè 0?
b.C¸c ch÷ sè 1;2 kh«ng c¹nh nhau?
**Bµi 57:Cho E={0;1;2;3;4;5;6;7}.Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau vµ chia hÕt cho3?
Bµi58:Cho E={0;1;2;3;4;5;6;7}.cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau vµ nhá h¬n 3425?
Bµi59:Mét líp cã 25nam ,25 n÷ xÕp thµnh 1 hµng däc ®i vµo líp sao cho 2 ng­êi cïng giíi kh«ng c¹nh nhau?
D¹ng to¸n : TÝnh to¸n vµ rót gän mét biÓu thøc:
TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau:
A=A76+A75A74+C20102010
B=23 . 7!4!10!(8!3!5!-9!2!7!)
C=5!a!a-1aa-2!4!+6! (2≤a≤Z)
D=2001!2000!-1999! . 19992001+0!
E=39A491038A4910+A4911+5!
Q=A522P2+A10514P5
T=C1513+3C107-C2523
L=21(P3-P2)20(P5A54+P4A53+P3A52P2A51)
P=7!4!10!(9!2!7!-8!3!5!)
D¹ng : Gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh
 (n+1)!=6[n!-n-1!]
2C7n = Cn-17+Cn+17
An6+An5=An4
An2=12
Cn1+Cn2+Cn3=72n
2Ax2+50=A2x2
12Px+3=360Ax5x-5!
An4An+13-Cnn-4=2423
§H Ngo¹i ng÷ HN_2000: C1x+6C2x+6C3x= 9x2 – 14x
C§ SP TP.HCM_2000: T×m k∈N ®Ó: C14k+C14k+2=2C14k+1
Cx+8x+3=5Ax+63
Cn+44n-2!=15n-1!
Cn4=Cn3+54An-12
1C4n=1C3n+1C6n
C18x=C18x+2 ; Cã rÊt nhiÒu b¹n nghÜ r»ng µ :C18x=C18x+2⇔[x=x+2x+x+2=18⇔x=8 §óng hay sai? GÆp thÇy gi¸o kh¸c râ.
14.3!Cx+2x=Ax+44
An2-An1=3
An1.Cnn-2=24
Bµi khã ®©y: Cn2.Cnn-2+2Cn2.Cn3+Cn3.Cnn-3=100
Bµi nµy ®Ó sau khi häc nhi thøc Newton: C0x+C1x++Cxx=128
D¹ng gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh:
A3n+15<15n
Khã ®©y: A3n<A2n+12
Kh¸ khã, ch¼ng ai b¶o dÔ: (n!)3Cnn.Cn2n.Cn3n<720
Ui rêi l¹i cßn c¸i nµy n÷a chø: Px+3≤720.Ax5.Px-5
§H B¸ch Khoa HN_2000: 12A2x2-Ax2≤6xCx3+10
Cx-1x-1+Cx-1x-2<79-x-1!2x-3!
2(Ax3+3Ax2)≤Px+1
A3x≤20x
Ax+54≥15x+3x+2(x+1)
An+24Pn+2≤1434Pn-1
C©u nµy th× mÖt ®©y: C§SP B¾c Ninh: C2x2+C2x4++C2x2x≥22003-1
D¹ng to¸n vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh vµ hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh:
AxyPx-y=72Px-210<x+y<16 (khã kh«ng?)
Ayx+1Px+Cyy-x-1=126Px+2=720
Px+y+3=720Ax+y5Px+y-5Px-y=120x,y∈Z khã råi ph¶i kh«ng?
A2x2+y≤12Px+y≤6x,y∈N*H·y thÓ hiÖn ®¼ng cÊp cña m×nh ®Õn ®©u? Cè g¾ng lµm ®Ó kh¼ng ®Þnh m×nh. Kh«ng ai mét lóc lµ giái ngay.
Qu¸ khã: Ax-y3≥24Px+y≤120(x,y∈N)
D¹ng chøng minh biÓu thøc lµ phÇn thi