Luyện thi đại học - Chương VI: Phương trình chứa căn

: . ðặt ẩn phụ ñưa về phương trình thuần nhất bậc 2 ñối với 2 biến : 
 Chúng ta ñã biết cách giải phương trình: 2 2 0u uv vα β+ + = (1) bằng cách 
Xét 0v ≠ phương trình trở thành : 
2
0u u
v v
α β   + + =   
   
0v = thử trực tiếp 
Các trường hợp sau cũng ñưa về ñược (1) 
 ( ) ( ) ( ) ( ). .a A x bB x c A x B x+ = 
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Năm học 2010- 2011 
 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó 
 ( hehe...☺ ) 
 Sytan1992@gmail.com Trang5/19-LTðH-2010 
Baøi taäpø äø äø ä 
 
2 2u v mu nvα β+ = + 
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận ñược phương trình vô tỉ theo dạng 
này . 
a) . Phương trình dạng : ( ) ( ) ( ) ( ). .a A x bB x c A x B x+ = 
Như vậy phương trình ( ) ( )Q x P xα= có thể giải bằng phương pháp trên nếu ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
.P x A x B x
Q x aA x bB x
 =

= +
Xuất phát từ ñẳng thức : 
 ( )( )3 21 1 1x x x x+ = + − + 
( ) ( )( )4 2 4 2 2 2 21 2 1 1 1x x x x x x x x x+ + = + + − = + + − + 
( )( )4 2 21 2 1 2 1x x x x x+ = − + + + 
( )( )4 2 24 1 2 2 1 2 2 1x x x x x+ = − + + + 
Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: 2 44 2 2 4 1x x x− + = + 
ðể có một phương trình ñẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai 2 0at bt c+ − = giải “ 
nghiệm ñẹp” 
Bài 1. Giải phương trình : ( )2 32 2 5 1x x+ = + 
Giải: ðặt 21, 1u x v x x= + = − + 
Phương trình trở thành : ( )2 2
2
2 5 1
2
u v
u v uv
u v
=
+ = ⇔
 =

 Tìm ñược: 
5 37
2
x
±
= 
Bài 2. Giải phương trình : 2 4 233 1 1
3
x x x x− + = − + + 
Bài 3: giải phương trình sau : 2 32 5 1 7 1x x x+ − = − 
Giải: 
ðk: 1x ≥ 
Nhận xt : Ta viết ( ) ( ) ( )( )2 21 1 7 1 1x x x x x xα β− + + + = − + + 
ðồng nhất thức ta ñược: ( ) ( ) ( )( )2 23 1 2 1 7 1 1x x x x x x− + + + = − + + 
ðặt 21 0 , 1 0u x v x x= − ≥ = + + > , ta ñược: 
9
3 2 7 1
4
v u
u v uv
v u
=
+ = ⇔
 =

 Ta ñược : 4 6x = ± 
Bài 4. Giải phương trình : ( )33 23 2 2 6 0x x x x− + + − = 
Giải: 
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Năm học 2010- 2011 
 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó 
 ( hehe...☺ ) 
 Sytan1992@gmail.com Trang6/19-LTðH-2010 
Baøi taäpø äø äø ä 
Nhận xét : ðặt 2y x= + ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 ñối với x và y : 
3 2 3 3 2 33 2 6 0 3 2 0
2
x y
x x y x x xy y
x y
=
− + − = ⇔ − + = ⇔ 
= −
Pt có nghiệm : 2, 2 2 3x x= = − 
b).Phương trình dạng : 2 2u v mu nvα β+ = + 
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì ñưa 
về ñược dạng trên. 
Bài 1. giải phương trình : 2 2 4 23 1 1x x x x+ − = − + 
Giải: 
Ta ñặt :
2
2 1
u x
v x
 =

= −
 khi ñó phương trình trở thành : 2 23u v u v+ = − 
Bài 2.Giải phương trình sau : 2 22 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + + 
Giải 
ðk 
1
2
x ≥ . Bình phương 2 vế ta có : ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 1 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x x x+ − = + ⇔ + − = + − − 
Ta có thể ñặt : 
2 2
2 1
u x x
v x
 = +

= −
 khi ñó ta có hệ : 2 2
1 5
2
1 5
2
u v
uv u v
u v

−
=
= − ⇔
 +
=

Do , 0u v ≥ . ( )21 5 1 52 2 1
2 2
u v x x x
+ +
= ⇔ + = − 
Bài 3. giải phương trình : 2 25 14 9 20 5 1x x x x x− + − − − = + 
Giải: 
ðk 5x ≥ . Chuyển vế bình phương ta ñược: ( )( )2 22 5 2 5 20 1x x x x x− + = − − + 
Nhận xét : không tồn tại số ,α β ñể : ( ) ( )2 22 5 2 20 1x x x x xα β− + = − − + + vậy ta không thể ñặt 
2 20
1
u x x
v x
 = − −

= +
. 
Nhưng may mắn ta có : ( )( ) ( )( )( ) ( )( )2 220 1 4 5 1 4 4 5x x x x x x x x x− − + = + − + = + − − . Ta viết lại phương 
trình: ( ) ( )2 22 4 5 3 4 5 ( 4 5)( 4)x x x x x x− − + + = − − + . ðến ñây bài toán ñược giải quyết . 
Dạng 5: ðặt nhiều ẩn phụ ñưa về tích 
 Xuất phát từ một số hệ “ñại số “ ñẹp chúng ta có thể tạo ra ñược những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng 
ta lại ñặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ ñể ñưa về hệ 
Xuất phát từ ñẳng thức ( ) ( )( )( )3 3 3 3 3a b c a b c a b b c c a+ + = + + + + + + , Ta có 
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Năm học 2010- 2011 
 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó 
 ( hehe...☺ ) 
 Sytan1992@gmail.com Trang7/19-LTðH-2010 
Baøi taäpø äø äø ä 
( ) ( )( )( )33 3 3 0a b c a b c a b a c b c+ + = + + ⇔ + + + = 
Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba . 
2 23 33 7 1 8 8 1 2x x x x x+ − − − + − + = 
3 3 3 33 1 5 2 9 4 3 0x x x x+ + − + − − − = 
Bài 1. Giải phương trình : 2 . 3 3 . 5 5 . 2x x x x x x x= − − + − − + − − 
Giải : 
2
3
5
u x
v x
w x
 = −

= −

= −
, ta có : 
( )( )
( )( )
( )( )
2
2
2
22
3 3
5 5
u v u wu uv vw wu
v uv vw wu u v v w
w uv vw wu v w u w
 + + =
− = + +

− = + + ⇔ + + = 
 
− = + + + + = 
, giải hệ ta ñược: 
30 239
60 120
u x= ⇔ = 
Bài 2. Giải phương trình sau : 2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − + 
Giải . Ta ñặt : 
2
2
2
2
2 1
3 2
2 2 3
2
a x
b x x
c x x
d x x

= −

 = − −

= + +

= − +
, khi ñó ta có : 2 2 2 2 2
a b c d
x
a b c d
+ = +
⇔ = −
− = −
Bài 3. Giải các phương trình sau 
1) 2 24 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − + = − 
( ) ( ) ( )3 3 244 44 1 1 1 1x x x x x x x x+ − + − = − + + − 
3. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ PHÖÔNG TRÌNH TÍCHÙ ÀÙ ÀÙ À . 
 Sử dụng ñẳng thức 
( )( )1 1 1 0u v uv u v+ = + ⇔ − − = 
( )( ) 0au bv ab vu u b v a+ = + ⇔ − − = 
( ) ( )- -a c x b d
ax b cx d
m
+
+ ± + =
2 2 ( )( ) 0A B A B A B= ⇔ − + = 
a3−b3 ⇔ (a−b)(a2+ab+b2)=0 ⇔ a=b 
Bài 1. Giải phương trình : 233 31 2 1 3 2x x x x+ + + = + + + 
Giải: ( )( )3 3 01 1 2 1 0 1xpt x x x =⇔ + − + − = ⇔  = − 
Bi 2. Giải phương trình : 2 23 33 31x x x x x+ + = + + 
Giải: 
+ 0x = , không phải là nghiệm 
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Năm học 2010- 2011 
 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó 
 ( hehe...☺ ) 
 Sytan1992@gmail.com Trang8/19-LTðH-2010 
Baøi taäpø äø äø ä 
+ 0x ≠ , ta chia hai vế cho x: ( )3 3 33 31 11 1 1 1 0 1x xx x x x
x x
 + +
+ = + + ⇔ − − = ⇔ = 
 
Bài 3. Giải phương trình: 23 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + + 
Giải: : 1dk x ≥ − 
pt ( )( ) 13 2 1 1 0 0xx x x x =⇔ + − + − = ⇔  = 
Bài 4. Giải phương trình : 43 4
3
x
x x
x
+ + =
+
Giải: 
ðk: 0x ≥ 
Chia cả hai vế cho 3x + : 
2
4 4 41 2 1 0 1
3 3 3
x x x
x
x x x
 
+ = ⇔ − = ⇔ = 
+ + + 
 Dùng hằng ñẳng thức 
Biến ñổi phương trình về dạng : 1 2 3 2 2 1( )( . . ... . )k k K K K K KA B A B A A B A B A B B− − − − −= ⇔ − + + + + + 
Bài 1. Giải phương trình : 3 3x x x− = + 
Giải: 
ðk: 0 3x≤ ≤ khi ñó pt ñ cho tương ñương : 3 23 3 0x x x+ + − =
3 31 10 10 1
3 3 3 3
x x
− 
⇔ + = ⇔ = 
 
Bài 2. Giải phương trình sau : 22 3 9 4x x x+ = − − 
Giải: 
ðk: 3x ≥ − phương trình tương ñương : ( )2 2
1
3 1 3
1 3 9 5 97
3 1 3
18
x
x x
x x
xx x
= + + = + + = ⇔ ⇔
− −
=+ + = − 
Bài 3. Giải phương trình sau : ( ) ( )22 332 3 9 2 2 3 3 2x x x x x+ + = + + 
Giải : pttt ( )33 32 3 0 1x x x⇔ + − = ⇔ = 
 ðS: x=1. 
Bài tập ñề nghị 
Giải các phương trình sau : 
1) 6723321102 −+++=++ xxxx 4) 8) 652331582 −+++=++ xxxx 
2) ( ) ( ) 012131 222 =−+−++ nnn xxx (với n ∈ N; n ≥ 2) 5) x
x
xx 4
2
472
=
+
++
 (ðHDL ðð’01) 
3) 122222 +=+−−−− xxxx 6) ( )( ) ( )( ) 23126463122 ++−+−=+−−+ xxxxxx 
7) ( ) 0112 2 =−+−−−− xxxxxx (1) (HVKT QS - 2001) 
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Năm học 2010- 2011 
 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó 
 ( hehe...☺ ) 
 Sytan1992@gmail.com Trang9/19-LTðH-2010 
Baøi taäpø äø äø ä 
4. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛN ÖÔÙCÙ Û ÙÙ Û ÙÙ Û Ù 
1. (ðHSPHN2’00) 2)2()1( xxxxx =++− 2. 453423 222 +−=+−++− xxxxxx 
3. 200320042002200320012002 222 +−=+−++− xxxxxx 4. 2)2(1(2 xxxxx =+−− 
5. )3(2)2()1( +=−+− xxxxxx 8) 4523423 222 +−≥+−++− xxxxxx (ð8) 
6. )3()2()1( +=−+− xxxxxx 9. 7925623 222 ++=+++++ xxxxxx (BKHN- 2001) 
5. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI. 
1. 550x10x5x4x 22 =+−−+− 2. 1168143 =−−++−−+ xxxx 
3. 
2
31212 +=−−+−+ xxxxx 4. 225225232 =−−−+−++ xxxx 
5. 21212 =−−−−+ xxxx (HVCNBC’01) 6. xxx −=+− 112 24 (ð24) 8. 4124 ++=+ xx 
7. 24444 =−++−− xxxx . 8. 11681815 =−−++−−+ xxxx 
6. PHÖÔNG PHAÙP NHAÂN LÖÔÏNG LIEÂN HIEÄPÙ Â Ï Â ÄÙ Â Ï Â ÄÙ Â Ï Â Ä 
6.1. Nhân lượng liên hợp ñể xuất hiện nhân tử chung 
a) Phương pháp 
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm ñược nghiệm 0x như vậy phương trình luôn ñưa về ñược dạng 
tích ( ) ( )0 0x x A x− = ta có thể giải phương trình ( ) 0A x = hoặc chứng minh ( ) 0A x = vô nghiệm , chú ý ñiều 
kiện của nghiệm của phương trình ñể ta có thể ñánh gía ( ) 0A x = vô nghiệm 
b) Ví dụ 
Bài 1 . Giải phương trình sau : ( )2 2 2 23 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − + 
Giải: 
Ta nhận thấy : ( ) ( ) ( )2 23 5 1 3 3 3 2 2x x x x x− + − − − = − − v ( ) ( ) ( )2 22 3 4 3 2x x x x− − − + = − 
Ta có thể trục căn thức 2 vế : ( ) 2 22 2
2 4 3 6
2 3 43 5 1 3 1
x x
x x xx x x x
− + −
=
− + − +
− + + − +
Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình . 
Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 ñề nghị) : 2 212 5 3 5x x x+ + = + + 
Giải: ðể phương trình có nghiệm thì : 2 2 512 5 3 5 0
3
x x x x+ − + = − ≥ ⇔ ≥ 
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng 
( ) ( )2 0x A x− = , ñể thực hiện ñược ñiều ñó ta phải nhóm , tách như sau : 
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Năm học 2010- 2011 
 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó 
 ( hehe...☺ ) 
 Sytan1992@gmail.com Trang10/19-LTðH-2010 
Baøi taäpø äø äø ä 
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
4 412 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 12 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
− −
+ − = − + + − ⇔ = − +
+ + + +
 + +
⇔ − − − = ⇔ = 
+ + + + 
Dễ dàng chứng minh ñược : 
2 2
2 2 53 0,
312 4 5 3
x x
x
x x
+ +
− − 
+ + + +
Bài 3. Giải phương trình : 2 33 1 1x x x− + = − 
Giải :ðk 3 2x ≥ 
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến ñổi phương trình 
( ) ( )
( )( )22 33
2 32 233
3 3 931 2 3 2 5 3 1
2 51 2 1 4
x x xx
x x x x
xx x
 
− + ++ 
− − + − = − − ⇔ − + = 
− +
− + − +  
Ta chứng minh : 
( ) ( )222 2 23 33
3 31 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
+ +
+ = + <
− + − + − + +
2
3
3 9
2 5
x x
x
+ +
<
− +
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 
6.2. ðưa về “hệ tạm “ 
a) Phương pháp 
 Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C+ = , mà : A B Cα− = 
ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x . Ta có thể giải như sau : 
A B C A B
A B
α
−
= ⇒ − =
−
, khi ñĩ ta có hệ: 2
A B C
A C
A B
α
α
 + =
⇒ = +
− =
b) Ví dụ 
Bài 4. Giải phương trình sau : 2 22 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = + 
Giải: 
Ta thấy : ( ) ( ) ( )2 22 9 2 1 2 4x x x x x+ + − − + = + 
4x = − không phải là nghiệm 
Xét 4x ≠ − 
Trục căn thức ta có : 2 2
2 2
2 8 4 2 9 2 1 2
2 9 2 1
x
x x x x x
x x x x
+
= + ⇒ + + − − + =
+ + − − +
Vậy ta có hệ: 
2 2
2
2 2
02 9 2 1 2
2 2 9 6 8
2 9 2 1 4 7
x
x x x x
x x x
xx x x x x
= + + − − + = ⇒ + + = + ⇔  =+ + + − + = + 
Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x= 8
7
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Năm học 2010- 2011 
 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó 
 ( hehe...☺ ) 
 Sytan1992@gmail.com Trang11/19-LTðH-2010 
Baøi taäpø äø äø ä 
Bài 5. Giải phương trình : 2 22 1 1 3x x x x x+ + + − + = 
Ta thấy : ( ) ( )2 2 22 1 1 2x x x x x x+ + − − + = + , như vậy không thỏa mãn ñiều kiện trên. 
Ta có thể chia cả hai vế cho x và ñặt 1t
x
= thì bài toán trở nên ñơn giản hơn 
Bài tập ñề nghị 
Giải các phương trình sau : 
( )2 23 1 3 1x x x x+ + = + + 
4 3 10 3 2x x− − = − (HSG Toàn Quốc 
2002) 
( )( ) ( )( )2 2 5 2 10x x x x x− − = + − − 
23 4 1 2 3x x x+ = − + − 
2 33 1 3 2 3 2x x x− + − = − 
2 32 11 21 3 4 4 0x x x− + − − = (OLYMPIC 30/4-2007) 
2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − + 
2 22 16 18 1 2 4x x x x+ + + − = + 
2 215 3 2 8x x x+ = − + + 
Giải các phương trình sau: 
1) )3(2)2()1( +=−+− xxxxxx 2) 2)2()1(2 xxxxx =+−− 3) xxx =−−+ 1222 
4) 
xxx
xx 21
2121
2121
=
−−+
−++
 5) x
xx
xx
−=
−+−
−−− 6
57
57
33
33
 6) 4x5x23x4x2x3x 222 +−=+−++− 
7) 2xx3x2x22x3x1x2 2222 +−+++=−−+− 
8) 431532373 2222 +−−−−=−−+− xxxxxxx 
9) 2004200522003200420022003 222 +−=+−++− xxxxxx 
7. PHÖÔNG PHAÙP NHAÂN XEÙT ÑAÙNH GIAÙÙ Â Ù Ù ÙÙ Â Ù Ù ÙÙ Â Ù Ù Ù 
1. Dùng hằng ñẳng thức : 
 Từ những ñánh giá bình phương : 2 2 0A B+ ≥ , phương trình dạng 2 2 0A B+ = ⇔ 0
0
A
B
=

=
2. Dùng bất ñẳng thức 
 Một số phương trình ñược tạo ra từ dấu bằng của bất ñẳng thức: 
A m
B m
≥
 ≤
 nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt 
ñược tại 0x thì 0x là nghiệm của phương trình A B= 
Ta có : 1 1 2x x+ + − ≤ Dấu bằng khi và chỉ khi 0x = và 11 2
1
x
x
+ + ≥
+
, dấu bằng khi và chỉ khi x=0. 
Vậy ta có phương trình: 11 2008 1 2008 1
1
x x x
x
− + + = + +
+
ðôi khi một số phương trình ñược tạo ra từ ý tưởng : ( )
( )
A f x
B f x
 ≥

≤
 khi ñó : 
( )
( )
A f x
A B
B f x
 =
= ⇔ 
=
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Năm học 2010- 2011 
 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó 
 ( hehe...☺ ) 
 Sytan1992@gmail.com Trang12/19-LTðH-2010 
Baøi taäpø äø äø ä 
 Nếu ta ñoán trước ñược nghiệm thì việc dùng bất ñẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô 
tỉ việc ñoán nghiệm không ñược, ta vẫn dùng bất ñẳng thức ñể ñánh giá ñược 
Bài 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): 2 2 9
1
x x
x
+ = +
+
Giải: ðk 0x ≥ 
Ta có : ( )
2 2
22 2 12 2 1 9
11 1
x
x x x
xx x
       + ≤ + + + = +      ++ +     
Dấu bằng 2 2 1 1
71 1
x
x x
⇔ = ⇔ =
+ +
Bài 2. Giải phương trình : 2 4 2 413 9 16x x x x− + + = 
Giải: ðk: 1 1x− ≤ ≤ 
Biến ñổi pt ta có : ( )22 2 213 1 9 1 256x x x− + + = 
Áp dụng bất ñẳng thức Bunhiacopxki: 
( ) ( )( ) ( )22 2 2 2 213. 13. 1 3. 3. 3 1 13 27 13 13 3 3 40 16 10x x x x x− + + ≤ + − + + = − 
Áp dụng bất ñẳng thức Côsi: ( ) 22 2 1610 16 10 642x x  − ≤ =   
Dấu bằng 
2
2
2 2
2
1 51
3 2
10 16 10 5
xx
x
xx x
 =+ 
− = ⇔ ⇔

= −= − 
Bài 3. giải phương trình: 3` 2 43 8 40 8 4 4 0x x x x− − + − + = 
Ta chứng minh : 48 4 4 13x x+ ≤ + và ( ) ( )23 23 8 40 0 3 3 13x x x x x x− − + ≥ ⇔ − + ≥ + 
Bài tập ñề nghị . 
Bài 1: Giải các phương trình sau 
1 2 1 21 2 1 2
1 2 1 2
x x
x x
x x
− +
− + + = +
+ −
4 4 41 1 2 8x x x x+ − + − − = + 
4 4 42 8 4 4 4 4x x x+ = + + − 
4 3316 5 6 4x x x+ = + 
3` 2 43 8 40 8 4 4 0x x x x− − + − + = 
3 3 4 28 64 8 28x x x x+ + − = − + 
2
2
1 12 2 4x x
x x
 
− + − = − + 
 
Bài 2: Giải các phương trình sau: 
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Năm học 2010- 2011 
 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó 
 ( hehe...☺ ) 
 Sytan1992@gmail.com Trang13/19-LTðH-2010 
Baøi taäpø äø äø ä 
1) 222 2414105763 xxxxxx −−=+++++ 2) 186
116
156 2
2
2
+−=
+−
+−
xx
xx
xx
3) 2354136116 4 222 +=+−++−++− xxxxxx 4) ( )( )54225,33 222 +−+−=+− xxxxxx 
5) 4 22 1312331282 +−−=+− xxxx 6) 21522 =−++− xxx 7) 44 1)1(2 xxxx +−=+− 
8) 
x
x
x
x
xx
21
21
21
212121
−
+
+
+
−
=++− 9) 11642 2 +−=−+− xxxx (ð11) 
10) 222 331232 xxxxxx −++−=+− 11) 5212102 2 +−=−+− xxxx 
8. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ HEÄÙ À ÄÙ À ÄÙ À Ä 
Dạng 1: ðưa về hệ phương trình bình thường. Hoặc hệ ñối xứng loại một. 
 ðặt ( ) ( ),u x v xα β= = và tìm mối quan hệ giữa ( )xα và ( )xβ từ ñó tìm ñược hệ theo u,v 
Bài 1. Giải phương trình: ( )3 33 325 25 30x x x x− + − = 
ðặt 3 3 3 335 35y x x y= − ⇒ + = 
Khi ñó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: 3 3
( ) 30
35
xy x y
x y
+ =

+ =
, giải hệ này ta tìm ñược 
( ; ) (2;3) (3;2)x y = = . Tức là nghiệm của phương trình là {2;3}x ∈ 
Bài 2. Giải phương trình: 4 4
12 1
2
x x− − + = 
ðiều kiện: 0 2 1x≤ ≤ − 
ðặt 4
4
2 1 0 2 1,0 2 1x u u v
x v

− − =
⇒ ≤ ≤ − ≤ ≤ −
=
Ta ñưa về hệ phương trình sau: 
4
4
2
2 4 4
4
1
1
2
2
12 1 2 1
2
u v
u v
u v v v

= − + = 
⇔ 
  + = − − + = −   
Giải phương trình thứ 2: 
2
2 2
4
1( 1) 0
2
v v
 
+ − + = 
 
, từ ñó tìm ra v rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình. 
Bài 3. Giải phương trình sau: 5 1 6x x+ + − = 
ðiều kiện: 1x ≥ 
ðặt 1, 5 1( 0, 0)a x b x a b= − = + − ≥ ≥ thì ta ñưa về hệ phương trình sau: 
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Năm học 2010- 2011 
 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó 
 ( hehe...☺ ) 
 Sytan1992@gmail.com Trang14/19-LTðH-2010 
Baøi taäpø äø äø ä 
2
2
5 ( )( 1) 0 1 0 1
5
a b
a b a b a b a b
b a
 + =
→ + − + = ⇒ − + = ⇒ = −
− =
Vậy 
11 171 1 5 1 1 5
2
x x x x x
−
− + = + − ⇔ − = − ⇒ = 
Bài 4. Giải phương trình: 6 2 6 2 8
35 5
x x
x x
− +
+ =
− +
Giải 
ðiều kiện: 5 5x− < < 
ðặt ( )5 , 5 0 , 10u x v y u v= − = − < < . 
Khi ñó ta ñược hệ phương trình: 
22 2 ( ) 10 210
2 44 4 8 ( ) 12( )
33
u v uvu v
u vu z
uvu v
 + = ++ =
 
⇔   
+ − =− − + + =   
  
Bài tập ñề nghị : Giải các phương trình sau 
1) 1123 −−=− xx (ðHTCKTHN - 2001) 
2) 123 22 =−+−+− xxxx 
3) 11 2 =+−++ xxxx (ðHDL HP’01) 
4) 21xx5 44 =−+− 
5) 36x3x3x3x 22 =+−++− 
6) 1334 33 =−−+ xx (ð12) 
7) 59744 =−+ xx 
8) 2x12x14 33 =−++ 
9) 464)8()8( 3 23 23 2 =−+−++ xxx 
10) 91717 22 =−+−+ xxxx 
11) 21
2
1
2
=+
−
xx
12) 211 33 =−++ xx 
13) 1
8
652 3 23 2 +−=+ xx 
14) 1x
2
1
x
2
1
33 =−++ 
15) 3tgx2tgx7 33 =−++ 
16) 6x12x243 =−++ 
17) ( ) ( ) 30
1xx34
x341x1xx34
33
33
=
+−−
−+−+−
18) ( ) ( )[ ] 2332 x12x1x1x11 −+=+−−−+ 
19) 33 23 2 4xx2xx2 =−−+++ 
20) ( ) ( ) 1191313 3 23 23 2 =−+−++ xxx 
21) ( ) ( ) ( )( ) 3x7x2x7x2 33 23 2 =+−−++− 
22) 11212112 ++=+−++++ xxxxx 
23) 33 23 2 4xcosxsin =+ 
24) 3xsin2.xsinxsin2xsin 22 =−+−+ 
25) 1x2cos
2
1
x2cos
2
1
44 =++− 
26) 11xcos8xsin810 4 24 2 =−−+ 
27) 2x17x17 =−−+ (DL Hùng vương- 2001) 
28) x611x −=+− (Cð mẫu giáo TW1- 2001) 
29) 54x8x5xx 22 =−++−+ 
30) 
2
1
1xx1xx
22
=+−−++ (ð142) 
31) ( ) 30x35xx35x 3 33 3 =−+− 
32) 11x5x38x5x3 22 =++−++ 
33) 16x5x222x5x2 22 =−+−++ 
34) 4x235x247 44 =++− 
Dạng 2: ðưa phương trình ñã cho về hệ ñối xứng loại hai. 
 Ta hãy ñi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách ñưa về hệ ñối xứng loại II 
LUYỆN THI ðẠI HỌC -CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Năm học 2010- 2011 
 Cách học tốt môn Toán là phải làm nhiều , bên cạnh ñó 
 ( hehe...☺ ) 
 Sytan1992@gmail.com Trang15/19-LTðH-2010 
Baøi taäpø äø äø ä 
 Ta xét một hệ phương trình ñối xứng loại II sau : 
( )
( )
2
2
1 2 (1)
1 2 (2)
x y
y x
 + = +

+ = +
 việc giải hệ này thì ñơn giản 
Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách ñặt ( )y f x= sao cho (2) luôn ñúng , 2 1y x= + − , khi 
ñó ta có phương trình : ( )2 21 ( 2 1) 1 2 2x x x x x+ = + − + ⇔ + = + 
Vậy ñể giải phương trình : 2 2 2x x x+ = + ta ñặt lại như trên và ñưa về hệ 
Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : 
( )
( )
2
2
x ay b
y ax b
α β
α β
 + = +

+ = +
, ta sẽ xây dựng ñược phương trình dạng 
sau : ñặt y ax bα β+ = + , khi ñó ta có phương trình : ( )2 ax ax b b βα β
α α
+ = + + − 
Tương tự cho bậc cao hơn : ( )n nax ax b b βα β
α α
+ = + + − 
Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng : ( ) ' 'n nx p a x bα β γ+ = + + v ñặt 
ny ax bα β+ = + ñể ñưa về hệ , chú ý về dấu của α ??? 
Việc chọn ;α β thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : ( ) ' 'n nx p a x bα β γ+ = + + là chọn ñược. 
Bài 1. Giải phương trình: 2 2 2 2 1x x x− = − 
ðiều kiện: 
1
2
x ≥ 
Ta có phương trình ñược viết lại là: 2( 1) 1 2 2 1x x− − = − 
ðặt 1 2 1y x− = − thì ta ñưa về hệ sau: 
2
2
2 2( 1)
2 2( 1)
x x y
y y x

− = −

− = −
Trừ hai vế của phương trình ta ñược ( )( ) 0x y x y− + = 
Giải ra ta tìm ñược nghiệm của phương trình