Một số phương pháp giải các phương trình lượng giác không mẫu mực

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH 
LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC:
	1) Loại nghiệm không thích hợp:
	Hầu hết các phương trình lượng giác, trước khi biến đổi phương trình ta phải 
Đặt điều kiện cho ẩn. Do đó trước khi kết luận nghiệm của phương trình, ta phải kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thỏa mãn các điều kiện đã đặt ra không? Ta có thể dùng đường tròn lượng giác để thực hiện điều này.
Bài tập áp dụng:
1. Giải phương trình 
2. Giải các phương trình: 
3. Giải các phương trình:
	a) tanxtan3x = 0;	b) (2cosx - - 3)(tan5x – 1) = 0;
4. Cho phương trình 
	a) Giải phương trình khi m = 1;	b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
5. Cho phương trình 
	a) Giải phương trình khi m = 
	b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
6. Cho phương trình 
	a) Giải phương trình khi m = 
	b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
	2) Đưa phương trình về dạng tích:
	* Cách giải: Những phương trình thuộc loại này yêu cầu phải có kỹ năng biến đổi và kinh nghiệm nhận dạng để định hướng cho phép giải trong quá trình biến đổi. Có thể dùng các công thức lượng giác để làm xuất hiện nhân tử chung rồi đặt thừa số chung đó. Công thức biến đổi tổng thành tích và các hằng đẳng thức rất hữu hiệu đối với loại phương trình này.
	Sau đây là một số họ các biểu thức có thừa số chung:
 f(x)
Biểu thức chứa thừa số f(x)
 sinx
 sin2x, sin3x, tanx, tan2x, tan3x, . . .
 cosx
 sin2x, cos3x, tan2x, tan3x, cotx, . . .
1 + cosx
1 – cosx
1 + sinx
1 - sinx
 cosx + sinx
 cos2x, cot2x, 1 + sin2x, 1 + tanx, 1 + cotx, tanx - cotx
 cosx - sinx
cos2x, cot2x, 1 - sin2x, 1 - tanx, 1 = cotx, tanx - cotx
Bài tập áp dụng:
1. Tìm a để phương trình sin2(x – p) - sin(3x - p) = asinx có nghiệm x ¹ kp.
2. Giải các phương trình:
a) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0;	b) cos3x – 2cos2x + cosx = 0;
c) sin2x + sin22x + sin23x = 1,5;	 
d) cos3xcos4x + sin5xsin2x = 0,5(cos2x + cos4x).
3. Giải các phương trình:
4. Giải và biện luận theo a phương trình 
5. Giải các phương trình:
	a) 1 + sinx + cosx + tanx = 0;	 
6. Giải các phương trình:
	a) tan22x.tan23x.tan5x = tan22x – tan23x + tan5x;	
f) cotx – tanx = sinx + cosx.
7. Tìm m để phương trình cos3x – cos2x + mcosx – 1 = 0 có đúng 7 nghiệm khác nhau thuộc 
8. Tìm m để phương trình sin3x + sin2x = msinx có đúng 8 nghiệm thuộc 
9. Tìm m để phương trình 
	(2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 – 4cos2x có đúng hai nghiệm thỏa mãn 0 < x < p.
10. Giải phương trình 3cos4x – 2cos23x = 1.
3) Dùng bất đẳng thức:
	Có những lúc mới nhìn vào phương trình ta thấy nó có vẻ “không bình thường”, chẳng hề có dáng dấp của bất kỳ loại phương trình nào đã học. Những lúc ấy ta nên nghĩ tới việc đánh giá các biểu thức ở hai vế của phương trình. Nó có thể giúp ta tìm ra một lời giải đẹp.
	Ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức hoặc miền xác định, miền giá trị của hàm số để đánh giá các biểu thức ở cả hai vế của phương trình, từ đó lập được phương trình mới để giải.
Bài tập áp dụng:
1. Giải các phương trình:
	c) tan4x + tan4y + 2cot2xcot2y = 3 + sin2(x + y).
2. Giải các phương trình: 
a) sin4xsin16x = 1;	 
3. Giải các phương trình:
4. Tìm các số x, y thỏa mãn:
	a) 2 + 2sinx(siny + cosy) = cos2x;	 b) cosx + cosy – cos(x + y) = 1,5;
	c) sin2x + sin2y + sin2(x + y) = 2,25;	 d) tan2x + tan2y + tan2(x + y) = 1.
5. Chứng minh rằng phương trình sau đây vô nghiệm: sin2xsin5xsin7x = 1.
6. Giải các phương trình:
	a) sin3x + cos5x = 1;	 b) (sin4x + sin2x)2 = 5 – sinx.
7. Giải phương trình: 
4) Dùng tính chất của hàm số:
	Các phương trình thuộc loại này là các phương trình “không bình thường”. Tính chất được sử dụng ở đây là tính chất biến thiên của hàm số, đôi khi ta còn kết hợp với miền giá trị của hàm số.
	Để giải phương trình thuộc dạng này, ta phải xét được sự biến thiên của hàm số trên một khoảng xác định nào đó, rồi đánh giá giá trị của hàm số trên đó, hoặc kết hợp tìm miền giá trị của hàm số, từ đó suy ra giá trị của ẩn cần tìm. Hàm số nói ở đây là hàm số mà ta phải tự nhận diện từ phương trình đã cho. Những phương trình dạng này sẽ được xem xét nhiều hơn khi ta dùng công cụ đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số.
Bài tập áp dụng:
1. Giải các phương trình:
2. Tìm m để phương trình: sin4x + (1 + sinx)4 = m có nghiệm.
3. Giải các phương trình:
	 c) sin(px) = x – 1; 	 d) cos2x.sin(sinx) + sinx .cos(sinx) = 0.
4. Tìm nghiệm x Î (0; p) của phương trình:
5. Tìm m để phương trình có nghiệm:
	a) cos4x + (2 – cosx)4 = m.
Bài ôn tập:
1. Giải các phương trình a) 	b) (1 + sinx)(1 + cosx) = 2.
(ĐH An ninh 1998).
2. Cho phương trình (1)
	a) Giải phương trình (1) khi m = 2;
	b) Khi m ≠ 0 và m ≠ , phương trình (1) có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn [20π; 30π].	 (ĐH Cần thơ 1998).
3. Giải phương trình 3 – 4cos2x = sinx(2sinx + 1)	 (ĐH Cần thơ 1998).
4. Giải phương trình 	 (ĐH Bách khoa Hà nội 1998).
5. Giải phương trình 	 (ĐH Công đoàn 1998).
6. Giải phương trình 	 (ĐH Dược Hà nội 1998).
7. Giải các phương trình: a) 3cos4x – 2cos23x = 1;	 (ĐH Đà nẵng 1998).
	b) 1 + 3cosx + cos2x = cos3x + 2sinxsin2x.
8. Giải phương trình tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)	 (ĐH Giao thông vận tải 1998).
9. Giải các phương trình: a) cos3x + sinx – 3sin2xcosx = 0;
	;
	c) sinx = 2sin3x + cos2x.	 (ĐH Huế 1998).
10. Cho phương trình 
	a) Giải phương trình khi 
	b) Xác định α để phương trình có nghiệm.	 (ĐH Kiến trúc Hà nội).
11. Cho phương trình (ĐH Kiến trúc Hà nội).
	a) Giải phương trình khi m = 0,5;
	b) Xác định m Î Z để phương trình có nghiệm trong khoảng 
12. Giải phương trình 	 (ĐH Kinh tế quốc dân 1998).
13. Giải phương trình 	 (ĐH Luật Hà nội 1998).
14. Cho phương trình sinx + mcosx = 1 (1)
	a) Giải phương trình (1) khi 
	b) Tìm tất cả các giá trị của m để mọi nghiệm của phương trình (1) đều là nghiệm của phương trình msinx + cosx = m2 (2).
15. Giải các phương trình a) sin3x + cos2x = 1 + 2sinxcos2x;
	b) 1 + sinx + cosx + tanx = 0. 	 (ĐH Ngoại ngữ 1998).
16. Giải các phương trình 	 (ĐH Ngoại thương 1998).
a) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x;
	b) cosxcoss4x + cos2xcos3x = 0.
17. Giải các phương trình 	 (ĐH Nông nghiệp I 1998).
	a) 
18. Giải các phương trình 	
	a) sin2x = cos22x + cos23x;
	b) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x);
	c) 	 (ĐH Quốc gia Hà nội 1998).
19. Giải phương trình 	 (ĐH Sư phạm Vinh 1998).
20. Giải phương trình 	 (ĐH Thái nguyên 1998).
21. Giải phương trình (1 + sinx)2 = cosx	 (ĐH Thủy lợi 1998).
22. Xác định a để hai phương trình sau tương đương:
	2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x (1)
	4cos2x – cos3x = acosx + (4 – a)(1 + cos2x) (2)	(ĐH Y Dược TP Hồ Chí Minh 1998).
23. Giải các phương trình sau: 	 
	a) 2(cot2x – cot3x) = tan2x + cot3x;
	b) sin23x – sin22x – sin2x = 0.	 (ĐH Y khoa Hà nội 1998).
24. Giải phương trình sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx - cosx) (HV CN Bưu chính viễn thông 1998).
25. Giải phương trình 	(HV Kỹ thuật Quân sự 1998).
26. Giải các phương trình 	 (HV Ngân hàng 1998).
a) sin6x + cos6x = cos4x;
b) 
27. Giải phương trình cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 1,5 (HV Quan hệ Quốc tế 1998).
28. Giải phương trình 
(HV Chính trị Quốc gia 1999).