Kiến thức Cơ bản 12 – Học kỳ 1 - Môn Toán

KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN 12 – HOÏC KYØ 1
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
1) Tính tăng giảm và cực trị:Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
* y = C Û y’= 0 "x Î D
* Hàm số tăng trên D Û y’ ³ 0, "xÎD
* Hàm số giảm trên D Û y’ £ 0, "xÎD
* Hàm số có cực trị Û y’= 0 hoặc không xác định tại xo & đổi dấu khi x qua xo.
* Hàm số có cực trị tại x0 Û 
* Hàm số đạt CĐ (CT) tại x0 Û 
Chú ý:
Ÿ Đối với hàm nhất biến : Hàm số tăng Û y’ > 0 ; 
 Hàm số giảm Û y’ < 0
Ÿ Nếu y’ có dạng tam thức bậc hai thì: Hàm số có cực trị 
Û y’ đổi dấu hai lần Û y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt Û D > 0
2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của y = f (x) trên
Khoảng (a ; b )
Đoạn [a;b]
Ÿ Tính y’ 
Ÿ Lập BBT trên (a ; b )
Ÿ Kết luận : 
 hoặc 
Ÿ Tính y’ 
Ÿ Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm 
Ÿ Tính y (x0 ) , y(a) , y (b)
 Chọn số lớn nhất M , nhỏ nhất m kết luận 
, 
3)Khảo sát hàm số Gồm các bước:
Bước 1: Tập xác định.	
Bước 2: Tính và xét dấu y’ ( y’=0 Û x=? Þ y=?)
Bước 3: giới hạn bên phải, giới hạn bên trái tại điểm gián đoạn (hàm nhất biến), giới hạn khi x dần đến +¥, −¥ đồng thời chỉ ra tiệm cận (nếu có).
Bước 4: Tóm tắt 3 bước trên qua bảng biến thiên.
	Kết luận về tính tăng giảm và cực trị của hàm số
Bước 5: Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung, trục hoành (nếu có), tìm thêm điểm phụ (nếu cần) rồi vẽ đồ thị hàm số.
a) Hàm bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ( a ¹ 0)
* D = R. * y’ = 3ax2 – 2bx + c
* Có 2 cực trị (D’ > 0) hoặc không có cực trị (D’ 0). Lúc đó
Hàm số luôn đồng biến (nghịch biến) trên R khi a > 0 (a < 0) 
Đồ thị đối xứng qua điểm uốn.
b) Hàm trùng phương: y = ax4 + bx2 + c ( a ¹ 0)
* D = R. * y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)
* Có 3 cực trị (a.b < 0 hoặc chỉ có 1 cực trị(a.b ≥ 0).
* Đồ thị có trục đối xứng là trục tung 
c) Hàm nhất biến: y =( c ≠ 0 & ad – bc ≠ 0)
* D = \; 
* y’ luôn dương hoặc luôn âm. Không có cực trị.
* Có một TCĐ: x = − d/c và một TCN: y = a/c
CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ
Vấn đề 1: Sự tương giao của hai đường
	y = f(x): (C) ;	y = g(x): (C’)
Ÿ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) & (C’): f(x) = g(x) Số nghiệm của phương trình là số điểm chung
Vấn đề 2: Biện luận số nghiệm của 1 phương trình bằng đồ thị 
Ÿ Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = m hay f(x) = h(m) (1)
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = m (h(m)) cùng phương Ox.
Ÿ Số điểm chung là số nghiệm của phương trình (1)
Vấn đề 3: Điều kiện tiếp xúc giữa hai đường 
	y = f(x): (C);	y = g(x): (C’)
Ÿ Điều kiện (C) và (C’) tiếp xúc nhau Û Hệ phương trình sau có nghiệm:
( Nghiệm của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm)
Vấn đề 4: Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):y=f(x)
Phương trình tiếp tuyến với (C) của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm M (x0 ; y0 ) là: y – y0 = y’ (x0) . ( x – x0 ) 
 Trong phương trình trên có ba tham số x0 ; y0 ; y’(x0) .Nếu biết một trong ba số đó ta có thể tìm 2 số còn lại nhờ hệ thức : y0 = f (x0) ; y’(x0)= f ’(x0).
Chú ý :
Ÿ k = y’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của ( C ) tại M ( x0 ; y0 )
Ÿ Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì k = a
Ÿ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì k =
Các dạng thường gặp
 Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm M0(x0 ; y0)có pttt y = y’(x0)(x – x0) + y0 
 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.
Gọi M0(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là:	y = y’(x0)(x – x0) + y0
Giải phương trình y’(x0) = k tìm x0 và y0 .
 *Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) y = f(x) , biết tiếp tuyến đi qua A(xA ; yA)
Gọi M0(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là:	y = y’(x0)(x – x0) + y0
tiếp tuyến đi qua A(xA ; yA) nên yA = y’(x0)(xA– x0) + y0
giải pt này tìm được x0, trở về dạng 1
Vấn đề 5: Điểm cố định của họ đường (Cm): y=f(x,m)
 (dồn m, rút m, khử m)
A(x0,y0) là điểm cố định của (Cm)Û A(x0,y0) Î (Cm), "m
Û y0 = f(x0,m), "m
Û Am2 + Bm + C = 0,"m hoặc Am + B = 0, "m
Giải hệ phương trình trên để tìm điểm cố định.
Vấn đề 6: Tập hợp điểm M(x;y)
Ÿ Tính x và y theo tham số 
Ÿ Khử tham số để tìm hệ thức giữa x và y
Ÿ Giới hạn quỹ tích (nếu có).
Vấn đề 7: CMR điểm I(x0;y0) là tâm đối xứng của (C):y=f(x)
Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo . 
Công thức đổi trục: 
Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X)
Chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ. 
Suy ra I(x0;y0) là tâm đối xứng của (C).
Vấn đề 8: CMR đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C).
Dời trục bằng phép tịnh tiến 
Công thức đổi trục 
Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X)
C minh hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn. 
Suy ra đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C).
HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Hàm số mũ y = a x; TXĐ D = R
Hàm số lgarit y = logax, ĐK:; TXĐ D = (0; +¥)
Các công thức
 Công thức lũy thừa: Với a > 0, b > 0; m, n ÎR ta có:
 = a-n ; ao = 1; a-1 = ; 
Ÿ anam = an+m ; 	Ÿ (an)m = anm ; 	Ÿ (ab)n = anbn;	
Ÿ ;	Ÿ .
‚ Công thức logarit: logab = c Û ac = b (0 0)
 Với 0 0; a ÎR ta có:
Ÿ logaa = 1 ; Ÿ loga`1 = 0 ; Ÿ; Ÿ alogbx = xlogba.
Ÿ loga(x1x2)=logax1+logax2 ; Ÿ loga= logax1-logax2;
Ÿ logaxa = a.logax Ÿ;(logaax=x); 
Ÿ logba.logax=logbx; Ÿ logax=;(logab=). 
Phương trình và bất phương trình mũ-logarit
1/ Phương trình mũ - logarít cơ bản : 
 Dạng ax = b (0 < a ≠ 1 )
Ÿ b0 : pt vô nghiệm 
Ÿ b > 0 : 
Dạng ( 0 < a ≠ 1)
Ÿ Điều kiện : x > 0
Ÿ 
2/Bất phương trình mũ- lôgarít cơ bản : 
 Dạng ax > b (0 < a ≠ 1)
Ÿ b0 : Bpt có tập nghiệm R
Ÿ b > 0 : 
khi a > 1: 
khi 0 < a < 1: .
Dạng ( 0 < a ≠ 1)
Ÿ Điều kiện : x > 0
Khi a > 1 
khi 0 < a < 1 .
 3/ Cách giải :Đưa về cùng cơ số – Đặt ẩn phụ .
HÌNH HỌC
Nhắc lại Các công thức tính diện tích.
a/ Công thức tính diện tích tam giác:
 a.ha = 
 với
Đặc biệt : Ÿvuông ở A : ,
 Ÿ đều cạnh a: 
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn)
d/ Diện tích hình thang : (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao 
f/ Diện tích hình tròn : .
Chú ý:
Ÿ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a, 
Ÿ Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a, 
Ÿ Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là 
d = ,
 Ÿ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 
 Ÿ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông, ) và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
Ÿ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
THỂ TÍCH
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V = B.h . 
 (B diện tích đáy, h chiều cao)
Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c 
 ( a,b,c là ba kích thước)
Thể tích khối lập phương: V = a3 
 ( a là độ dài cạnh) 
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: V =Bh 
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có: .
4. KHỐI NÓN:	Ÿ V = πr2h ; Ÿ Sxq = πrl .
5. KHỐI TRỤ: Ÿ V = π r2h ; Ÿ Sxq = 2πrl . 
6. KHỐI CẦU : Ÿ V = ; Ÿ S = 4 πr2 . 
Nắm chắc, hiểu lý thuyết, phương pháp + làm nhiều bài tập Þ THÀNH CÔNG.