Hình học 12 nâng cao - Phương pháp tọa độ trong không gian - Chương III

 độ của véc tơ và tọa độ của hai điẻm mút:
A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB) thì 
5) Tích có hướng của hai véc tơ: Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ, ký hiệu là . Tích có hướng có những tính chất và ứng dụng sau:
 đồng phẳng Û 
6) Phương trình mặt cầu tâm I(x0; y0; z0) bán kính R là: (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2.
	Ngược lại, pt x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 là pt của mặt cầu tâm I(- a; - b; - c) bán kính nếu > 0
Bài tập áp dụng:
1. Cho ba véc tơ Tìm tọa độ của véc tơ biết:
2. Bộ ba điểm A, B, C nào sau đây thẳng hàng:
	a) A(1; 3; 1), B(0; 1; 2), C(0; 0; 1); b) A(1; 1; 1), B(-4; 3; 1), C(-9; 5; 1);
	c) A(0; -2; 5), B(3; 4; 4), C(2; 2; 1); d) A(1; -1; 5), B(0; -1; 6), C(3; -1; 5);
	e) A(1; 2; 4), B(2; 5; 0), C(0; 1; 5); f) A(1; 1; 1), B(0; -1; 0), C(3; 5; 3);
3. Cho điểm M(x; y; z). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M:
	a) Trên các mặt phẳng tọa độ.
	b) Trên các trục tọa độ.
4. Cho điểm M(x; y; z). Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua:
	a) Gốc tọa độ;	b) mp(Oxy; 	c) Trục Oy.
5. 	a) 3 điểm A(-1; 6; -5), B(7; 3; 4), C(x; y; 8). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng.
	b) Cho A(-1; 2; 4), B(2; -5; -7). Tìm M Î mp(Oxy) để MA + MB nhỏ nhất.
	c) Cho A(-1; 3; 4), B(2; -5; 11). Tìm M Î mp(Oxy) để MA + MB nhỏ nhất.
6. 	a) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1, 0, 1), B(2, 1, 2), D(1, -1, 1), C’(4, 5, -5). Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.
	b) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(x1, y1, z1), C(x3, y3, z3), B’(x’2, y’2, z’2), D’(x’4, y’4, z’4). Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.
7. CMR: A(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; -1; 1) là các đỉnh của một hình chữ nhật. Tính độ dài các đường chéo, tọa độ tâm và góc giữa hai véc tơ 
8. CMR: (1; 1; 1), (2; 3; 4), (6; 5; 2), (7; 7; 5) là các đỉnh của một hình bình hành. Tính độ dài các đường chéo và diện tích của hình bình hành đó.
9. Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đường thẳng AB cắt mp(Oyz) tại điểm M. Điểm M chia đoạn AB theo tỷ số nào? Tìm tọa độ của điểm M.
10. Cho ba véc tơ Tính:
11. Tính góc giữa hai véc tơ trong mỗi trường hợp sau:
12. 	a) Trên trục Oy, tìm điểm cách đều hai điểm A = (3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).
	b) Trên mp(Oxz), tìm điểm cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).
13. Tính tích có hướng . Biết rằng:	
14. Tính Biết rằng:	
15. Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ trong mỗi trường hợp sau:
16. Cho ba điểm A = (1; 0; 0), B = (0; 0; 1), C = (2; 1; 1).
	a) CMR: $ DABC;	b) Tính chu vi và diện tích DABC;
	c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành;
	d) Tính độ dài đường cao AH và các góc của DABC.
	e) Tính độ dài đường phân giác trong của góc B.
17. Cho bốn điểm A = (1; 0; 0), B = (0; 1; 0), C = (0; 0; 1), D = (-2; 1; -1).
	a) $ tứ diện ABCD;	b) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối;
	c) Tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
18. Hãy chứng minh các tính chất sau đây của tích có hướng của hai véc tơ:
19. Tứ diện ABCD có A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) và D thuộc trục Oy. Biết VABCD = 5. Tìm tọa độ đỉnh D.
20. Cho 4 điểm A(2; -1; 6), B(-3; -1; -4), C(5; -1; 0), D(1; 2; 1).
	a) CMR: DABC vuông và tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.
	b) CMR: $ tứ diện ABCD và tính thể tích của tứ diện.
	c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
21. Cho hình lậpphương ABCD cạnh a. M, N là trung điểm của AD, BB’.
	a) CMR: A’C ^ (AB’D’) và A’C ^ MN.
	b) Tính 
22. Tứ diện ABCD có SC = CA = AB = SC ^ (ABC), DABC vuông tại A. Các điêm M Î SA, N Î BCïAM = CN = t (0 < t < 2a).
	a) Tính độ dài MN và tìm t để MN ngắn nhất.
b) Khi MN ngắn nhất, CMR: MN là đường vuông góc chung của BC và SA.
23. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I bán kính R cho trong các trường hợp sau:
	a) I(1; 0; -1), 2R = 8;	b) 2R = AB với A(-1; 2; 1), B(0; 2; 3);
	c) I º O và tiếp xúc với S1(I1, r). Với I1(3; -2; 4), r = 1;
	d) I(3; -2; 4) và đi qua A(7; 2; 1);	e) I(2; -1; 3) và tiếp xúc mp(Oxy);
	f) I(2; -1; 3) và tiếp xúc mp(Oxz);	g) I(2; -1; 3) và tiếp xúc mp(Oyz).
24. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu mà ta phải tìm I và R.
	a) x2 + y2 + z2 - 2x - 6y - 8z + 1 = 0;	b) x2 + y2 + z2 + 10x + 4y + 2z + 30 = 0;
	c) x2 + y2 + z2 - y = 0;	d) 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2x - 3y + 5z - 2 = 0;
	e) x2 + y2 + z2 - 3x + 4y - 8z + 25 = 0;	f) 2x2 + 2y2 + 2z2 - 3x + 4y - 2z - 4 = 0;
25. Viết phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau:
	a) Đi qua A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm thuộc mp(Oxy);
	b) Đi qua A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) và có tâm thuộc trục Oz;
	c) Đi qua 4 điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1).
26. Cho 6 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), A’(a’; 0; 0), B’(0; b’; 0), C’(0; 0; c’) với aa’ = bb’ = cc’ ≠ 0; a ≠ a’, b ≠ b’, c ≠ c’.
	a) CMR: có một mặt cầu đi qua 6 điểm nói trên;
	b) CMR: đ.thẳng đi qua gốc O và trọng tâm ABC vuông góc với mp(A’B’C’).
27. 	a) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua điểm A(a; b; c) cho trước và có bán kính R không đổi.
	b) Cho 4 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6). Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho 
	c) Cho 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA2 + MB2 + MC2 = MO2 (O là gốc tọa độ).
§2. Phương trình mặt phẳng:
1) Phương trình mặt phẳng:
Véc tơ được gọi là véc tơ pháp tuyến của mp(a) Û 
Mp(a) đi qua điểm M0 và có véc tơ pháp tuyến có phương trình: 
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 hay Ax + By + Cz + D = 0 với D = - (Ax0 + By0 + Cz0).
Trong không gian Oxyz, mỗi pt: Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 > 0 đều là phương trình của một mặt phẳng. xác định.
Nếu hai véc tơ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên mp(a) thì mp(a) có một véc tơ pháp tuyến 
2) Các trường hợp riêng:
(a) đi qua gốc tọa độ khi và chỉ khi D = 0.
(a) song song (hoặc chứa) Ox, Oy, Oz (tương ứng) khi và chỉ khi A = 0, B = 0, C = 0.
(a) song song hoặc trùng với (Oxy), (Oyz), (Ozx) Û A = B = 0, B = C = 0, C = A = 0.
(a) cắt cả ba trục tọa độ Û ABC ≠ 0. Đặt ta được phương trình mp(a) theo đoạn chắn 
3) Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng: 
Hai bộ số (A1; A2; . . . ;An) và (B1; B2; . . . ;Bn) được gọi là tỷ lệ nếu $ t ïAi = tBi 
Khi đó ta viết A1: A2: . . . : An = B1: B2: . . . : Bn hoặc Khi hai bộ số trên không tỷ lệ, ta viết: A1: A2: . . . : An ≠ B1: B2: . . . : Bn.
Xét hai mp(a): Ax + By + Cz + D = 0 và (a’): A’x + B’y + C’z + D’ = 0.
 (a) cắt (a’) Û A: B: C ≠ A’: B’: C’; (a) // (a’) Û (a) º (a’) Û 
	Gọi j là góc giữa hai mp(a) và (a’) thì: 
4) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
K.cách từ M1(x1; y1; z1) đến mp(a): Ax + By + Cz + D = 0 là 
Bài tập áp dụng:
1. Viết phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz) và (Ozx).
2. Viết phương trình các mặt phẳng đi qua M0(x0; y0; z0) và lần lượt song song với các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).
3. Viết phương trình các mặt phẳng (a) trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua M(-1; 3; 2) và (a) ^ Oy; 	 b) Đi qua M(1; 3; 2) và (a) // mp(Oxz);
c) Đi qua M(1; -2; -3) và vuông góc với đường thẳng AB với A(5; -4; 1), B(2; 0; 3)
d) Đi qua M(0; 4; -1) và vuông góc với mp(b): 2x – y + 3z + 5 = 0.
4. Cho A(2; 0; 7), B(-2; 1; 4), C(1; -1; 2). Viết phương trình mp(ABC).
5. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua hai điểm P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vuông góc với mp(b): 2x – y + 3z – 1 = 0.
6. Cho điểm A(2; 3; -4). Hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ.
7. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M0(2; -1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng (b): 2x – y + 3x + 4 = 0.
8. Cho hai mp(a): Ax + By + Cz + D = 0 và (a’): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 cắt nhau theo giao tuyến (D). CMR: mỗi mặt phẳng đi qua (D) đều có phương trình dạng: m(Ax + By + Cz + D) + l(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (*). Ngược lại, mỗi phương trình dạng (*) đều là phương trình của một mặt phẳng đi qua (D).
9. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng sau:
a) x + 2y - z + 5 = 0 và 2x + 3y – 7z - 4 = 0;
b) x – 2y + z + 3 = 0 và 2x – y + 4z – 2 = 0;
c) x + y + z – 1 = 0 và 2x + 2y – 2z + 3 = 0;
d) 3x – 2y – 3z + 5 = 0 và 9x – 6y – 9z – 5 = 0;
e) x – y + 2z – 4 = 0 và 8x – 8y + 16z – 32 = 0. 
10. Xác định l và m để (a) // (b), biết:
	a) (a): 2x + ly + 2z + 5 = 0 và (b): mx + 2y – 4z + 8 = 0;
	b) (a): 2x + y + mz – 3 = 0 và (b): x + ly + 2z + 9 = 0.
11. Hai mp (a): 2x - my + 3z - 6 + m = 0; (b): (m + 3)x - 2y + (5m + 1)z - 10 = 0. Với giá trị nào của m thì: a) (a) // (b); b) (a) º (b); c) (a) cắt (b);(a) ^ (b).
12. Viết phương trình của mp(a) trong mỗi trường hợp sau:
	a) M0(2; 1; -1) Î (a) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng x – y + z – 4 = 0 và 3x – y + z – 1 = 0.
	b) (a) đi qua giao tuyến của hai mp y + 2z – 4 = 0 và x + y - z – 3 = 0, đồng thời thời song song với mặt phẳng x + y + z – 2 = 0.
	c) (a) đi qua giao tuyến của hai mp 3x - y + z – 2 = 0 và x + 4y - 5 = 0, đồng thời thời vuông góc với mặt phẳng 2x - z + 7 = 0.
13. Xác định l, m để ba mặt phẳng sau cùng đi qua một đường thẳng:
	(a): 5x + ly + 4z + m = 0; (b): 3x – 7y + z – 3 = 0; (g): x – 9y – 2z + 5 = 0.
14. Cho ba mặt phẳng (a): x + y + z - 6 = 0; (b): mx – 2y + z + m – 1 = 0 và (g): mx + (m – 1)y – z + 2m = 0. Xác định m để ba mặt phẳng đó đôi một vuông góc với nhau, khi đó, tìm điểm chung của cả ba mặt phẳng.
15. 	a) Cho mặt cầu có phương trình (S): x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và điểm M0(4; 3; 0). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M0.
	b) Viết p.trình mặt cầu tâm I(-2; 1; 1) và tiếp xúc với mp x + 2y – 2z + 5 = 0.
	c) Cho bốn điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mp(BCD).
	d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và có tâm I nằm trên mp(a): x + y + z – 3 = 0.
16. 	a) Cho mp(a): 2x + y - = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mp(a) một góc 600.
	b) Viêt phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A(3; 0; 0), B(0; 0; 1) và tạo với mp(Oxy) một góc 600.
17. 	a) Tìm trên Oy điểm cách đều hai mặt phẳng: (a): x + y - z + 1 = 0 và (b): x – y + z – 5 = 0.
	b) Cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là những số thực dương thay đổi thỏa a2 + b2 + c2 = 3. Tìm a, b, c để d(O, (ABC)) lớn nhất.
18. Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, chiều cao AA’ = b, M là trung điểm của CC’. Bằng phương pháp tọa độ, hãy:
a) Tính thể tích tứ diện BDA’M;	b) Tìm tỷ số để mp(A’BD) ^ mp(MBD).
19. 	Cho hai mp (a): Ax + By + Cz + D = 0 và (b): Ax + By + Cz + E = 0. Tìm tập hợp những điểm cách đều hai mặt phẳng đó.
20. Cho 4 điểm A(3; 5; -1), B(7; 5; 3), C(9; -1; 5), D(5; 3; -3). CMR: ABCD là một tứ diện và lập phương trình mặt phẳng cách đều 4 đỉnh của tứ diện đó.
21. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) không nằm trên mp(a): Ax + By + Cz + D = 0. Tìm điều kiện cần và đủ để:
	a) Đường thẳng M1M2 cắt mp(a); 	b) Đoạn thẳng M1M2 cắt mp(a);
	c) Đường thẳng M1M2 cắt mp(a) tại I sao cho M1 nằm giữa I và M2;
	d) Đường thẳng M1M2 cắt mp(a) tại I sao cho M2 nằm giữa I và M1.
22. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a à chiều cao bằng h. Gọi I là trung điểm của SC. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI).
23. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’, BC, DD’.
a) Tính góc (AC’, A’B); b) CMR: AC’ ^ mp(MNP); c) Tính VAMNP.
24. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O; OA = a; OB = b; OC = c. Gọi a, b, g lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng mp(OBC); mp(OCA); mp(OAB) với mp(ABC). Chứng minh rằng: cos2a + cos2b + cos2g = 1.
25. Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
26. Lập phương trình tiếp diện (a) của mặt cầu (S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 biết (a) song song với mặt phẳng (b): Ax + By + Cz + D = 0.
§3. Phương trình đường thẳng:
1) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng:
Đường thẳng D đi qua M0(x0; y0; z0) với véc tơ chỉ phương có phương trình tham số là và phương trình chính tắc là 
2) Phương trình tổng quát của đường thẳng: Hai mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0 có véc tơ pháp tuyến và (b): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 có véc tơ pháp tuyến với A: B: C ≠ A’: B’: C’ Þ (a) cắt (b) theo giao tuyến D có phương trình tổng quát là . Khi đó là một véc tơ chỉ phương của D.
3) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Hai đường thẳng d (đi qua M0 và có véc tơ chỉ phương ) và d’ (đi qua M’0 và có véc tơ chỉ phương ). Khi đó:
d và d’ đồng phẳng Û . Trong trường hợp này có 3 khả năng xảy ra:
d cắt d’ .
d và d’ chéo nhau Û 
4) Góc: Xét hai đường thẳng d, d’ và mp(a) có phương trình như trên. Ta có:
5) Khoảng cách: Vẫn xét hai đường thẳng d, d’ và mp(a) có phương trình như trên. Ta có:
Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d là 
Khoảng cách cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’ là 
Bài tập áp dụng:
1. Viết p.trình tham số, p.trình chính tắc và p.trình tổng quát của mỗi đ.thẳng sau: 
	a) Đi qua điểm M(2; 0; -1) và có véc tơ chỉ phương 
	b) Đi qua điểm M(-2; 1; 2) và vuông góc với mp(a): 2x – y – x + 3 = 0;
	c) Đi qua hai điểm A(2; 3; -1) và B(1; -2; 4).
2. Viết phương trình đường thẳng (D) trong mỗi trường hợp sau:
	a) Đi qua điểm M(4; 3; 1) và song song với đường thẳng 
	b) Đi qua điểm M(-2; 3; 1) và song song với đ.thẳng 
	c) Đi qua điểm M(2; -3; 3) và song song với đ.thẳng 
	d) Đi qua M(2; -3; 3) và v.góc với 2 đ.thẳng: 
3. Viết phương trình tham số của mỗi đường thẳng sau:
4. Viết phương trình hình chiếu vuông góc lần lượt trên các mặt phẳng tọa độ của mỗi đường thẳng sau: 
5. Viết phương trình hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng (a): x + y + z – 7 = 0 của mỗi đường thẳng sau: 
6. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(3; -2; 1) và vuông góc với một trong hai đường thẳng 
7. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng d và d’ sau đây:
8. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a) sau đây:
9. Tìm giao điểm của đ.thẳng: x = 2t, y = 1 - t, z = 5 + 2t và mp: x + y + z - 10 = 0.
10. Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa đường thẳng và song song với đường thẳng (d’): x = 2 – t, y = 1 + 2t, z = 5 + 2t.
11. Viết p.trình của đ.thẳng D song song với đ.thẳng (d): x = 3t, y = 1 – t, z = 5 + t và cắt hai đường thẳng 
12. Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(1; -1; 1) và cắt cả hai đường thẳng 
13. Viết phương trình đường thẳng D Ì mp(a): y + 2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng 
14. Cho hai đường thẳng CMR: d và d’ chéo nhau rồi viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
15. Với giá trị nào của k thì đ.thẳng nằm trong mp(Oyz).
16. Tìm tập hợp những điểm cách đều hai mặt phẳng:
	a) (a): 2x – y + 4z + 5 = 0 và (b): x + 2y + 2z – 10 = 0;
	b) (a): x + 2y - 3z + 15 = 0 và (b): 2x + 4y - 6z – 50 = 0.
17. Tính khoảng cách từ các điểm M(2; 3; 1), N(1; -1; 1), P(1; 1; 1) đến đường thẳng 
18. Tính khoảng cách từ các điểm M(-2; 3; -1), N(1; -4; 1), P(-1; 5; 1) đến đường thẳng 
19. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
20. Bằng phương pháp tọa độ, hãy tính khoảng cách giữa đường chéo của một hình lập phương cạnh a và đường chéo của một mặt bên (nếu chúng không cắt nhau). 
21. Tìm góc tạo bởi đường thẳng với các trục tọa độ.
22. Tìm góc tạo bởi các cặp đường thẳng d và d’ sau đây:
23. Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD với A(3; -1; 0,), B(0; -7; 3), C(-2; 1; -1), D(3; 2; 6).
24. Tìm góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (a) sau đây:
25. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp (a), với 	
26. Viết pt đường thẳng (D) đi qua M(0; 1; 1), vuông góc với đ.thẳng (d) và cắt đ.thẳng (d’), biết 
27. Viết pt đường thẳng (D) đi qua M(0; 1; -1), v.góc và cắt đ.thẳng 
28. Viết pt đường thẳng (D) đi qua giao điểm của đ.thẳng d và mp(a), nằm trong (a) và v.góc với d, biết (a): x + y + z – 1 = 0, 
29. Cho các điểm A(1; 1; -1), B 3; 4; 5) và mp(a): x + y – 2z + 5 = 0. Tìm trên mp(a) điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất.
30. Lập phương trình đường thẳng (D) vuông góc với mp(Oxz) và cắt cả hai đường thẳng (d): x = t, y = - 4 + t, z = 3 – t và (d’): x = 1 – 2y, y = - 3 + t, z = 4 – 5t.
Bài ôn tập chương III:
1. Cho bốn điểm A(0; 0; 3), B(1; 1; 5), C(-3; 0; 0), D(0; -3; 0).
	a) Tính 	b) Tính diện tích tam giác ABC;
	c) CMR: bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
2. Giả sử A(3; 0; 4), B(1; 2; 3), C(9; 6; 4) là ba đỉnh của hình bình hành ABCD. Tìm: 	a) Tọa độ điểm D;	b) Tọa độ giao điểm của hai đường chéo;
	c) Số đo góc B;	d) Độ dài đường chéo AC và SABCD.
3. Trong k.gian tọa độ Oxyz cho hai đ.thẳng .
	a) Xét vị trí tương đối giữa (d) và (d’);
	b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua (d’) và song song với (d);
	c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 1; 0) và vuông góc với (d)
	d) Tính khoảng cách giữa (d) và (d’);
	e) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d) và (d’).
4. Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (a) lần lượt có phương trình:
	a) CMR: đường thẳng (d) cắt mặt phẳng (a) và tìm giao điểm của chúng;
	b) Viết p.trình mặt phẳng (b) đi qua điểm M(1; 2; -1) và vuông góc với (d);
	c) Viết phương trình hình chiếu của (d) trên mặt phẳng (a);
	d) Cho điểm A(1; 0; -1). Hãy tìm tọa độ của điểm A’ sao cho (a) là mặt phẳng trung trực của AA’;
	e) Viết phương trình mặt phẳng phân giác của góc chứa điểm M1(1; 2; 1) tạo bởi hai mặt phẳng (a) và (b). 
5. Cho hai điểm M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) và mp (a): Ax + By + Cz + D = 0. CMR: M1, M2 ở về hai phía của mặt phẳng (a) khi và chỉ khi:
	(Ax1 + By1 + Cz1 + D)( Ax2 + By2 + Cz2 + D) < 0.
6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
	a) CMR: đường chéo A’C vuông góc với mặt phẳng (A’B’D’);
	b) CMR: giao điểm của A’C và mp(AB’D’) là trọng tâm DAB’D’;
	c) Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD);
	d) Tìm góc giữa hai mặt phẳng (DA’C) và (ABB’A’).
7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm M Î AD’, N Î BD sao cho AM = DN = k 
	a) Tìm k để độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất;
	b) CMR: MN luôn song song với mp(A’D’BC) khi k thay đổi;
	c) Khi MN ngắn nhất, CMR: MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD và MN // A’C.
8. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình:
	x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = 0
a) Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S);
	b) Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp(a): x + y – z + k = 0 theo k;
	c) Tìm tọa độ giao điểm của (S) và đ.thẳng D đi qua hai điểm M(1; 1; 1) và N(2; -1; 5) và viết p.trình các mặt phẳng tiếp xúc của (S) tại các giao điểm đó.
9. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0)
	a) CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện và tính VABCD.
	b) Viết p.trình, xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện;
c) Viết p.trình, xác định tâm và bán kính đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.
10. Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a; I, J là trung điểm của A’D’, BB’.
	a) CMR: IJ ^ AC’ và tính độ dài đoạn IJ;
	b) CMR: D’B ^ mp(A’C’D), D’B ^ mp(ACB’);
	c) Tính góc giữa hai đường thẳng IJ và A’D.
11. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(5; -4, 3) và cắt ba trục tọa độ tại ba điểm cách đều gốc tọa độ.
12. Ba điểm A(2; -1; -1), B(-1; 3; -1), M(-2; 0; 1). Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng AB.
13. Cho hai điểm A(1; 2; -1), B(7; -2; 3) và đường thnẳng (d): Tìm điểm I Î AB sao cho IA + IB nhỏ nhất.
14. Trong không gian Oxyz, xét điểm S(2; 0; -1) và véc tơ . Gọi D là đường thẳng đi qua S và có véc tơ chỉ phương .
	a) CMR: tập hợp những điểm M Î mp(Oxy) mà góc giữa D và đường thẳng SM bằng 600 là hypebol (H). Tìm tọa độ các tiêu điểm của (H);
	b) Gọi (a), (b) là các mặt phẳng đi qua S và chứa một trong hai đường tiệm cận của (H). CMR: tích các khoảng cách từ một điểm thuộc (H) đến hai mặt phẳng (a), (b) là một đại lượng không đổi.
15. Cho hai điểm A(1; 0; 0), A’(-1; 0; 0), D là đường thẳng đi qua A và song song với Oz, D’ là đường thẳng đi qua A’ và song song với Oy.
	a) Tìm tập hợp các điểm M Î mp(Oxy) cách đều D và D’;
	b) Tìm tập hợp các điểm M Î mp(Oyz) cách đều D và D’
16. Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = 1, AD = 2, AA’ = 3. Gọi M, N, P, Q là trung điểm của AB, B’C’