Hướng dẫn ôn tốt nghiệp: Hình học phẳng 12

Bài 1 : véctơ và toạ độ.
A-Kiến thức cơ bản:
1-Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho 
Ta có a/ 
 b/ 
 c/ 
 d/ Tích vô hướng 
 e/ 
2-Cho ta có:
Điểm chia AB theo tỷ số k:
 Đặc biệt M là trung điểm AB:
 II-Bài tập:
Bài 1 :Cho A(-6;2),B(2;6),C(7;-8)
1-Chứng minh rằng ba điểm A,B,C không thẳng hàng.
2-Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC
3-Tìm D để ABDG là hình bình hành.
 LG
1/Ta có : : Vì nên hai véctơ và không cùng phương .Vậy A,B,C không thẳng hàng.
2/ Với G là trọng tâm tam giác ABC ta có : 
 Vậy 
2/ ABDG là hình bình hành ,nên ta có =
 Vậy D(9;4)
Bài 2 : cho bốn điểm A(-1;3),B(0;4),C(3;5),D(8;0) chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.
 LG
Ta có : ; ; ;
Vậy (1) 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra : 
Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp.
Bài 3: Cho tam giác ABC với A(1;5),B(-4;-5),C(4;-1) tìm toạ độ chân đường phân giác góc A.
 LG
Ta có ;
Gọi AK là phân giác trong góc A: theo định lý đường phân giác ta có:
 suy ra 
Vậy 
Gọi H là chân dường phân giác ngoài góc A 
Vậy theo tính chất đường phân giác: 
 Vậy H(16;5)
Bài 2:đường thẳng
A-Kiên thức cơ bản:
I-Các dạng của phương trình đường thẳng:
1-Phương trình đường thẳng đi qua nhận làm véc tơ chỉ phương :
Phương trình chính tắc: ;phương trình tham số:
2- Phương trình đường thẳng đi qua nhận làm véc tơ pháp tuyến:
3- Phương trình đường thẳng đi qua có hệ số góc k
4- Phương trình đường thẳng đi qua hai điểmvà có dạng. 
 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểmvà có dạng 
5- Phương trình đường thẳng có dạng: 
gọi là phương trình tổng quát: 
II-Cho hai đt có phương trình: ; 
Nếu 
III-Khoảng cách:
Khoảng cách d từ điểm đến đt : cho bởi công thức 
IV-Góc giữa hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng : 
Nếu 
B-Bài tập
Bài 1:trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng có phương trình 
a/Tìm toạ độ giao điểm A của và :
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ 
Vậy toạ độ của A là 
b/Viết phương trình đường thẳng qua điểm A và B(2;4)
Phương trình đường thẳng AB có dạng 
c/Viết phương trình đường thẳng qua A và tạo với trục hoành góc .
Đường thẳng qua A và tạo với trục hoành góc có hệ số góc 
Vậy phương trình đường thẳng có dạng:
Bài 2:Trong mp toạ độ Oxy cho hai đường thẳng có phương trình :
a/Tính góc tạo bởi và :
Gọi là góc tạo bởi hai đt và : ta có 
b/Tính khoảng cách từ M(5;3) tới và :
Khoảng cách từ M đến là:
Khoảng cách từ M đến là:
c/Viết phương trình các đường phân giác của các góc hợp bởi hai đt và :
Gọi M(x;y) thuộc đường phân giác ta có 
Bài 3:
a/Viết phương trình đường thẳng d qua A(2;-2) và cách B(3;1) một đoạn bằng 3:
Đường thẳng d qua A(2;-2) nên phương trình có dạng.
A(x-2)+B(y+2)=0Ax+By-2A+2B=0
 Theo bài ra : 
*Với A=0 thì d có phương trình:y+2=0
*Với chọn B=4;A=3 thì d có phương trình:3x+4y+2=0
b/Viết phương trình đường thẳng d qua A(2; 2) và cách đều 2 điểm B(1;1) vàC(3;4):
Đường thẳng d qua A(2;2) có dạng :A(x-2)+B(y-2)=0Ax+By-2A-2B=0
Theo bài ra : 
*Với 3B=-2A chọn A=3;B=-2 thì d có phương trình có dạng: 3x-2y-2=0
*Với B=0 thì d có phương trình: x-2=0
Bài 4:Cho tam giác ABC đỉnh A(2;2)
1/Lập phương trình các cạnh của biết rằng 
2/Lập phương trình đường thẳng qua A và vuông góc AC
 LG
1/PT đường thẳng AC qua A nhận làm véctơ chỉ phương
+PT đường thẳng AB qua A nhận làm véctơ chỉ phương
Toạ độ B là nghiệm của hệ Vậy 
 Toạ độ C là nghiệm của hệ Vậy 
+PT đường thẳng BC 
2/PT đường thẳng qua Avà vuông góc với AC nhận làm vé tơ pháp :
Bài 5: Lập phương trình đường thẳng qua A(3;0) cắt các đường thẳng:2x-y-2=0 và x+y+3=0 tại các điểm I,J sao cho A là trung điểm IJ
 LG
Phương trình đường thẳng qua A(3;0) có dạng :y=k(x-3)
Gọi , là giao điểm của y=k(x-3) với đt : 2x-y-2=0 và x+y+3=0
Ta có do I,J nằm trên y=k(x-3) ta có 
 (1)
 Mặt khác :A là trung điểm IJ : thay vào (1) ta được
 Từ đó 
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:y=8(x-3)
Bài 6: Cho hai dường thẳng 
Lập phương trình đường thẳng d đối xứng của qua .
LG
Gọi là giao của và ta có 
vậy I(3;3) Xét Gọi A là điểm đối xứng của B qua 
*phương trình đường thẳng qua B và nhận làm véctơ chỉ phương dạng: 
Toạ độ giao điểm H là nghiệm của hệ:
 Vậy 
Vì H là trung điểm của AB ta có: Vậy A(-3;6)
Đương thẳng d đối xứng của qua là đường thẳng qua AI:
Vậy ta có : 
Bài 7: Lập phương trình các cạnh của nếu cho A(1;3) và hai đường trung tuyến có phương trình là:x-2y+1=0 và y-1=0
 LG
Giả sử BM :x-2y+1=0 và CN:y-1=0 Toạ độ trọng tâm G là nghiệm của hệ:
 Vậy G(1;1) 
 Ta có : 
 Vậy toạ độ trung điểm : 
Phương trình đường thẳng BC có dạng:y=k(x-1) 
Gọi vì 
 Gọi vì 
Mặt khác: (2)
Vì là trung điểm BC: thay vào (2) ta được 
Vậy phương trình BC : 
Toạ độ phương trình AB: : 
Toạ độ phương trình AC: : 
Bài 3:Đường tròn
A-kiến thức cơ bản:
1/ Phương trình đường tròn:tâm I(a;b) bán kính R có dạng:
 Khi phương trình có dạng: 
Ngược lại phương trình: với là phương trình đường tròn tâm I(-A;-B) bán kính 
2/ Phương tích của một điểm đối với đương tròn .
Cho đt :
và một điểm 
3/ Trục đẳng phương của hai đường tròn:
Cho hai đường tròn :
Điểm M(x;y) có cùng phương tích với hai dường tròn khi và chỉ khi:
 hay 
II-Bài tập:
Bài 1:Trong mp toạ độ Oxy cho đường tròn (T) có phương trình .
 (1)
1-Tìm toạ độ tâm và bán kính của đường tròn.
2-Với giá trị nào của b đt:y=x+b có điểm chung với (T) và tìm toạ độ giao điểm đó
3-Viết pt tiếp tuyến của đường tròn biết tt song song với đường phân giác của góc x’Oy với Ox’ là tia đối của tia Ox.
LG
1-Ta có (1) 
Vậy I(2;1) bán kính R=3
2-Thay y=x+b vào phương trình đường tròn ta được: 
 (*)
Để đt y=x+b cắt đường tròn (T) thì phương trình (*) có nghiệm.
hai giao điểm là :
3-Phương trình phân giác x’Oy : y=-x vậy tiếp tuyến có dạng y=-x+bx+y-b=0
Ta có 
Vậy có hai tiếp tuyến là:
Bài 2:Viết phương trình đường tròn tâm A(4;3) và tiếp xúc với đt:x-3y-5=0
LG
Khoảng cách từ điểm A(4;3) dến đường thẳng x-3y-5=0 là :
Vậy pt đường tròn là: 
Bài 3:Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A,B là hai điểm thuộc trục hoành có hoành độ là nghiệm phương trình: 
1-Viết phương trình đường tròn đường kínhAB.
2-Cho E(0;1) viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
LG
Đặt theo bài ra ta có : và 
Gọi M(x;y) thuộc đường tròn đk AB ta có:
 vì;
Vậy là phương trình đường tròn đường kính AB
2-Xét (C) : 
Ta có :
Lấy (2)-(3) ta được: 
 vì 
Lấy (2)+(3) ta được: : 
 vì Từ (1) suy ra :2b=c+1=m+1
Vậy đường tròn ngoại tiếp có pt : 
Bài 4:Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh trên ba đường thẳng sau:x-5y-2=0;x-y+2=0;x+y-8=0.
LG
Giả sử phương trình ba cạnh là AB:x-5y-2=0;BC:x-y+2=0;AC:x+y-8=0
+Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ phương trình:
+Toạ độ đỉnh B là nghiệm của hệ phương trình:
+Toạ độ đỉnh C là nghiệm của hệ phương trình:
Giả sử đường tròn (C) ngoại tiếp có dạng:	
Thay toạ độ A,B,C vào phương trình đường tròn ta được a=2;b=0;c=-22
Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: 
Bài 5:Trong mặt phẳng toạ độ trực chuẩn Oxy cho hai điểm A(4;0);B(0;3).viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.
LG
Phương trình đường phân giác trong góc AOB là x-y=0
Phương trình đường thẳng AB :
Phương trình đường phân giác của góc BAO cho bởi:
Phương trình đường phân giác trong của góc BAO là:3x+9y-12=0
Khi đó toạ độ tâm I là nghiệm của hệ:
Bán kính r cho bởi công thức:r=d(I;OA)=1
Vậy phương trình(C):
Bài tập: Cho đường tròn (C): và điểm M(2;4)
a-Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cắt đường (C) tai hai điểm A,Bsao cho M là trung điểm AB.
b-Viết phương trình các tiếp tuyến của đương tròn có hệ số góc k=-1.
Bài 4: elíp
A-Kiến thức cơ bản:
1-Định nghĩa:, là hai điểm cố định với =2c. 
Gọi (a>c)
Trong đó:, là hai tiêu điểm 
 =2c là tiêu cự của (E)
2-Phương trình chính tắc:
3-TRục đối xứng, tâm đối xứng của (E)
Elíp nhận , làm trục đối xứng của (E)có O tâm đối xứng của (E)	
4-Tiếp tuyến của (E):
Phương trình tiếp tuyến của (E) tại điểm :
5-Tâm sai và đường chuẩn của (E).
+ Số tâm sai của (E).
+ Các đường thẳng là hai đường chuẩn của (E) tương ứng với các tiêu điểm và .
6-Điều kiện để đt :Ax+By+C=0 tiếp xúc (E):
7-Bán kính qua tiêu điểm:
B-Bài tập:
Bài 1:Trong mp toạ độ Oxy cho (E) có phương trình :
1-Tìm toạ độ các đỉnh ,toạ độ các tiêu điểm,tính tâm sai của(E) đó.
2-Tìm tung độ của điểm thuộc (E) có hoánh độ x=2 và tính khoảng cách đó đến hai tiêu điểm.
3-Tìm các giá trị của b để đt y=x+b có điểm chung với (E) trên.
LG
1-Toạ độ các đỉnh :
 Tâm sai : 
2-Ta có :; 
3-Thay y=x+b vao phương trình (E) ta được 
Điêù kiện có điểm chung :
Bài 2:
1-Viết pt chính tắc của (E) biết 1 tiêu điểm F(5;0) và độ dài trục nhỏ là 
Hãy tìm toạ độ các đỉnh ,tiêu điểm thứ hai và tính tâm sai (E)
2-Tìm toạ độ điểm M nằm trên (E) sao cho 
LG
1-Phương trình chính tắc của (E) có dạng: 
Ta biết c=5 và suy ra 
Vậy phương trình chính tắc của (E) là: 
Toạ độ các đỉnh là 
Tiêu điểm thứ hai F(-5;0) .Tâm sai là 
2-Giả sử điểm thuộc (E) và ta có Suy ra 
Vậy có hai điểm cần tìm là và
Bài 3:
1- Viết pt chính tắc của (E) co tiêu cự 2c= 8 và tâm sai và các tiêu điểm nằm trên trục Ox, đối xứng nhau qua Oy.
2-Viết phương trình các tiêp tuyến của (E) đi qua điểm 
LG
1-Elip có các tiêu điểm nằm trên Ox,đối xứng nhau qua Oy có dạng: 
Tiêu cự 2c=8
Tâm sai vậy 
Vậy phương trình chính tắc của (E) là: 
2-Điểm gọi (d) là đường thẳng qua A có dạng:
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (E)
Bài 4:Cho (E):viết phương trình các cạnh của hình vuông ngoại tiếp(E)
LG
Giả sử hình vuông ABCD ngoại tiếp (E) khi đó:
Vì AB không thể song song với Oy nên có dạng:y=kx+a
Từ (1) suy ra đường thẳng BC có dạng 
Từ (2) 	(5)
Từ (3) 	(6)
Từ (4) (7)
Giải hệ phương trình tạo bởi (5),(6),(7) ta được 
+Với k=1 suy ra a= ta được phương trình:AB:x-y+3=0 và CD:x-y-3=0
+Với k=-1 suy ra a= ta được phương trình:BC:x+y-3=0 và AD:x+y+3=0
Bài 5:Cho hai elip (): và 
a-Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của hai Elíp.
b-Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai Elíp.
LG
a-Ta có đối xứng với nhau qua O
Vậy đường tròn đi qua A,B,C,D nhận O làm tâm và bán kính 
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình :
Vậy phương trình đường tròn đi qua A,B,C,D có dạng: 
b-giả sử phương trình tiếp tuyến chung (d):y=kx+m
+Đường thẳng (d) tiếp xúc với (1)
+Đường thẳng (d) tiếp xúc với (2)
giải hệ tạo bởi (1) và (2) ta được :và 
-Với và được tiếp tuyến chung
-Với và được tiếp tuyến chung
-Với và được tiếp tuyến chung
-Với và được tiếp tuyến chung
Bài 5:hypebol
A-Kiến thức cơ bản:
1-Định nghĩa :, là hai điểm cố định với =2c. 
Gọi (a<c)
+Trong đó: , là hai têu điểm 
 =2c là tiêu cự
2-Phương trình chính tắc của (H):
 =2a độ dài trục thực ; =2b độ dài trục ảo
3-Trục đối xứng, tâm đối xứng của (H)
hypebol nhận , làm trục đối xứng của (H)có O tâm đối xứng của (H)	
4-Tiếp tuyến của (H):
Phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm :
5-Tâm sai và đường chuẩn của (H).
+ Số tâm sai của (H).
+ Các đường thẳng là hai đường chuẩn của (H) tương ứng với các tiêu điểm và .
6-Điều kiện để đt :Ax+By+C=0 tiếp xúc (H):
7-Bán kính qua tiêu điểm:
B-Bài tập:
Bài 1: Cho (H) có phương trình : (1)
1-Tìm toạ độ các đỉnh ,tiêu điểm và tính tâm sai của (H). 
2-Tìm tung độ của điểm rthuộc (H) có hoành độ x=10 và tính khoảng cách từ điểm đó dến hai tiêu diểm. 
3Tìm giá trị của k để đường thẳng y=kx-1 có điểm chung với (H) trên.
LG
1-Đưa phương trình (H) chính tắc : với 
Toạ độ các đỉnh là: 
Ta có nên hai tiêu điểm là:
Tâm sai 
2-Thay x=10 vào phương trình (H) ta được 
Vậy hai điểm cần tìm thuộc (H) là 
Khoảng cách từ điểm dến hai tiêu diểm là 
3-Thay y=kx-1 vào phương trình (H) ta được: 
Điều kiện có nghiệm
Bài 2:Xác định (H) : biết (H) đi qua điểm và tiếp xúc với đường thẳng:
LG
 Bài 3:Xác định (H): biết (H) tiếp xúc với các đường thẳng:x-3=0 và 
LG
Bài 4: Xác định (H): biết (H) tiếp xúc với các đường thẳng:
5x-6y-16=0 và 
Bài 4: Xác định (H): biết:
a-Đô dài trục thực bằng 8,tâm sai 
b-Tiêu điểm nằm trên trục Ox,độ dài tiêu cự là 20 và một tiệm cận có pt:4x+3y=0
Bài 6:Parabol
A-Kiến thức cơ bản:
1-Định nghĩa:Parabol là quỹ tích những điểm trên một mặt phẳng cách đều một điểm cố định F và một đường thẳng cố định không chứa điểm F.
+Điểm F được gọi là tiêu điểm của parabol
+Đường thẳng gọi là đường chuẩn.
2-Phương trình chính tắc của (P) có dạng:
+Toạ độ 
+Đường chuẩn có phương trình:
+Gốc toạ độ O là đỉnh của (P).
+OF là trục của (P).
3-Phương trình tiếp tuyến của (P) tại :
4--Điều kiện để đt :Ax+By+C=0 là tiếp tuyến (P):
5-Bán kính qua tiêu điểm :
B-Bài tập:
 Bài 1:Cho (P) với phương trình chính tắc là:
1-Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của (P) đó.
2-Một điểm nằm trên (P) có hoành độ x=2.Tính k/c từ điểm đó tới hai tiêu điểm
3-Qua điểm I(2;0) vẽ một đường thẳng thay đổi cắt (P) tai A,B.CMR tich số khoảng cách từ A và B tới trục Ox là một hằng số.
LG
1-Từ phương trình ta có p=6 vậy tiêu điểm của (P) có toạ độ F(3;0) và đường chuẩn có phương trình x=-3
2-Với x=2 thì vậy có hai điểm thuộc (P) là 
Khoảng cách từ chúng tới tiêu điểm F là 
3-Đường thẳng đi qua I(2;0) có phương trình a(x-2)+b(y-0)=0 hay ax+by-2a=0
Toạ độ giao diểm A và B của (P) và đường thẳng (d) là nghiệm của hệ pt.
Từ (2) suy ra thay vào (1) ta được (3)
+Với a=0 phương trình (3) chỉ có một nghiệm 
+Với phương trình (3) luân có hai nghiệm và 
khi đó khoảng cách từ A ,B tới Ox lần lượt là và nên 
Vậy khoảng cách từ A và B tới trục Ox là một hằng số.
Bài 2:Cho điểm F(3;0) và đường thẳng(d):3x-4y+16=0
a-Tính khoảng cách từ F đến (d) từ đó suy ra phương trình đường tròn tâm F và tiếp xúc với đường thẳng (d).
b-Viết phương trình (P) có tiêu điểm F và đỉnh là gốc toạ độ .CMR (P) tiếp xúc với (d) .Tìm toạ độ tiếp điểm 
LG
a-Gọi h là khoảng cách từ F đến (d) ta có 
Đương tròn (C) có tâm F và tiếp xúc với(d) có bán kính R=h=5
Vậy phương trình là:
b-Parabol(P) có tiêu điểm F(3;0) và đỉnhO(0;0) có dạng: 
Ta có p/2=3p=6 Vậy phương trình của (P): 
Toạ độ tiếp điểm là