Luyện thi đại học – Chuyên đề Hàm số - Đồ thị - CĐ: Biến thiên hàm số

HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
VAÁN ÑEÀ 1: Xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá luoân ñoàng bieán hoaëc nghòch bieán treân taäp xaùc ñònh (hoaëc treân töøng khoaûng xaùc ñònh)
VAÁN ÑEÀ 3: ÖÙng duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc
BÀI 2: CỰC TRỊ
VAÁN ÑEÀ 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc trò 
BÀI 3: MAX-MIN
VAÁN ÑEÀ 1: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch laäp baûng bieán thieân 
Giới thiệu sơ sơ về BĐT
BÀI 4:TIỆM CẬN
BÀI 5: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ
BÀI 6: SỰ TƯƠNG GIAO
BÀI 7: BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
BÀI 8: BIỆN LUẬN BẰNG ĐỒ THỊ
BÀI 9: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
VAÁN ÑEÀ 1: Laäp phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong (C): y = f(x)
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå hai ñöôøng tieáp xuùc
BÀI 10: CÁC DẠNG ĐẶNG BIỆT
VAÁN ÑEÀ 1: Tìm ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñoà thò (Cm): y = f(x, m)
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieåm maø khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï ñoà thò (Cm): y = f(x, m) ñi qua
VAÁN ÑEÀ 3: Tìm ñieåm maø moät soá ñoà thò cuûa hoï ñoà thò (Cm): y = f(x, m) ñi qua
VAÁN ÑEÀ 4: Tìm ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) coù toaï ñoä nguyeân
VAÁN ÑEÀ 5: Tìm caëp ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng d: y = ax + b
VAÁN ÑEÀ 6: Đối xứng tâm-trục
VAÁN ÑEÀ 7: Tìm caëp ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) ñoái xöùng qua ñieåm I(a; b)
VAÁN ÑEÀ 8: Khoaûng caùch
VAÁN ÑEÀ 9: Quỹ tích
BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
1. Ñinh nghóa:
	Haøm soá f ñoàng bieán treân K Û ("x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2)
	Haøm soá f nghòch bieán treân K Û ("x1, x2 Î K, x1 f(x2)
2. Ñieàu kieän caàn:
	Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I.
	a) Neáu f ñoàng bieán treân khoaûng I thì f¢(x) ³ 0, "x Î I
	b) Neáu f nghòch bieán treân khoaûng I thì f¢(x) £ 0, "x Î I
3. Ñieàu kieän ñuû:
	Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I.
	a) Neáu f¢ (x) ³ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f ñoàng bieán treân I.
	b) Neáu f¢ (x) £ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f nghòch bieán treân I.
	c) Neáu f¢(x) = 0, "x Î I thì f khoâng ñoåi treân I.
Chuù yù: Neáu khoaûng I ñöôïc thay bôûi ñoaïn hoaëc nöûa khoaûng thì f phaûi lieân tuïc treân ñoù.
VAÁN ÑEÀ 1: Xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá
	Ñeå xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá y = f(x), ta thöïc hieän caùc böôùc nhö sau:
	– Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá.
	– Tính y¢. Tìm caùc ñieåm maø taïi ñoù y¢ = 0 hoaëc y¢ khoâng toàn taïi (goïi laø caùc ñieåm tôùi haïn)
	– Laäp baûng xeùt daáu y¢ (baûng bieán thieân). Töø ñoù keát luaän caùc khoaûng ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá.
VD: Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau:
a) 
D=R
 Cho 
BBT 
Vậy: hàm số đồng biến: và, Hàm số nghịch biến: 
b) , D=R
 Cho 
BBT 
Vậy: hàm số luôn đồng biến trên D 
c) 
 D=R
 Cho 
BBT 
Vậy: hàm số tăng :và , Hàm số giảm: và 
d) , D=R
 Cho 
BBT 
Vậy: hàm số tăng : , Hàm số giảm: 
Vậy: hàm số giảm: và , Hàm số tăng: và 
e) D=
BBT 
Vậy: hàm số luôn giảm trên 
f) D=
 Cho 
BBT 
x
0
1
2
+
 +
-
-
+
y
-2
+
2
+
Vậy: hàm số giảm: và ; Hàm số tăng: và 
g) 
 Cho 
BBT 
Vậy: hàm số giảm: (0;2), Hàm số tăng: 
h) , 
 Cho 
BBT 
Vậy: hàm số tăng: , Hàm số giảm: 
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i)
	k) 	l) 	m)
	n) 	o) 	p) 	
Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
 k) j) n) 
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá luoân ñoàng bieán hoaëc nghòch bieán 
treân taäp xaùc ñònh (hoaëc treân töøng khoaûng xaùc ñònh)
Cho haøm soá , m laø tham soá, coù taäp xaùc ñònh D.
	· Haøm soá f ñoàng bieán treân D Û y¢ ³ 0, "x Î D.
	· Haøm soá f nghòch bieán treân D Û y¢ £ 0, "x Î D.
	Töø ñoù suy ra ñieàu kieän cuûa m.
Chuù yù: 
1) y¢ = 0 chæ xaûy ra taïi moät soá höõu haïn ñieåm.
2) Neáu thì:
	· 	· 
3) Ñònh lí veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai :
	· Neáu D < 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a.
	· Neáu D = 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a (tröø x = )
	· Neáu D > 0 thì g(x) coù hai nghieäm x1, x2 vaø trong khoaûng hai nghieäm thì g(x) khaùc daáu vôùi a, ngoaøi khoaûng hai nghieäm thì g(x) cuøng daáu vôùi a.
4) So saùnh caùc nghieäm x1, x2 cuûa tam thöùc baäc hai vôùi soá 0:
	· 	· 	· 
5) Ñeå haøm soá coù ñoä daøi khoaûng ñoàng bieán (nghòch bieán) (x1; x2) baèng d thì ta thöïc hieän caùc böôùc sau:
	+TH1: a=0
 +TH2:a0
 · Tính y¢.
	· Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù khoaûng ñoàng bieán vaø nghòch bieán:
	(1)
	· Bieán ñoåi thaønh 	(2)
	· Söû duïng ñònh lí Viet ñöa (2) thaønh phöông trình theo m.
	· Giaûi phöông trình, so vôùi ñieàu kieän (1) ñeå choïn nghieäm.
VD1: Định m để hàm số luôn đồng biến
a) 
D=R
Hàm số luôn đồng biến 
Vậy: với thì hs luôn đồng biến trên D.
b) 
D=R
Hàm số luôn đồng biến 
TH1: m=0 không thoả mãn
TH2: m 0 thì 
Hàm số luôn đồng biến 
KL: Vậy: với thì hs luôn đồng biến trên D.
c) , D=
 Hàm số luôn đồng biến 
Vậy: với thì hs luôn đồng biến trên D.
VD2: Định m để hàm số luôn nghịch biến: 
D=
Hàm số luôn nghịch biến (điều không thể)
Vậy: không tồn tại m để hs luôn nghịch biến trên D.
VD3: Định m để hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1)
D=R
Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1)và 
Vậy: thì hs nghịch biến trong ( - 1; 1).
VD4: Định m để hàm số tăng trên 
D=R
Hàm số tăng trên và 
Vậy: thì hs tăng trên 
VD5: Định m để hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
D=R
Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.và 
Vậy: thì hs nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc taäp xaùc ñònh) cuûa noù:
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc taäp xaùc ñònh) cuûa noù:
	a) 	b) 	c) 
Tìm m ñeå caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân taäp xaùc ñònh (hoaëc töøng khoaûng xaùc ñònh) cuûa noù:
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Tìm m ñeå haøm soá: 
	a) nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 1.	
	b) nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 3.
	c) ñoàng bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 4.	
Tìm m ñeå haøm soá: 
	a) ñoàng bieán treân khoaûng (1; +¥).	
	b) ñoàng bieán treân khoaûng (2; +¥).
	c) ñoàng bieán treân khoaûng (1; +¥).	
	d) ñoàng bieán trong khoaûng (–1; +¥).
	e) ñoàng bieán treân khoaûng (1; +¥).
	f) nghòch bieán treân khoaûng .HD:
 Xeùt TH1: ta coù a<0 
 ( khoâng saûy ra vì neáu nhö vaäy thì haøm soá töû chia ñöôïc cho maãu xeùt rieâng)
+
 TH2: (a<0)
g) tìm a haøm soá luoân ñoàng bieán
i) xeùt daáu 
k) tìm m haøm soá nghòch bieán vôùi moïi x