Lượng giác - Chương VIII: Phương trình lượng giác không mẫu mực

 CHƯƠNG VIII 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC 
 Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM 
 Áp dụng Nếu A 0 B 0
A B 0
≥ ∧ ≥⎧⎨ + =⎩ thì A = B = 0 
Bài 156 Giải phương trình: 
 2 24 cos x 3tg x 4 3 cos x 2 3tgx 4 0 (*)+ − + + = 
Ta có: 
( ) ( )⇔ − + +
⎧ =⎪⎪⇔ ⎨⎪ = −⎪⎩
π⎧ = ± + π ∈⎪⎪⇔ ⎨⎪ = −⎪⎩
π⇔ = − + π ∈


2 2
(*) 2 cos x 3 3tgx 1 0
3cos x
2
1tgx
3
x k2 , k
6
1tgx
3
x k2 , k
6
=
Bài 157 Giải phương trình: 
 ( )28cos4x.cos 2x 1 cos3x 1 0 *+ − + = 
Ta có: ( ) ( )⇔ + + + −* 4 cos 4x 1 cos 4x 1 1 cos 3x 0= 
( )
( )
⇔ + + + −
⇔ + + − =
⎧ ⎧= − = −⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪= = π ∈⎩ ⎩ 
2
2
4 cos 4x 4 cos 4x 1 1 cos 3x 0
2 cos 4x 1 1 cos 3x 0
1 1cos 4x cos 4x
2 2
cos 3x 1 3x k2 , k
=
⎧ = −⎪⎪⇔ ⎨ π⎪ = ∈⎪⎩ 
1cos 4x
2
k2x , k (có 3 đầu ngọn cung)
3
⎧ = −⎪⎪⇔ ⎨ π π⎪ = − π = π = + π ∈⎪⎩
π⇔ = ± + π ∈


1cos 4x
2
2 2x +m2 hay x m2 hay x m2 , m 
3 3
2x m2 , m
3
(ta nhận = ±k 1 và loại k = 0 ) 
Bài 158 Giải phương trình: 
 ( ) ( )22 3 3sin 3xsin x cos3xsin x sin3x cos x sin xsin 3x *3sin4x+ + = 2 
Ta có: 3 3cos3x.sin 3x sin 3x.cos x+( ) ( )
( )
= − + −
= − + = −
= =
3 3 3 3
3 3 2
4 cos x 3cos x sin x 3sin x 4 sin x cos x
3cos x sin x 3sin x cos x 3sin x cos x cos x sin x
3 3sin 2x.cos 2x sin 4x
2 4
2 
( )
( )
⇔ + = ≠
⎛ ⎞⇔ − − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⇔ − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 2 2
2
2 4 2
2
2 2 2
1Vậy: * sin x sin 3x sin x sin 3x và sin 4x 0
4
1 1 1sin 3x sin x sin 3x sin 3x 0 và sin 4x 0
2 4 4
1 1sin 3x sin x sin 3x 1 sin 3x 0 và sin 4x 0
2 4
≠
≠
⎛ ⎞⇔ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
≠⎧⎪⎪⇔ =⎨⎪ = ∨ =⎪⎩
2
2 2
2
1 1sin 3x sin x sin 6x 0 và sin 4x 0
2 16
sin 4x 0
1 sin 3x sin x
2
sin 3x 0 cos 3x 0
≠
≠⎧≠⎧ ⎪⎪ ⎪⇔ = ∨ =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ = ±⎪⎩
sin 4x 0sin 4x 0
1sin 3x 0 sin x
2
sin x 0 (VN) sin 3x 1
≠⎧⎪⎪⇔ =⎨⎪⎪ − =⎩ 3
sin 4x 0
1sin x
2
3sin x 4 sin x 1±
 ≠⎧⎪⇔ ⎨ =⎪⎩
≠⎧⎪⇔ π π⎨ = + π ∨ + π ∈⎪⎩
π π⇔ = + π ∨ = + π ∈


sin 4x 0
1sin x
2
sin 4x 0
5x k2 k2 , k
6 6
5x k2 x k2 , k
6 6
 Trường hợp 2 Phương pháp đối lập 
 Nếu A M B
A B
≤ ≤⎧⎨ =⎩ thì A B M= = 
Bài 159 Giải phương trình: − = +4 4sin x cos x sin x cos x (*) 
Ta có: (*) ⇔ − = +2 2sin x cos x sin x cos x 
⇔ − = +
≤⎧⎪⇔ ⎨ = +⎪⎩
≤⎧ ≤⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ = = ±− =⎪ ⎩⎩
⇔ = −
π⇔ = + π ∈ 
2
2
cos 2x sin x cos x
cos 2x 0
cos 2x 1 2 sin x cos x
cos 2x 0 cos 2x 0
sin 2x 0 (cos 2x 1)sin 2x 2 sin 2x
cos 2x 1
x k , k
2
Cách khác 
Ta có − ≤ ≤ ≤ +4 4 4x cos x sin x sin x sin x cos xsin 
Do đó 
=⎧⎪⇔ ⇔ =⎨ =⎪⎩ 4
cos x 0
(*) cos x 0
sin x sin x
π= + π ∈ x k , k
2
 ⇔
Bài 160: Giải phương trình: ( ) 2cos2x cos4x 6 2sin 3x (*)− = +
Ta có: (*) 2 24 sin 3x.sin x 6 2sin 3x⇔ = +
• Do: và 2sin 3x 1≤ 2sin x 1≤ 
 nên 2 24 sin 3x sin x 4≤ 
• Do nên 6 2≥ −sin 3x 1 sin3x 4+ ≥ 
 Vậy 2 24 sin 3x sin x 4 6 2sin 3x≤ ≤ +
 Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi 
⎧ = ⎧⎪ == ⇔⎨ ⎨ = −⎩⎪ = −⎩
2
2
2
sin 3x 1
sin x 1sin x 1
sin 3x 1sin 3x 1
π⎧ = ± + π ∈ π⎪⇔ ⇔ = +⎨⎪ = −⎩
 π ∈ x k2 , k x k2 , k2
2sin 3x 1
Bài 161 Giải phương trình: 
3 3cos x sin x 2cos2x (*)
sin x cos x
− =+ 
Điều kiện: si n x 0 cosx 0≥ ∧ ≥
Ta có: (*) 
( ) ( ) ( ) ( )2 2cos x sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x⇔ − + = − + 
 ( ) ( )
− =⎡⎢⇔ + = + +⎢⎣
cos x sin x 0 (1)
1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x (2)
Ta có: (1) π⇔ = ⇔ = + π ∈ tgx 1 x k , k
4
  Xét (2) 
 Ta có: khi si thì n x 0≥ ≥ ≥ 2sin x sin x sin x 
 Tương tự ≥ ≥ 2cos x cos x cos x 
 Vậy si và nx cosx 1+ ≥ sin x cos x 1+ ≥ 
 Suy ra vế phải của (2) thì 2≥
 Mà vế trái của (2): 1 31 sin 2x
2 2
+ ≤ 
 Do đó (2) vô nghiệm 
 Vậy: (*) π⇔ = + π ∈ x k , k
4
Bài 162: Giải phương trình: 3 cos x cos x 1 2(*)− − + = 
 Ta có: (*) 3 cos x 2 cos x 1⇔ − = + + 
 ( )
3 cos x 5 cos x 4 cos x 1
2 cos x 1 4 cos x 1
⇔ − = + + +
⇔ − + = + 
 Ta có: ( )2 cosx 1 0 x− + ≤ ∀ 
 mà 4 cos x 1 0 x+ ≥ ∀ 
 Do đó dấu = của (*) xảy ra cosx 1⇔ = − 
 ⇔ = π + π ∈ x k2 , k 
Bài 163: Giải phương trình: 
 ( )2 2cos3x 2 cos 3x 2 1 sin 2x (*)+ − = + 
Do bất đẳng thức Bunhiacốpski: 
 2 2 2 2AX BY A B . X Y+ ≤ + + 
nên: ( )2 2 21cos3x 1 2 cos 3x 2. cos 3x 2 cos 3x 2+ − ≤ + − = 
Dấu = xảy ra 2cos3x 2 cos 3x⇔ = − 
2 2
cos3x 0
cos 3x 2 cos 3x
cos3x 0
cos3x 1
cos3x 1
≥⎧⇔ ⎨ = −⎩
≥⎧⇔ ⇔⎨ = ±⎩ =
Mặt khác: ( )22 1 sin 2x 2+ ≥
 dấu = xảy ra sin2x 0⇔ =
Vậy: ( )2 2cos3x 2 cos 3x 2 2 1 sin 2x+ − ≤ ≤ + 
 dấu = của (*) chỉ xảy ra khi: 
= ∧ =
=⎧⎪⇔ ⎨ π= ∈⎪⎩
⇔ = π ∈


cos 3x 1 sin 2x 0
cos 3x 1
kx , k ( có 4 đầu ngọn cun
2
x 2m ,m
g )
Bài 164: Giải phương trình: 2 2 5tg x cotg x 2sin x (*)
4
π⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 Điều kiện: sin2x 0≠ 
• Do bất đẳng thức Cauchy: 2 2tg x cotg x 2+ ≥ 
 dấu = xảy ra khi tgx cotgx= 
• Mặt khác: sin x 1
4
π⎛ ⎞+ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ 
nên 52sin x 2
4
π⎛ ⎞+ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ 
dấu = xảy ra khi sin x 1
4
π⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Do đó: 2 2 5tg x cotg x 2 2sin x
4
π⎛ ⎞+ ≥ ≥ +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Dấu = của (*) xảy ra 
tgx cotgx
sin x 1
4
=⎧⎪⇔ π⎨ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
⎧ =⎪⇔ ⎨ π= + π ∈⎪⎩
π⇔ = + π ∈


2tg x 1
x k2 , k
4
x k2 , k
4
Trường hợp 3: 
 Áp dụng: Nếu A M và B M A Mthì
A B M N B N
≤ ≤⎧ ⎧⎨ ⎨+ = + =⎩ ⎩
= 
 =⎧+ = ⇔ ⎨ =⎩
sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1
 =⎧− = ⇔ ⎨ = −⎩
sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1
 = −⎧+ = − ⇔ ⎨ = −⎩
sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1
 Tương tự cho các trường hợp sau 
 ± = ± ± = ±sin u cos v 2 ; cos u cos v 2
Bài 165: Giải phương trình: ( )3xcos2x cos 2 0 *
4
+ − = 
Ta có: ( ) 3x* cos2x cos
4
⇔ + 2= 
3xDo cos2x 1 và cos 1
4
≤ ≤ 
nên dấu = của (*) chỉ xảy ra 
( )
= π ∈= ⎧⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ = ππ⎨ ⎨ = ∈=⎪ ⎪⎩ ⎩
ππ = ⇔ =
= ∈ Ζ =

∈ 

x k , kcos 2x 1
x 8m , m8h3x x , hcos 1
34
8h 8hDo : k k
3 3
để k nguyên ta chọn h 3m m ( thì k 8m )
Cách khác 
= = π ∈⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ = π ∈⎨ ⎨ π= =⎪ ⎪⎩ ⎩


cos 2x 1 x k , k
x 8m ,m3x 3kcos 1 cos 1
4 4
Bài 166: Giải phương trình: 
( )cos2x cos4x cos6x cos x.cos2x.cos3x 2 *+ + = + 
( )
2cos2x cos4x cos6x 2cos3x cos x 2cos 3x 1
2cos3x cos x cos3x 1
4cos3x.cos2x.cos x 1
+ + = + −
= + −
= −
Vậy: ( )1cos3x.cos2x.cos x cos2x 6cos4x cos6x 1
4
= + + + 
Do đó: 
( ) ( )
( )
⇔ + + = + +
⇔ + + =
1 9* cos 2x cos 4x cos 6x cos2x cos 4x cos6x
4 4
3 9cos 2x cos 4x cos 6x
4 4
+
⇔ + + =
= = π ∈⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ = ⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩

cos 2x cos 4x cos 6x 3
cos 2x 1 2x k2 , k (1)
cos 4x 1 cos 4x 1 (2)
cos 6x 1 cos 6x 1 (3)
⇔ = π ∈ ⇔ = π ∈ 2x k2 , k x k , k 
 ( Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa) 
Bài 167: Giải phương trình: 
( )cos2x 3 sin2x 3 sin x cos x 4 0 *− − − + = 
Ta có: 
( ) ⎛ ⎞ ⎛⇔ = − + + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
1 3 3 1* 2 cos2x sin2x sin x cos x
2 2 2 2
⎞⎟⎟⎠ 
 π π⎛ ⎞ ⎛⇔ = − + +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝2 sin 2x sin x6 6
⎞⎟⎠ 
⎧ π⎛ ⎞ π π⎧− = − = + π ∈⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ π ππ⎛ ⎞⎪ ⎪ + = + π ∈+ =⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎩⎝ ⎠⎩
π⎧ = + π ∈⎪ π⎪⇔ ⇔ = + π⎨ π⎪ = + π ∈⎪⎩
∈





sin 2x 1 2x k2 , k6 6 2
x h2 , hsin x 1
6 26
x k , k
3 x h , h
3x h2 , h
3
Cách khác 
⎧ π⎛ ⎞ ⎧ π⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠⇔ ⇔⎨ ⎨π π π⎛ ⎞⎪ ⎪+ = + = + π ∈⎜ ⎟⎪ ⎪⎩⎝ ⎠⎩ 
sin 2x 1 sin 2x 16 6(*)
sin x 1 x h2 , h
6 6 2
⎧ π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎪ π⎪ ⎝ ⎠⇔ ⇔ = +⎨ π⎪ = + π ∈⎪⎩
π ∈ 

sin 2x 1
6 x h , h
3
x h2 , h
3
Bài 168: Giải phương trình: ( )4cos x 2cos2x cos4x 1 *− − =
Ta có: ( ) ( ) ( )⇔ − − − −2 2* 4 cos x 2 2cos x 1 1 2sin 2x 1= 
⇔ − + =
⇔ = − + =
2 2 2
2
4cosx 4 cos x 8sin x cos x 0
cos x 0 hay 1 cos x 2sin x cos x 0
( )⇔ = + − =
⇔ = − =
2cos x 0 hay 1 cos x 2sin x 1 0
cos x 0 hay 1 cos x cos 2x 0 ( * *)
( )⇔ = − + =
⇔ = ∨ + =
1cos x 0 hay 1 cos 3x cos x 0
2
cos x 0 cos 3x cos x 2
=⎧⇔ = ∨ ⎨ =⎩
cos 3x 1
cos x 0
cos x 1
=⎧⇔ = ⇔ ⎨ − =⎩
⇔ = ∨ =
π⇔ = + π ∨ = π ∈ 
3
cos x 1
cos x 0
4 cos x 3cos x 1
cos x 0 cos x 1
x k x k2 , k
2
Cách khác 
⇔ = =( * *) cos x 0 hay cos x cos 2x 1
−
= =⎧ ⎧⇔ = ∨ ∨⎨ ⎨= = −⎩ ⎩
cos x 1 cos x 1
cos x 0
cos 2x 1 cos 2x 1
 = π ∈ = π + π ∈⎧ ⎧π⇔ = + π ∈ ∨ ∨⎨ ⎨= = −⎩ ⎩
  x k2 , k x k2 , k ( loạix k , k
cos 2x 1 cos 2x 12
) 
 π⇔ = + π ∨ = π ∈ x k x k2 , k
2
Bài 169: Giải phương trình: 
 ( )1tg2x tg3x 0 *
sin x cos2x cos3x
+ + = 
Điều kiện: sin2xcos2xcos3x 0≠ 
Lúc đó: 
( ) ⇔ + +sin 2x sin 3x 1* 0
cos2x cos3x sin x.cos2x.cos3x
=
+ =
=
 ( )
⇔ +
⇔ + +
sin2xsin x cos3x sin3xsin x.cos2x 1 0
sin x sin2x cos3x sin3x cos2x 1 0
 ( )
⇔ = −
⇔ − − = −
⇔ − =
= =⎧ ⎧=⎧ ⎪ ⎪⇔ ⇔ − = ⇔ −⎨ ⎨ ⎨= −⎩ ⎪ ⎪ =− = −⎩ ⎩
3 3
2
sin x.sin5x 1
1 cos6x cos4x 1
2
cos6x cos4x 2
t cos2x t cos2x
cos6x 1
4t 3t 1 4t 3t 1
cos4x 1
t 02t 1 1
=
Do đó: (*) vô nghiệm. 
Cách khác 
= = −⎧ ⎧⇔ = − ⇔ ⎨ ⎨= − =⎩ ⎩
sin x 1 sin x 1
sin x.sin 5x 1 hay
sin 5x 1 sin 5x 1
π π⎧ ⎧= + π ∈ = − + π ∈⎪ ⎪⇔ ⎨ ⎨⎪ ⎪= − =⎩ ⎩
 x k2 , k x k2 , k
hay2 2
sin 5x 1 sin 5x 1
x⇔ ∈∅ 
Bài 170: Giải phương trình: ( )2 2cos 3x.cos2x cos x 0 *− = 
Ta có: ( ) ( ) ( )⇔ + − +1 1* 1 cos6x cos2x 1 cos2x 0
2 2
= 
( )
⇔ =
⇔ + =
⇔ + =
=⎧⇔ ⎨ =⎩
⎧ − =⇔ ⎨ =⎩
⎧ =⇔ ⎨ =⎩
⇔ =
⇔ = π ∈
π⇔ = ∈


2
2
cos 6x cos 2x 1
1 cos 8x cos 4x 1
2
cos 8x cos 4x 2
cos 8x 1
cos 4x 1
2cos 4x 1 1
cos 4x 1
cos 4x 1
cos 4x 1
cos 4x 1
4x k2 , k
kx , k
2
Cách khác 
⇔ =cos6x cos2x 1 
= = −⎧ ⎧⇔ ⎨ ⎨= = −⎩ ⎩
cos 2x 1 cos 2x 1
hay
cos 6x 1 cos 6x 1
= π ∈ = π + π ∈⎧ ⎧⇔ ⎨ ⎨= = −⎩ ⎩
 2x k2 , k 2x k2 , k
hay
cos6x 1 cos 6x 1
π= ∈ kx , k
2
Cách khác 
= =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨= = π ∈⎩ ⎩
cos 8x 1 cos 8x 1
cos 4x 1 4x k2 , k
 
π⇔ = ∈ kx , k
2
Trường hợp 4: DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 y = ax là hàm giảm khi 0< a <1. 
Do đó ta có 
sin sin , ,
cos s , ,
m n
m n
x x n m x k k
x co x n m x k k
π π
π π
 ∀ ≠ + ∈
 ∀ ≠ +
2
2
∈


sin sin ,
cos s ,
m n
m n
x x n m x
x co x n m x
≤ ⇔ ≥
≤ ⇔ ≥
∀
∀ 
Bài 171: Giải phương trình: ( )2x1 cos x
2
− = * 
Ta có: ( ) 2x* 1 cos
2
⇔ = + x 
Xét 
2xy cos x trên
2
= + R 
Ta có: y ' x sin x= −
và y '' 1 cos x 0 x R= − ≥ ∀ ∈ 
Do đó y’(x) là hàm đồng biến trên R 
Vậy ( ) ( ) ( )x 0, : x 0 nên y ' x y ' 0∀ ∈ ∞ > > = 0 
 ( ) ( ) ( )x ,0 : x 0 nên y ' x y ' 0∀ ∈ −∞ < < = 0 
Do đó: 
Vậy : 
2xy cos x 1 x
2
= + ≥ ∀ ∈ R 
Dấu = của (*) chỉ xảy ra tại x = 0 
Do đó ( )* x 0⇔ = • 
Bài 172: Giải phương trình 
 sin sin sin sinx x x+ = +4 6 8 10 x (*) 
 Ta có 
 sin sin
sin sin
2
2
và dấu =xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1hay sinx = 0
và dấu =xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1 hay sinx = 0
x x
x x
⎧ ≥⎪⎨ ≥⎪⎩
4 8
6 10
⇔ sin2x = 1 sinx = 0 ∨
⇔ x = ± ,k x k kπ π π+ ∨ = ∈2 2
2
 
Cách khác 
(*) sin sin sin sinx hay x x x⇔ = + = +4 2 4 60 1 
sin sinx hay x⇔ = 20 1= 
BÀI TẬP 
 Giải các phương trình sau ( ) − + =
π⎛ ⎞− = + −⎜ ⎟⎝ ⎠
+ =
2 3
2 2 2
1. lg sin x 1 sin x 0
2. sin 4x cos 4x 1 4 2 sin x
4
13. sin x sin 3x sin x.sin 3x
4
( )
π =
+ = +
− = +
sin x
2
4. cos x
5. 2 cos x 2 sin10x 3 2 2cos 28x.sin x
6. cos 4x cos 2x 5 sin 3x
( )
( ) (
( ) ( )
+ = −
− + + −
+ = −
=a 2
7. sin x cos x 2 2 sin 3x
8. sin 3x cos 2x 2sin 3x cos 3x 1 sin 2x 2cos 3x 0
9. tgx tg2x sin 3x cos 2x
10. 2 log cot gx log cos x
) = 
( )
π⎡ ⎤= ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦
+ =
− + +
sin x
13 14
11. 2 cos x với x 0,
2
12. cos x sin x 1
13. cos 2x cos 6x 4 sin 2x 1 0=
( )+ = −
+ = −
− − + +
3 3 4
2 2
14. sin x cos x 2 2 cos 3x
15. sin x cos x 2 sin x
16. cos x 4 cos x 2x sin x x 3 0=
+ = +
+ − − +
sin x 2
2 2
17. 2 sin x sin x cos x
18. 3cot g x 4 cos x 2 3 cot gx 4 cos x 2 0=
Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn)