Một số đề luyện tập thi Kĩ sư tài năng

Một số đề luyện tập 
Đề số 1 
Câu I. 
1) Cho hàm số  2
1
( ) ln 1 2011
2
f x x   . 
 Chứng minh rằng 
1
( )
2
f x  và phương trình ( )f x x có nghiệm thực duy nhất. 
2) Cho dãy số thực  nu được xác định như sau: 
1u a  ,  21
1
ln 1 2011
2
n nu u    , với 1n  . 
 Chứng minh rằng dãy  nu hội tụ. 
Câu II. 
 Cho các số thực dương , ,a b c . Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực 0x  : 
1 1 1 2
a x b x c x x
  
  
. 
Câu III. 
1) Cho hàm số    : 0;1 0;1f  thỏa mãn: 
( ) ( ) sin sinf x f y x y   ,  , 0;1x y  , x y . 
 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất  0 0;1x  để  0 0f x x . 
2) Giả sử hàm ( )f x khả vi trên đoạn  0;1 và (0) (1) 0f f   . 
 Chứng minh rằng tồn tại  0;1c sao cho   0f c  . 
Câu IV. 
1) Chứng minh rằng 
2
2
0
sin d 0x x

 . 
2) Hàm ( )f x khả tích trên đoạn  0;1 và 
1
0
( ) 0f x dx  . Chứng minh rằng tồn tại đoạn 
   , 0;1a b  mà trên đó ( ) 0f x  . 
Câu V. 
Cho 2 nửa đưởng thẳng chéo nhau Ax, By và AB = a (a > 0) là đoạn vuông góc chung. 
Góc giữa Ax, By bằng 30o. Hai điểm C, D lần lượt chạy trên Ax và By sao cho tổng 
AC + BD = d (d > 0) không đổi. Xác định vị trí của các điểm C, D sao cho thể tích tứ 
diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. 
*** 
www.VNMATH.com
1
Đề số 2 
Câu I. 
 Cho dãy số  nu được xác định bởi 1 1u  , 
2
1 2011n n nu u u   . 
 Tìm giới hạn: 1 2
2 3 1
lim n
n
n
uu u
u u u 
 
   
 
 . 
Câu II. 
1) Giả sử hàm ( )f x xác định và liên tục trên  và  ( )f f x x , x  . 
 Chứng minh rằng tồn tại 
0x  sao cho  0 0f x x . 
2) Tìm tất cả các hàm liên tục thỏa mãn    sinf x f x , x  . 
Câu III. 
1) So sánh hai số 
201220112012 và 
201120122011 . 
2) Giả sử hàm  : ,f a b   là hàm khả vi liên tục, và với mọi  , ,x y a b , tồn tại 
duy nhất z mà 
( ) ( )
( )
f y f x
f z
y x



. Chứng minh rằng hoặc f lồi nghiêm ngặt 
hoặc f lõm nghiêm ngặt trong  ,a b . 
Câu IV. 
Trong phòng có 6 người, cứ 3 người thì có ít nhất 2 người quen nhau. Chứng minh rằng 
có 3 người đôi một quen nhau. 
Câu V. 
Cho số nguyên dương n . Chứng minh bất đẳng thức: 
2
1 1 1
1 1 1 3
2 2 2n
    
       
    
 . 
***
www.VNMATH.com
2
Đề số 3 
Câu I. 
Cho phương trình 1 1x m x    (1). 
1) Giải phương trình (1) khi 4m  . 
2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. 
Câu II. 
1) Cho hàm f khả vi liên tục hai lần trên đoạn  ,a b ,   ,c a b , ( ) ( ) ( )f a f b f c  . 
Chứng minh rằng tồn tại  0 ,x a b sao cho      0 0 02f x f x f x   . 
2) Tìm tất cả các hàm ( )f x khả vi hai lần trên  sao cho     0f x f x   , x  . 
Câu III. 
Cho hàm số  
2 1sin 0
0 0
x x
x x
x



 
 
1) Chứng minh rằng hàm ( )x khả vi tại điểm 0x  . 
2) Giả sử ( )f x khả vi tại điểm 0x  . Tính đạo hàm của   f x tại điểm 0x  . 
Câu IV. 
1) Giả sử hàm    : , \{0} 0,f a a   thỏa mãn 
0
1
lim ( ) 2
( )x
f x
f x
 
  
 
. 
Chứng minh rằng 
0
lim ( ) 1
x
f x

 . 
2) Chứng minh rằng với mỗi 0t  , phương trình 3 8 0x tx   luôn có nghiệm 
dương duy nhất, ký hiệu là ( )x t . Tính tích phân  
7
2
0
( )I x t dt  . 
Câu V. 
Trong phòng có 9 người, bất kì 3 người nào cũng có 2 người quen nhau. Chứng minh 
rằng có 4 người đôi một quen nhau. 
*** 
www.VNMATH.com
3
Đề số 4 
Câu I. 
1) Tính 
 
2
2
0 1 tan
dx
I
x



 . 
2) Tìm tất cả các hàm liên tục :f   thỏa mãn: 
( ) ( 1) ( 1) 1 0f x f x f x     . 
Câu II. 
Giả sử 1 2, , , nx x x là các nghiệm phức của phương trình 
1 1 0n nx x x     . 
Tính 
1
1
1
n
k kx 
 . 
Câu III. 
1) Tìm tất cả các hàm số dương ( )f x khả vi liên tục trên  0;1 thỏa mãn điều kiện: 
(1) (0)f ef và 
 
 
2
1
0
1
f x
dx
f x
 
  
 
 . 
2) Tìm tất cả các hàm khả vi  : 0;f   thỏa mãn  ( ) ( )f x f f x  , x  . 
Câu IV. 
Trên mặt phẳng Oxy cho 3 điểm không thẳng hàng A, B, C. Biết OA=1, OB=2, OC=3. 
Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC không lớn hơn 5. 
Câu V. 
Cho các số thực phân biệt 1 2, , , nk k k . Chứng minh rằng: 
     1 1 2 2sin sin sin 0n na k x a k x a k x    , x  khi và chỉ khi 1 2 na a a   . 
***
www.VNMATH.com
4
Đề số 5 
Câu I. 
1) Tính  
4
0
lim tan
n
n
n x dx


 
 
 
 
 
 
2) Tìm hàm    : 0;1 0;1f  thỏa mãn    1 2 1 2f x f x x x   ,  1 2, 0;1x x  . 
Câu II. 
1) Cho hàm ( )f x khả vi trên đoạn  ,a b và thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) 0f a f b  , 
( ) 0f x  ,  ,x a b  . Chứng minh rằng tồn tại dãy  nx ,  ,nx a b sao cho: 
 
   
lim 2011
1
n
nn
n
f x
e f x



. 
2) Cho dãy  nu : 0 3u  , 1
21 1
n
n
n
u
u
u
 
 
. Tìm  lim 2n n
n
u

. 
Câu III. 
1) Số nào lớn hơn trong hai số sau: 
25
1
1
365n
n

 
 
 
 và 
1
2
. 
2) Tìm tất cả các hàm ( )f x khả vi cấp hai trên  ,a b thỏa mãn ( ) ( ) 0f a f b  và: 
  ( )xf x e f x  , x  . 
Câu IV. 
Trong phòng có 100 người, mỗi người quen với ít nhất 67 người khác. Chứng minh rằng, 
trong phòng phải có 4 người từng đôi một quen nhau. 
Câu V. 
Giải hệ phương trình: 
1 2 3 1
2 3 4 1 2
1 2 1
2 3
2 3
2 3
n
n n n
x x x nx a
x x x nx a
x x x nx a
    

    


     




*** 
www.VNMATH.com
5
Đề số 6 
Câu I. 
Cho dãy  nu được xác định như sau: 
 
0 1
2 1
1
n n n
u u
u u u n 
 

   
1. Chứng minh rằng  nu là dãy tăng. 
2. Chứng minh rằng  nu có giới hạn hữu hạn khi n . Tìm lim n
n
u

. 
Câu II. 
1) Có tồn tại hay không một đa thức ( )P x thỏa mãn ( ) ( )P x P x và ( ) ( )P x P x  , 
với mọi x . 
2) Biết rằng đa thức ( )Q x có tính chất ( ) ( )Q x Q x , với mọi x . Chứng minh 
rằng ( ) 0Q x  , với mọi x . 
Câu III. 
Cho phương trình hàm :  
( ) ( )
1 ( ) ( )
f x f y
f x y
f x f y

 

 (1) 
1) Chứng minh rằng hàm ( ) tan( )f x cx , c là hằng số , thỏa mãn phương trình (1), 
1 1
, ,
2 2
x y
 
   
 
. 
2) Tìm tất cả các ( )f x hàm khả vi trên 
1 1
,
2 2
 
 
 
 thỏa mãn phương trình (1). 
Câu IV. 
1) Với mỗi n , đặt nS là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường : 
0x  , 1y  , ny x . 
 Tính lim n
n
S

. 
2) Cho các số thực , 1p q  thỏa mãn 
1 1
1
p q
  . Chứng minh rằng : 
p qa a
ab
p q
  . 
Câu V. 
Giải hệ phương trình : 
1 2 1
1
2 1 2
1 1
2004
2005 1
2005 1
n n
n n
n
n n
a
x x x x
a x
x x x
a x x
x




    

    



   
 


 

*** 
www.VNMATH.com
6
Đề số 7 
Câu I. 
1) Cho hàm số ( )f x xác định và liên tục trên  0;1 thỏa mãn: 
( ) ( ) 1xf y yf x  ,  , 0;1x y  
 Chứng minh rằng : 
1
0
( )
4
f x dx

 . 
2) Cho các số thực dương ,p q thỏa mãn 1p q  và dãy số  n nu  không âm thỏa 
mãn điều kiện 2 1n n nu pu qu   , với mọi n . Chứng minh rằng dãy  n nu  
hội tụ và tìm giới hạn của dãy đó . 
Câu II. 
 Cho      1 1 2 2( ) sin sin sinn nf x a b x a b x a b x    
1) Chứng minh phương trình ( ) 0f x  có nghiệm trong khoảng  0;2 . 
2) Giả sử ( ) sinf x x ,  1;1x   . Chứng minh rằng : 1 1 2 2 1n na b a b a b   . 
Câu III. 
1) Tìm 0x  sao cho 
roots 
lim
n
n
x x x x x

    

 (n dấu căn). 
2) Tìm tất cả các hàm liên tục :f   thỏa mãn    2 2f x f x  , x  . 
Câu IV. 
Trong mặt phẳng cho 2012 điểm sao cho cứ 3 điểm bất kì có ít nhất 2 điểm cách 
nhau một khoảng không vượt quá 1. Chứng minh rằng : tồn tại một hình tròn bán 
kính bằng 1 chứa ít nhất 2011 điểm. 
Câu V. 
 Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi *n : 
2 4 3
1 2
3 6
n
n n n n

     . 
*** 
www.VNMATH.com
7
Đề số 8 
Câu I. 
1) Tìm giới hạn : 
2 31 2 3
lim
n
nn
n
n
   
. 
2) Tính tích phân : 
  
1
2
1 1 1
x
dx
I
e x

 
 . 
Câu II. 
1) Cho số nguyên dương n và số thực a thỏa mãn 
1 503
0
2 1
a
n n n
  
 
. 
Chứng minh rằng : 
1
2012
a  . 
2) Cho hàm số ( )f x xác định và khả vi cấp hai trên  , thỏa mãn điều kiện 
( ) ( ) 0f x f x  , với mọi x . 
Chứng minh rằng : 
( ) ( ) 0f x f x    , với mọi x . 
Câu III. 
Tìm tất cả các hàm ( )f x thỏa mãn: 
2011( )
( ) ( ) ( ) ,
xf x e x
f x y f x f y x y
   

   


Câu IV. 
Cho hàm liên tục    : 0;1 0;1f  . Đặt 
1
0
( )f x dx a . Chứng minh rằng : 
1) ( )F x x và ( )F x a , với 
0
( ) ( )
x
F x f x dx  . 
2) 
1 2
0
( )
2
a
F x dx a  . 
3) 
12
0
( )
2
a
xf x dx  . 
4) 
1 2
0
( )
2
a
xf x dx a  . Đẳng thức xảy ra khi nào? 
Câu V. 
Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 đường thẳng sao cho mỗi đường thẳng chia ABCD 
thành hai hình thang có tỉ số diện tích bằng 1/3 . Chứng minh rằng, trong 17 đường thẳng 
đó có 5 đường thẳng đồng quy. 
*** 
www.VNMATH.com
8
Đề số 9 
Câu I. 
1) Tính: 
0
lim
1
n x
xn
n
e
dx
e

 

 . 
2)  là tập hợp số hữu tỉ. Tìm tất cả các hàm liên tục    : , ,f a b a b , thỏa mãn: 
( ) 0f x  , với mọi  ,x a b  . 
Câu II. 
1) Cho hàm ( )f x khả vi trên  0;1 , (0) 1f   , (1) 0f   . 
Chứng minh rằng  0;1c  sao cho ( )f c c  . 
2) Hàm ( )x khả vi cấp hai trên  0; . Biết rằng ( ) 0x  , ( ) 0x  và 
 
2
( ) ( )
2
( )
x x
x
 




,  0;x   . Chứng minh rằng 
 
2
( )
lim 0
( )x
x
x



 . 
Câu III. 
1) Giải hệ phương trình : 
xyz x y z
yzt y z t
ztx z t x
txy t x y
  
   

  
   
2) Cho hàm liên tục    : 0;1 1;2f  thỏa mãn 
1
0
3
( )
2
f x dx  . 
Chứng minh rằng : 
1
0
3
( ) 4
dx
f x
 . 
Câu IV. 
Cho một bàn cờ quốc tế 8 x 8 . Hỏi rằng quân mã có thể đi nước đầu tiên từ ô 
dưới cùng bên trái và kết thúc ở ô trên cùng bên phải hay không ? (Với điều kiện nó phải 
đi qua tất cả các ô trên bàn cờ và mỗi ô chỉ đi qua đúng một lần) 
Câu V. 
Chứng minh rằng mọi đa giác bất kì đều có 2 cạnh mà tỉ số độ dài giữa chúng 
nằm trong khoảng 
1
;2
2
 
 
 
. 
*** 
www.VNMATH.com
9
Đề số 10 
Câu I. 
Cho dãy   *n nx  được xác định bởi công thức truy hồi 
2
1 2n nx x   , với 1 5x  . 
1) Tìm giới hạn 1
1 2
lim n
n
n
x
x x x

 
. 
2) Tìm giới hạn 
1 1 2 1 2
1 1 1
lim
n
nx x x x x x

 
   
 


. 
Câu II. 
1) Tính tích phân  *
0
sin
sin
n
nx
I n
x

   . 
2) Cho hàm ( )f x khả vi trên đoạn  0;1 thỏa mãn (0) 0f  , (1) 1f  . 
Chứng minh rằng với mọi 1 0k  , 2 0k  , tồn tại  1 2, 0;1x x  sao cho: 
1 2
1 2
1 2'( ) '( )
k k
k k
f x f x
   . 
Câu III. 
Tìm số  lớn nhất và số  nhỏ nhất để: 
1 1
1 1
n n
e
n n
  
   
      
   
. 
Câu IV. 
Một nền nhà hình chữ nhật được lát kín bởi 2 loại gạch có kích thớc 1 x 4 và 2 x 2. Người 
ta dỡ gạch lên và không may làm vỡ mất 1 viên 2 x 2. Họ thay viên bị vỡ bởi viên 1 x 4 
rồi tiến hành lát lại sàn nhà . Hỏi bây giờ có thể lát kín nền nhà được hay không? 
Câu V. 
Cho n số thực 1 2, , , na a a thỏa mãn 0 1ka  , với mọi 1,2, ,k n  . 
Chứng minh rằng : 
   2 2 2 21 2 1 21 4n na a a a a a         . 
***
www.VNMATH.com
10
Đề số 11 
Câu I. 
Cho hệ phương trình: 
2 2
2 2
2 2
x y z a
x y z a
x y z a
   

  

  
1) Giải hệ khi 1a  . 
2) Tìm a để hệ đã cho có đúng 1 nghiệm. 
Câu II. 
1) Giả sử ( )f x khả vi liên tục trên khoảng  ,a b . Liệu có thể chắc chắn rằng với 
mọi  ,x a b , tồn tại  1 2, ,x x a b , 1 2x x sao cho: 
   2 1
2 1
( )
f x f x
f c
x x

 

hay không? 
2) Cho ( )f x là một đa thức bậc n thỏa mãn ( ) 0f x  , x  . Chứng minh rằng : 
( )( ) ( ) ( ) ( ) 0nf x f x f x f x      , x  . 
Câu III. 
1) Cho hàm số ( )f x thỏa mãn các tình chất : 
i. 0 ( ) 1f x  , 0x  ; 
ii.  
1
( ) 1 ( )
4
f x h f x   
Tính lim ( )
x
f x

. 
2) Chứng minh rằng  
24
0
1
tan
2 4
n
n
x x dx
n



 
  
  
  
*n . 
Câu IV. 
Trong quốc hội một nước, mỗi nghị sĩ đều có không quá 3 kẻ thù. 
Chứng minh rằng có thể chia quốc hội thành 2 viện sao cho trong mỗi viện, mỗi nghị sĩ 
đều có không quá 1 kẻ thù. 
Câu V. 
Chứng minh rằng : 
1 1 1
1
1 2 3 1n n n
   
  
 , n  . 
***
www.VNMATH.com
11
Đề số 12 
Câu I. 
1) Tính tích phân:  
2
2 2
0
cos (cos ) sin (sin )I x x dx

  . 
2) Tìm tất cả các hàm số :f   thỏa mãn: 
 ( ) max ( )
y
f x xy f y

 

, x  . 
Câu II. 
1) Cho f là một hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn điều kiện (0) (1)f f . 
Chứng minh rằng tồn tại một số  0;1c sao cho 
1
( )
2011
f c f c
 
  
 
. 
2) Cho H là tập hợp các hàm số ( )f x có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên đoạn [0,1] 
thỏa mãn điều kiện (0) (1) 0f f  , (0) 1f   . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của  
1
2
0
( )f x dx , với ( ) Hf x  . 
Câu III. 
Cho dãy số  nx thỏa mãn 0 10 x x  và: 
   1 1 1 11 1 1 1n n n n n nx x x x x x        , *n  . 
CMR:  nx hội tụ khi n . Tìm lim n
n
x

. 
Câu IV. 
Giải hệ phương trình: 
 
 
2
2
3 3
3 3
1 1 1
3
1 1 1
3
log log
log log
y
x
x x
y y

 

  

  
  
Câu V. 
Cho một đa giác lồi P có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn 
bán kính 
1
4
 mà đa giác P nằm trọn trong đó. 
*** 
www.VNMATH.com
12