Một số bài toán về tỷ số thể tích

Một số bài toán về tỷ số thể tích
A. Mục tiêu:
- Rèn kỹ năng dựng thiết thiện và tính diện tích thiết diện.
- Nắm được công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ.
S
A
B
C
D
H
- Vận dụng bài toán về tỷ số thể tích của góc tam diện vào làm bài tập tính tỷ số thể tích.
B. Nội dung:
I. Công thức cần nhớ:
1. Thể tích khối chóp:
V=B.h
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
H'
B: Diện tích đa giác đáy.
h: Độ dài đường cao.
2. Thể tích khối lăng trụ:
V=B.h
C
B
A
S
A'
B'
C'
B: Diện tích đa giác đáy.
h: Độ dài đường cao.
A
C
B
S
M
3. Tỷ số thể tích:
Cho khối chóp S.ABC.
A'ẻSA, B'ẻSB, C'ẻSC
* MẻSC, ta có: 	
II. Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a; AD=b. Cạnh SA=2a của hình chóp vuông góc với đáy. M là một điểm nằm trên cạnh SA với AM=x (0ÊxÊ2a).
1. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện ấy. Tìm x để thiết diện ấy có diện tích lớn nhất.
2. Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp trên ra hai phần có thể tích bằng nhau.
Hd:
S
A
M
N
D
C
B
1. Thiết diện là hình thang vuông
MNCB, vuông tại B và M.
* BM2=BA2+AM2
ịBM=
* DSMN đồng dạng DSAD,
ị
Vậy 
2. Xét hàm số 	(0ÊxÊ2a)
f'(x)=0 Û
Ta có: f(0)=ab.
f(2a)= 
f()=
f()=
ị khi 
Kết luận: Vậy với thì diện tích của thiết diện lớn nhất.
	3. Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD ị 
Gọi V1 là thể tích khối S.MNCB
V1=V(SMBC)+V(SMNC)
Ta có 
VSABC= ị
* Ta có: ị VSACD=
ị VSMNC=
V1= VSMNCB=
Ycbt Û V1= Û Û x22-6ax+4a2=0
Û
Kết luận: Vậy x= thì (MBC) chia khối chóp thành 2 phần tương đương.
Bài 2: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1. Các mặt phẳng (ABC1) và (A1B1C) chia lăng trụ thành 4 phần. Tính tỷ số thể tích của 4 phần đó. 
A
B
C
M
N
A'
B'
C'
Hd:
Gọi V1=; V1=
	V3=; V4=
Gọi V là thể tích của lăng trụ.
	Mặt khác: 
ị
Vậy V1: V2: V3: V4= 1:3:3:5
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Đường cao của hình chóp là SA=a. M là một điểm di động trên SB, đặt BM=x (0<x<a). (a) là mặt phẳng qua OM và vuông góc với (ABCD).
1. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (a). Tính diện tích thiết diện theo a và x.
2. Xác định x để thiết diện trên là hình thang vuông. Trong trường hợp đó tính tỷ số thể tích của hai phần của S.ABCD chia bởi thiết diện.
Hd:
S
A
D
C
B
M
K
N
O
H
1. Ta có 
SA^(ABCD)
(a) ^(ABCD)
ị SA // (a)
(a)ầ(SAB)=MN // SA
(a)ầ(SAC)=OK // SA 
(a)ầ(SABCD)=NH qua O 
(a)ầ(SCD)=KH
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNHK.
Ta có MN// OK // SA ị MN ^ (ABCD); OK^ (ABCD)
Std=Sht MKON + SKOH = 
MN=BN=x; KO=SA/2; NH=
Std= 
S
A
D
C
B
M
K
N
O
H
E
2. Để thiết diện là hình thang vuông Û MK// MO// BC Û N là trung điểm AB Û x=a/2.
V= 
V1=VSOECH+VKOE.MNB
Vậy 	
Bài 4: Cho khối chóp S.ABCD, trong đó ABCD là hình thang có các cạnh đáy AB, CD sao cho CD=4.AB, một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại các điểm tương ứng M, N. 
Hãy xác định vị trí điểm M trên SA sao cho thiết diện MNCD chia khối chóp đã cho thành hai phần tương đương (có thể tích bằng nhau).
Hd:
S
A
D
C
B
N
M
Đặt 
Gọi thể tích của hình chóp S.ABCD là V
Ta có CD=4AB ị
SADC=4.SABC ị SADC=
ị 
Ta có 
V1=VSMNC+VSNCD=
KL: Vậy 
Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) đường kính AB=2R.S là điểm nằm trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại A. Đặt SA=h. Mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với SB tại K, C là điểm trên (C), SC cắt mp(Q) tại H.
Đặt 
1. Tính thể tích của tứ diện SAHK theo R, h và a.
2. Chứng minh rằng thể tích đó đạt giá trị lớn nhất tại giá trị a0 của a sao cho a0>. Tính a0.
Hd:
1. * Ta chứng minh được AH ^ SC.
* 
* VABC= 
* 
2. Đặt P=
MaxP=
a
B
C
H
K
S
Dấu bằng xảy ra Û
ị 2a tù ịa>
KL: Vậy a0 =