Hình không gian - GV: Phạm Cao Thế

Phương pháp toạ độ trong không gian Ngày 01 tháng 06 năm 08
I Tọa độ của vectơ và của điểm
A.Các khái niệm cần nắm
+ Hệ tọa độ Đềcác vuông góc trong không gian:
+ Tọa độ của vectơ: 
+ Cho thì:
+ Tọa độ của điểm: 
+ Cho hai điểm thì: 
+ Chia một đoạn thẳng theo tỉ số cho trước: cho hai điểm , nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ạ 1 thì: 
	Khi k = -1 thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB và có tọa độ: 
B. Ví Dụ: 
1. Viết tọa độ của các vectơ say đây: 	; 	 ; 	;	 
2. Cho : . Tìm tọa độ của vectơ a) . b) 
3. Tìm tọa độ của vectơ , biết rằng: 
a) và b) và c) và , 
4. Cho ba điểm không thẳng hàng: Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
5. Cho bốn diểm không đồng phẳng : Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
6. Cho điểm M(x; y; z). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
 a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz.	 b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz.
7. Cho điểm M(x; y; z). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:
 a) Qua gốc tọa độ O 	 b) Qua mặt phẳng Oxy	 c) Qua Trục Oy.
8. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.
9. Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.
 a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? b) Tìm tọa độ điểm M. 
C. Bài tập
1. Viết dưới dạng mỗi vectơ sau đây: 
	, 
2. Cho hai bộ ba điểm: A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1) và A' = (1; 1; 1), B' = (-4; 3; 1), C' = (-9; 5; 1).
	Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng ?
3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(x1; y1; z1), C(x3; y3; z3), B'(x'2;y'2;z'2), D'(x'4; y'4;z'4). Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.
II. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng tích có hướng của hai vectơ 
A.Các khái niệm cần nắm
+ Tích vô hướng của hai vectơ: và . Khi đó: 
+ Bình phương vô hướng của . Độ dài của .
+ Khoảng cách giữa và .
+ Góc j giữa hai vectơ và với .
+ Tích có hướng của hai vectơ cho hai vectơ và ; . 
 i) và cùng phương Û . 	 ii) . 	iii) 
+ Diện tích tam giác: 
+ Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: Ba vectơ và đồng phẳng khi và chỉ khi .
+ Thể tích hình tứ diện ABCD , 
+ Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' , 
B. Ví Dụ: 1 . Cho ba vectơ Tìm:
 .
2. Tính góc giữa hai vectơ và : 	 
3. a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).
 b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).
4. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ trong mỗi trường hợp sau đây:
5. Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
 a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tính chu vi và diện tích DABC.
 c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành. d) Tính độ dài đường cao của DABC hạ từ đỉnh A.
 e) Tính các góc của DABC.
6. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
	a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. 
	b) Tìm góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
	c) Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
7. Cho D ABC biết A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). Hãy tìm độ dài đường phân giác trong của góc B.
8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
	a) Chứng minh rằng A, B, C, D tạo thành tứ diện. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
	b) Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh C của tứ diện đó.
	c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABD hạ từ đỉnh B.
	d) Tính góc ABC và góc giữa hai đường thẳng AB, CD. 
 C. Bài tập: 
 1. Cho tam giác ABC , A(1;0;-2), B(2;1;-1) , C(1;-2;2). 
	a. Tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC
	b. Tìm toạ độ trung điểm I của cạnh BC
	c. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC
	d. Tính diện tích tam giác ABC.
	e. Tính đường cao của tam giác hạ từ A.
	f. Tính các góc của tam giác ABC
	g. Tìm điểm M thuộc Ox sao cho MA = MB
	h. Tìm giao (ABC) và Ox
 2. Cho 
	a. Chứng minh với mọi m thì không đồng phẳng.
	b. Phân tích theo 
 3. Cho ba véc tơ: 
	Với a, b, c không đồng thời bằng không thì có đồng phẳng không
 4. Cho D ABC biết A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). 
	Hãy tìm độ dài đường phân giác trong của góc B.
 5. Cho D ABC biết A(-11; 8; 4), B(-1; -7; -1), C(9; -2; 4). 
	a. Chứng minh tam giác ABC vuông 
	b. Tính diện tích tam giác ABC
 6. Cho sáu điểm A(3; 5; -4), B(-1; 1; 2), C(-5; -5; -2), A’(5; 1; 5), B’(4; 3; 2), C’(-3; -2; 1). 
	a. Chứng minh tam giác ABC cân, tam giác A’B’C’ vuông
	b. Gọi G, G’, G’’ là trọng tâm tam giác D ABC, D A’B’C’và của tứ diện A’ABC. Tính tang của góc G’GG’’ 
 7. Chứng minh 4 điểm A(3; 3; 3), B(1; 2; -1), C(4; 1; 1), D(6; 2; 5) là các đỉnh của hình bình hành
 8. Chứng minh 4 điểm A(5; 2; -3), B(6; 1; 4), C(-3; -2; -1), D(-1; -4; 13) là các đỉnh của hình thang. Tính diện tích 
 9. Cho hai điểm A(-2; 0; 4), B(5; -2; -14) 
	Tìm điểm E trong mặt phẳng Oyx sao cho: , đồng phẳng
 10.Cho hai véc tơ . 
	Tìm véc tơ thoả mãn điều kiện đồng phẳng.
 11. Cho A(-3; 2; 4), B(2; 5; -2), C(1; -2; 2), D(4; 2; 3)
	a. Tính cos()
	b. Tính diện tích tam giác BCD
	c. Tính độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện ABCD
	d. Tính cosin góc gữa AD và mặt phẳng (BCD)
	e. Tính cosin góc gữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD)
	f. Tìm toạ độ điểm I cách đều A, B, C, D