Hướng dẫn ôn tốt nghiệp: Khảo sát hàm số 12

 y=f(x) lẻ: +Nếu thì (Tập xác định đối xứng qua 0)
 +Với ta có f(-x)=-f(x)
Ví dụ 1:Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau:
a/ y=f(x)= TXĐ:D=(-1;1)
Với ;
Ta có : 
Vậy hàm số đã cho là hàm lẻ.
b/ TXĐ:R
Với ;
 Vậy hàm số đã cho là hàm chẵn.
c/ không chẵn ,không lẻ vì miền xác định không đối xứng qua 0. 
phần II-khảo sát hàm số
I-kháI niệm đồng biến, nghịch biến
1-Định nghĩa:
+Hàm số y=f(x) đồng biến / (a;b) nếu với : 
+Hàm số y=f(x) nghịch biến/(a;b) nếu với: 
2-Liên hệ với đạo hàm:
Định lý:Điều kiện cần và đủ để f(x) đồng biến /(a;b):
 f(x) nghịch biến /(a;b):
Ví dụ 1:Tìm khoảng đồng biến ,nghịch biến của 
LG
Ta có ::
Bảng xét dấu y’:	x -	0	2	+
	y’	+	0	-	0	+
	y
	 `
Vậy với hàm số đồng biến
 hàm số nghịch biến
Ví dụ 2:Chứng minh rằng:
1/ đồng biến (1;+)
Tập xác định:
Ta có :
y’=0
Bảng xét dấu y’: x -1 0 1 
 y’	+ 0	-	- 0	+
 y
Vậy hàm số đồng biến 
2/y=x+cosx đồng biến trên R
Ta có hàm số đồng biến trên R
3/y=5x-3sinx+4cosx đồng biến trên R
Ta có :
Vậy hàm số đồng biến trên R.
II-Cực trị của hàm số:
1-Định nghĩa:
+Hàm số y=f(x) đạt giá trị cực đại tại .Nếu nó xác định tại điểm ấy và 1 lân cận của sao cho thì f(x)<f() ().
+Hàm số y=f(x) đạt giá trị cực tiểu tại .Nếu nó xác định tại điểm ấy và 1 lân cận của sao cho thì f(x)>f() ().
+cực đại cực tiểu gọi chung là cực trị.
2-Liên hệ đạo hàm :
Định lý fecma:Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại và đạt cực trị tai điểm đó thì f’()=0.
Chú ý :Nếu là điểm cực trị của hàm số y=f(x):
-Khi x qua đạo hàm đổi dấu (+) sang (-) là điểm cực đại.
-Khi x qua đạo hàm đổi dấu (-) sang (+) là điểm cực tiểu.
3-Quy tắc 1:(Tìm cực trị).
Ví dụ 1:Tìm điểm cực đại cực tiểu của hàm số: 
 Tập xác định:R
Ta có ::
 x -	-1	1	+
	y’	+	0	-	0	+
	CĐ
	y
	 `	CT
Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-1
 hàm số đạt cực tiểu tại x=1
Ví dụ 2:Cho hàm số y=(x-a)(x-b)(x-c) với a<b<c.CMR hàm số luôn có cực đại , cực tiểu,đồng thời điểm cực đại thuộc khoảng (a;b),còn điểm cực tiểu thuộc khoảng (b;c).
LG
Ta có :y’=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)
Vậy y’(a)=(a-b)(a-c)>0 ; y’(b)=(b-c)(b-a)0
Suy ra tam thức y’ có 2 nghiệm phân biệt và 
Ta có bảng biến thiên: x - a b c +
 y’	 + 0 - 0 	+
	 M
 y
 m
Vậy hàm số luôn có cực đại,cực tiểu và điểm cực đại của hàm số thuộc khoảng (a;b),còn điểm cực tiểu của hàm số thuộc khoảng (b;c)
4-Quy tắc 2:(Tìm cực trị).
Nếu tại có là điểm cực trị.
Nếu là điểm cực đại.
 là điểm cực tiểu.
Ví dụ 1:Tìm điểm cực đại cực tiểu của hàm số: 
 Tập xác định:R
Ta có ::
 y’’=6x Tại x=1 :y’’(1)=6>0x=1 cực tiểu
 x=-1 :y’’(-1)=-6<0x=-1 cực đại.
Chú ý:Quy tắc 2 rất hạn chế dùng vì nó không thuận lợi trong việc khảo sát hàm số và chỉ thuận lợi với những bài toán tìm cực đại ,cực tiểu không liên quan đến khảo sát hàm số.
III-lồi lõm và điểm uốn của đường cong:
1-Định nghĩa:
*Đồ thị hàm số y=f(x) gọi là lồi trên khoảng (a;b) nếu tiếp tuyến tại mỗi điểm của khoảng ấy đều nằm phía trên đồ thị.
*Đồ thị hàm số y=f(x) gọi là lõm trên khoảng (a;b) nếu tiếp tuyến tại mỗi điểm của khoảng ấy đều nằm phía dưới đồ thị.
*Điểm phân chia giữa vùng lồi, vùng lõm của đồ thị gọi là điểm uốn.
2-Liên hệ đạo hàm:
Định lý 1:Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2/(a;b).
a-Nếu f’’(x)<0 với thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.
b-Nếu f’’(x)>0 với thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.
Định lý 2:Cho hàm số y=f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của và có đạo hàm cấp 2 trong lân cận đó (trừ tại điểm ).Nếu đạo hàm cấp 2 đổi đấu khi x qua thì điểm M(;f()) là điểm uốn của đồ thị hàm số.
Ví dụ 1:Tìm khoảng lồi,lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số.
 Tập xác định:R
Ta có : 
Bảng xét dấu y’’: x - 1 +
 y’’	-	 0	+
	ĐT Lồi U(1;-2) Lõm
Chú ý :Tại điểm uốn tiếp tuyến xuyên qua đồ thị.
IV-Tiệm cận:
1-Tiệm cận đứng:
Định lý :Nếu thì đường thẳng d có phương trình là tiệm cận đứng của đồ thị C.(đường thẳng song song với trục tung)
Ví dụ 1:Cho hàm số 
Ta có : và 
Vậy hàm số có 2 tiệm cận đứng x=1;x=2
ví dụ 2:Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau:
Vì nên x=2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Chú ý : () thì đường thẳng được gọi là tiệm cận đứng bên phải(bên trái).
2-Tiệm cận ngang:
Định lý :Nếu thì đường thẳng d có phương trình là tiệm cận ngang của đồ thị C.(đường thẳng song song với trục hoành)
Ví dụ 1:Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y=2
Vì 
Ví dụ 2:Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:
a/ vì là tiệm cận ngang.
b/ vì là tiệm cận ngang của đt hàm số.
2-Tiệm cận xiên:
a-Định lý:Điều kiện cần và đủ để đường thẳng y=ax+b là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là 
 hoặc (Tiệm cận về bên trái)
 hoặc (Tiệm cận về bên phải)
Ví dụ 1:Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y=2x-1
Vì 
b-Cách xác định hệ số a và b của tiệm cận xiên y=ax+b.
Ví dụ 2:Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
a/
Ta có : 
vậy đồ thị y=2x-1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số .
Ví dụ 3:Tìm tiệm cận của hàm số:
a/
+/TH1: ) 
Vậy y=x là tiệm cận xiên bên phải.
+/TH2: ) 
Tương tự:y=-x là tiệm cận xiên bên trái.
b/
+/TH1: ) 
Vậy là tiệm cận ngang bên phải
+/TH2: ) 
Vậy là tiệm cận xiên bên trái.
Chú ý:Với hàm số thì đường thẳng y=Ax+B
là tiệm cận xiên.
V-những hàm số thường gặp:
1-Khảo sát hàm bậc ba:
Ví dụ :Khảo sát hàm số.
a/
b/
Chú ý :
+Đồ thị hàm bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
+Đồ thị hàm bậc ba luôn cắt 0x tại ít nhất một điểm.
+Đồ thị cắt 0x tại 3 điểm phân biệt khi 
2-Khảo sát hàm bậc bốn:
Ví dụ :Khảo sát hàm số.
a/
b/ 
3-Khảo sát hàm phân thức :
Ví dụ : Khảo sát hàm số.
a/
b/
3-Khảo sát hàm phân thức :
Ví dụ :Khảo sát hàm số.
a/
b/
Chú ý :
+ Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
+ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại ,cực tiểu 
Thật vậy hàm số có 
Hoành độ của các điểm cực trị là nghiệm của y’ tức là:
Vậy từ (1) và (2)
Bài 1:khảo sát hàm bậc 3
Bài 1: Cho hàm số : (C)
1/ Khảo sát hàm số.
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số,trục hoành và các đường thẳng x=2,x=4.
3/ Một dường thẳng d đi qua gốc toạ độ 0 có hệ số góc m.Với giá trị nào của m thì
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ?Gọi ba điểm phân biệt lần lượt là O,A,B.Tìm tập hợp trung điểm I của AB khi m thay đổi.
4/ Từ đồ thị hàm số đã cho hãy suy ra đồ thị của hàm số:.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
LG
1/Khảo sát hàm số : 
1-Tập xác định:R
2-Sự biến thiên.
a-Chiều biến thiên: 
 Hàm số đồng biến 
 Hàm số nghịch biến
b-Cực trị:Hàm số đạt cực đại tại :
 Hàm số đạt cực tiểu tại :
c-Giới hạn: :
d-Bảng biến thiên:	x -	1	3	+
 y’	+	0	-	0	+
	4	 +
 y	
 - 0
e-Tính lồi lõm và điểm uốn:
Bảng xét dấu y’’: x - 	2	+
 y’’ - 0	+
	ĐT	lồi ĐU(2;2)	lõm
3-Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm uốn (2;2) làm tâm đối xứng 
Giao với trục ox tại O(0;0) ; A(3;0) 
2/Ta có 
3/Đường thẳng d có phương trình là y=mx .Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phương trình 
đt d cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi phương trình : có hai nghiệm 
phân biệt khác 0.
Ta có và là nghiệm của phương trình: do đó +=6
Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: 
Vậy tập hợp của I được xác định bởi 
4/Ta có đồ thị của hàm số: là hàm số chẵn do đó đồ thị của chúng đối xứng qua trục toạ độ
Từ đồ thị hàm số ta giữ nguyên phần đồ thị ứng với x>0 .Bỏ phần đồ thị ứng với x<0 .Sau đó lấy đối xứng phần đồ thị được giữ lại qua 0y ta được đồ thị cần tìm.
*Từ đồ thị suy ra ;
+Nếu3-m3:PT vô nghiệm
+Nếu3-m=0 tức m=3:PT có 3 nghiệm
+Nếu0<3-m<4 tức -1<m<3:PT có 6 nghiệm
+Nếu3-m=4 tức m=-1:PT có 4 nghiệm
+Nếu3-m>4 tức m<-1:PT có 2 nghiệm
Bài 2: Cho hàm số : 
1/ Khảo sát hàm số.
2/ Dựa vào đt (C) của hàm số,biện luận theo m số nghiệm của pt: 
3/ Tính diện tích hình hình hữu hạn bị chắn về phía trên bởi đường thẳng y=2 và về phía dưới bởi đồ thị (C).
4/ CMR khi m thay đổi đt cho bởi phương trình y=m(x+1)+2 luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm A cố định.Hãy xác định các giá trị của m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (C) tại ba điểm A,B,C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau.
LG
1/ Khảo sát hàm số:
1-Tập xác định:R
2-Sự biến thiên.
a-Chiều biến thiên: 
Hàm số đồng biến ;Hàm số nghịch biến
b-Cực trị:Hàm số đạt cực đại tại :
 Hàm số đạt cực tiểu tại :
c-Giới hạn: :
d-Bảng biến thiên: x -	-1	1	+
 y’	+	0	-	0	+
 2	+
 y
	- -2	
e-Tính lồi lõm và điểm uốn:
Bảng xét dấu y’’: x - 	0	+
 y’’ - 0	+
 ĐT lồi ĐU(0;0) lõm
3-Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm uốn O(0;0) làm tâm đối xứng
Giao với trục ox tại
 A’(-;0);A(;0) 
2/Viết phương trình đường thẳng đã cho dưới dạng:
*Nếu –m2 thì phương trình có 1 nghiệm
*Nếu –m=-2 hay m=2 thì phương trình có 2 nghiệm
*Nếu -2<–m<2 hay -2<m<2 thì phương trình có 3 nghiệm
*Nếu –m=2 hay m=-2 thì phương trình có 2 nghiệm
*Nếu –m>2 hay m<-2 thì phương trình có 1 nghiệm
3/Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình 
Vậy diện tích hình phẳng là: 
4/Gọi là điểm cố định khi đó pt có nghiệm 
Ta thấy A(-1;2) thuộc đồ thị hàm số đã cho
*Xét phương trình giao điểm 
Vậy điều kiện để đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm A,B,C phân biệt và tiếp tại B,C vuông góc là pt : có hai nghiệm phân biệt khác -1 và 
Bài 3: Cho hàm số : (1)
1/ Khảo sát hàm số với .(C)
2/ Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
3/ Tìm trên đồ thị (C) các điểm mà tại đó tiếp tuyến vuông góc với đt:
LG
1/ Khảo sát hàm số:
1-Tập xác định:R
2-Sự biến thiên.
a-Chiều biến thiên: 
Hàm số đồng biến ;Hàm số nghịch biến
b-Cực trị:Hàm số đạt cực đại tại :
 Hàm số đạt cực tiểu tại :
c-Giới hạn: :
d-Bảng biến thiên: : x -	-1	1	+
 y’	+	0	-	0	+
 y 	+
 -	0
e-Tính lồi lõm và điểm uốn:
Bảng xét dấu y’’: x - 	0	+
 y’’ - 0	+
	ĐT	lồi ĐU(0;0)	lõm
3-Đồ thị: 
Đồ thị nhận điểm uốn U(0;) làm tâm đối xứng
Giao với trục Ox tại (1;0)
2/Điều kiện để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là:
Ta có : 
Vậy 
3/Gọi hệ số góc tiếp tuyến là k ta có :k=3
gọi là hoành độ tiếp điểm :
Vậy các điểm đó là:và: :
Bài 4: Cho hàm số : 
1/ Khảo sát hàm số với m=1.
2/ Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại,cực tiểu đối xứng với nhau qua đt: y=x 
3/ Xác định m để đt y=x cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A,B,C sao cho AB=BC
LG
1/ Khảo sát hàm số:
1-Tập xác định:R
2-Sự biến thiên.
a-Chiều biến thiên: 
Hàm số đồng biến ;Hàm số nghịch biến
b-Cực trị:Hàm số đạt cực đại tại :
 Hàm số đạt cực tiểu tại :
c-Giới hạn: :
d-Bảng biến thiên: : x -	0	1	+
 y’	+	0	-	0	+
 y 	+
 - 0
e-Tính lồi lõm và điểm uốn:
Bảng xét dấu y’’: x - 1/2	+
 y’’ - 0	+
	ĐT lồi ĐU(;)	lõm
3-Đồ thị: 
Đồ thị nhận điểm uốn I() làm tâm đối xứng
Giao điểm với trục Ox: (1;0) 
2/Tacó 
ta thấy với thì y’ đổi dấu khi đi qua các nghiệm do vậy hàm số có CĐ,CT
+Nếu m>0 hàm số có CĐ tại x=0 và;có CT tại x=m và 
+Nếu m<0 hàm số có CĐ tại x=m và ;có CT tại x=0 và 
Gọi A và B là các điểm cực trị của hàm số.Để A và B đối xứng với nhau qua đường phân giác y=x,điều kiện ắt có và đủ là tức là: 
3/Theo tính chất của đồ thị hàm bậc ba,điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị do đó 
từ giả thiết B là trung điểm đoạn AC suy ra B phải trùng với điểm uốn.
Ta có ; tung độ điểm uốn:
Theo giả thiết B thuộc đường thẳng y=x do đó: 
Bài 2:khảo sát hàm bậc 4
Bài 1: Cho hàm số : (C)
1/Khảo sát hàm số.
2/Dùng đồ thi (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
3/Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
LG
1/ Khảo sát hàm số
1-Tập xác định:R
2-sự biến thiên:
a-chiều biến thiên:
Hàm số đồng biến 
Hàm số nghịch biến 
b-Cực trị:hàm số đạt cực đại tại:
 đạt cực tiểu tại:
c-giới hạn: Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
d-bảng biến thiên : x -1	0	1 
 y’	+	0	-	0	+	0	-
 1 1
 y
 0 
e-Tính lồi lõm và điểm uốn:
Bảng xét dấu y’’: x 	
 y’’ 	-	0	+	 0	-
 ĐU	ĐU	
 ĐT lồi ( 	lõm (	lồi
3-Đồ thị:
Đồ thị nhận oy làm trục đối xứng
Giao với trục Ox tại () ; ()
2/ Phương trình: 
nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng y=m
Do đó ta có:m<0 Phương trình có hai nghiệm đơn
 m=0 Phương trình có ba nghiệm
 0<m<1 Phương trình có bốn nghiệm
 m=1 Phương trình có hai nghiệm kép
 m>1 Phương trình vô nghiệm
3/ Ta có: ta được x=0 và
vậy 
Bài 2: Cho hàm số : với a và b là các tham số.
1/Tìm a và b để hàm số đạt cực trị bằng -2 khi x=1.
2/Khảo sát hàm số khi (C)
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
LG
1/Ta có hàm số đạt cực trị bằng -2 khi x=1 nên ta có:
Với dễ thấy f’(x) đổi dấu khi đi qua x=1
2/Khi ta có :
1-Tập xác định:R
2-sự biến thiên:
a-chiều biến thiên: 
Hàm số đồng biến 
Hàm số nghịch biến 
b-Cực trị:hàm số đạt cực đại tại:
 đạt cực tiểu tại:
c-giới hạn: Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
d-bảng biến thiên : x 	-1	0	1 
 y’	-	 0	+	0	-	0	+
 	 -3/2 
 y
	 -2	-2	 
 e-Tính lồi lõm và điểm uốn: 
Bảng xét dấu y’’: x 
 y’’ 	+	0	-	 0	+
 ĐU	ĐU	
 ĐT lõm ( lồi ( lõm
3-Đồ thị:
Đồ thị nhận oy làm trục đối xứng
Giao với trục Ox tại () ; ()
3/Ta có: :
Do tính chất đối xứng của (C) nên diện tích hình phẳng là:
Bài 3: Cho hàm số : (C)
1/ Khảo sát hàm số với m=3.
2/Giả sử đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt .Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau.
LG
1/Với m=3 ta có:
1-Tập xác định:R
2-sự biến thiên:
a-chiều biến thiên: 
Hàm số đồng biến ; Hàm số nghịch biến 
b-Cực trị:hàm số đạt cực đại tại:
 đạt cực tiểu tại:
c-giới hạn: Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
d-bảng biến thiên : x 	0 	
 y’	-	 0	+	0	-	0	+
 	 3 
 y
	 -1	-1
e-Tính lồi lõm và điểm uốn:
Bảng xét dấu y’’: x 	
 y’’ 	+	0	-	 0	+
 ĐU	ĐU	
 ĐT lõm ( lồi (lõm
3-Đồ thị:
Đồ thị nhận oy làm trục đối xứng
Giao với trục Ox tại () ; ()
2/Để pt: (1) có bốn nghiệm phân biệt thì pt phải có hai nghiệm dương phân biệt:
*Gọi các nghiệm của (1) là do tính chất đối xứng của đồ thị qua trục tung nên để diện tích hình phẳng phần trên và phần dưới trục hoành bằng nhau ta phải có 
 (2)
thay vào (2) ta được 
Bài 3:khảo sát hàm bậc 1/1
Bài 1 : Cho hàm số ( m là tham số )
1/ Khảo sát hàm số với m=2.
2/Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
3/Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số nêu ở câu (1) .các trục ox,oy và đường thẳng x=2.
LG
1/Khi m=2 ta có 
1-Tập xác định:D=R\{-1}.
2-Sự biến thiên.
a-Chiều biến thiên.
Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng
b-Cực trị:hàm số không có cực trị
c-giới hạn: ; 
hàm số có tiệm cận đứng x=-1
 hàm số có tiệm cận ngang 
d-Bảng biến thiên: x -	 -1	+
 y’	-	-
 y +
 	-	
3-Đồ thị:Đồ thị nhận I(-1;) làm tâm đốí xứng
Giao với trục toạ độ:Ox () Oy (0; 
2/Với m=0 hàm số trở thành .Hàm số đồng biến trên R
Với Ta có
Vậy với thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
3/Ta có
Bài 2: : Cho hàm số 
1/ Khảo sát hàm số.
2/ M là một điểm có hoành độ và thuộc đồ thị.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M.
3/Tính khoảng cách từ điểm I(-1;1) đến tiếp tuyến đó.Xác định a để khoảng cách này là lớn nhất.
LG
1-Tập xác định:D=R\{-1}.
2-Sự biến thiên.
a-Chiều biến thiên.
Hàm số luôn đồng biến trên khoảng
b-Cực trị:hàm số không có cực trị
c-giới hạn: ; 
hàm số có tiệm cận đứng x=-1 
 hàm số có tiệm cận ngang 
d-Bảng biến thiên: : x -	 -1	+
 y’	+	+
 y + 1 	
	 1	-
3-Đồ thị:
Đồ thị nhận I(-1;) làm tâm đối xứng
Giao với trục toạ độ:Ox ()
 Oy (0;) 
2/Toạ độ điểm Tacó 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M: 
3/ Ta có trong đó 
Vậy do đó 
Theo bất đẳng thức côsi :
Nên 
Dấu bằng xảy ra 
Khoảng cách d đạt giá trị lớn nhất khi 
Bài 3: Cho hàm số (C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
2/Cho điểm A(0;a) .Xác định a đẻ từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục ox.
LG
1-Tập xác định:D=R\{1}.
2-Sự biến thiên.
a-Chiều biến thiên.
Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng
b-Cực trị:hàm số không có cực trị
c-giới hạn: ; 
hàm số có tiệm cận đứng x=1 
 hàm số có tiệm cận ngang 
d-Bảng biến thiên: x -	 1	+
 y’	-	-
 y 1 +
	-	1
3-Đồ thị:
Đồ thị nhận I(1;) làm tâm đối xứng
Giao với trục toạ độ:Ox (-)
 Oy (0;) 
2/Phương trình tiếp tuyến qua A(0;a) có dạng y=kx+a (1)
Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A: có nghiệm 
Thay (3) vào (2) và rút gọn ta được:
Để (4) có 2 nghiệm là:
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của (4) 
Tung độ tiếp điểm là , 
 Để hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục ox là:
Vậy thoả mãn điều kiện bài toán.
Bài 4: a/Vẽ đồ thị hàm số : (C)
b/Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến ấy song song với với đường thẳng (d):2x+y-1=0
c/Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của p t:
LG
1-Tập xác định:D=R\{1}.
2-Sự biến thiên.
a-Chiều biến thiên.
Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng
b-Cực trị:hàm số không có cực trị
c-giới hạn: ; hàm số có tiệm cận đứng x=1
 hàm số có tiệm cận ngang 
d-Bảng biến thiên: x -	 1	+
 y’	-	-
 1 +
 y	
	-	1
3-Đồ thị:
Đồ thị nhận I(1;) làm tâm đối xứng
Giao với trục toạ độ:Ox (-)
 Oy (0;) 
2/Gọi hoành độ tiếp điểm ta có:
Vậy tiếp tuyến tại (0;-1) là :y=-2x-1
 	tại (2;3) là :y=-2x+7
3/ Phương trình: 
VT là đồ thị hàm số (C):VP là đường thẳng song song với các tiếp tuyến của đt (C)
Vậy +với phương trình có hai nghiệm
 +với phương trình vô nghiệm
Bài 4:khảo sát hàm bậc 2/1
Bài 1:Cho hàm số : (C)
1/ Khảo sát hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số kẻ từ điểm A(-2;0) kiểm nghiệm rằng hai tiếp tuyến đó vuông góc.
3/Tính diện tích tam giác chắn bởi Oy và hai tiếp tuyến trên.
LG
1/Ta có 
1-Tập xác định:D=R\{0}.
2Sự biến thiên:
a-Chiều biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng 
Hàm số nghịch biến trên khoảng 
b-Cực trị:hàm số đạt cực đại tại 
 đạt cực tiểu tại 
c-Giới hạn: : ; 
hàm số có tiệm cận đứng x=0
 đường thẳng y=x là tiệm cận xiên 
 d-Bảng biến thiên: x - -1	 0	 1	 +
 y’ + 0	 -	 -	 0	+
 + - - + 
 y
 	 -2 2
 3-Đồ thị
Đồ thị nhận O(0;0) làm tâm đối xứng
2/Đường thẳng d qua A(-2;0) và không song song với oy có pt: y= k(x+2) 
Điều kiện d là tiếp tuyến của (C): có nghiệm
Thay (3) vào (2) ta được: :
Vậy có hai tiếp tuyến At và At’ là: ; 
Ta thấy vậy hai tiếp tuyến đó vuông góc
3/Tiếp tuyến At cắt oy tại ; Tiếp tuyến At’ cắt oy tại 
Vậy tam giác ABC có diện tích:
Bài 2:Cho hàm số : (C)
1/ Khảo sát hàm số.
2/Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số và hai trục toạ độ.
3/đt (C) cắt trục hoành tại hai điểm A và B.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại hai điểm này .Tìm toạ độ giao điểm của hai tiếp tuyến đó.
LG
1/Ta có:
1-Tập xác định:D=R\{3}.
2Sự biến thiên:
a-Chiều biến thiên:
 Hàm số đồng biến trên khoảng 
b-Cực trị:hàm số không có cực trị
c-Giới hạn: 
 ; 
hàm số có tiệm cận đứng x=3
 đường thẳng y=x+1 là tiệm cận xiên 
d-Bảng biến thiên: x - 3	 +
 y’	+	+
	 +	+
	y
 -	 -
3-Đồ thị:
Đồ thị nhận I(3;4) làm tâm đối xứng
Giao với trục Ox tại:A(-3;0) ;B(5;0)
 Oy tại:C(0;5) 
2/Ta có 
3/Hoành độ của A,B là nghiệm của phương trình: :
Ta tìm được A(-3;0),B(5;0) do đó 
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(-3;0) là 
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại B(5;0) là 
toạ độ giao điểm của hai tiép tuyến là S(9;16)
Bài 3:Cho hàm số (C)
1/ Khảo sát hàm số.
2/Tính diện tích hình phẳng giớ hạn bởi đồ thị (C) của hàm số,đường tiệm cận xiên của (C) và hai đường thẳng x=2;x=.Tính dể diện tích này bằng 2 đv dt
3/ là điểm bất kỳ thuộc (C).CMR tích các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (C) bằng một hằng số(không phụ thuộc M)
LG
1/Khảo sát hàm số 
1-Tập xác định:D=R\{1}.
2Sự biến thiên:
a-Chiều biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng 
Hàm số nghịch biến trên khoảng 
b-Cực trị:hàm số đạt cực đại tại 
 đạt cực tiểu tại 
c-Giới hạn: 
 ; 
 hàm số có tiệm cận đứng x=1
 đường thẳng y=-x+3 là tiệm cận xiên 
 ; 
d-Bảng biến thiên: x - 0	 1	2	+
 y’ - 0	+	+	0	-
	+	 +	0
	y
 	4	-	-
3-Đồ thị:
Đồ thị nhận I(1;2) làm tâm đối xứng
Giao với trục Ox tại:A(2;0) 
 Oy tại:C(0;4) 
2/Ta có 
Theo giả thiết :
3/áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đt:Ax+By+C=0
là ta được:
Khoảng cách từ đến tiệm cận