Một số ứng dụng của Định lí Vi-Ét

Phòng giáo dục cẩm giàng Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Vi-ét. Môn: Đại số. Cẩm Giàng, ngày 21 tháng 3 năm 2008. Người báo cáo: Trần Văn Mạnh. Đơn vị: Trường THCS Tân Trường. Khối lớp: 9. Chuyên đề một số ứng dụng của định lý vi - ét A . Đặt vấn đề I - Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết phương trình bậc hai là một trong những nội dung quan trọng của chương trình đại số lớp 9, các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai là vô cùng phong phú. Do vậy khả năng gặp phương trình bậc hai trong các kì thi tuyển sinh vào THPT, vào các trường chuyên, lớp chọn là rất cao, đặc biệt là các bài toán liên quan đến định lý Vi-ét. Tuy nhiên phân phối chương trình cho phần định lý Vi-ét là rất ít (1 tiết lý thuyết, 1 tiết bài tập), vì thế qua thực tế giảng dạy tôi thấy đại đa số học sinh thường lúng túng đôi khi còn nhầm lẫn khi đứng trước các bài toán có liên quan đến định lý Vi-ét và một số ứng dụng của định lí này ( Như khi gặp các bài toán tìm hai số biết hiệu và tích, các bài toán chứa tham số, phương trình tương đương, phương trình có nghiệm chung...) Chuyên đề: một số ứng dụng của định lý vi - ét A . Đặt vấn đề I - Lý do chọn đề tài: Trước thực tế đó, nhằm giúp các em nắm được một cách có hệ thống và có khả năng giải quyết được các bài tập về dạng này một cách thành thạo, góp phần phát huy khả năng suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt của học sinh, tôi đã nghiên cứu và đề xuất chuyên đề: “Một số ứng dụng của định lý Vi-ét”. II- Mục đích nghiên cứu: - Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng của học sinh, trước những thiên hướng tốt, chưa tốt mà tôi thấy rất cần phân loại và trang bị một số phương pháp giải cho các em. - Thứ hai: Bản thân người thầy cũng rầt cần trau dồi, tự học và tham khảo làm chủ kiến thức. - Thứ ba: Giúp các thày cô có thêm tài liệu về định lý Vi-ét, phục vụ trong công tác giảng dạy, đặc biệt trong việc ôn luyện học sinh giỏi và ôn luyện vào THPT. III- Phương pháp nghiên cứu Chuyên đề: một số ứng dụng của định lý vi - ét A . Đặt vấn đề I - Lý do chọn đề tài II- Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu những vấn đề lý thuyết về phương trình bậc hai, định lý Viet trong chương trình đại số lớp 9 - Nghiên cứu qua những tài liệu tham khảo, những chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Qua thực tế giảng dạy đặc biệt là từ kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn tập cho học sinh thi vào THPT. - Qua trao đổi, học hỏi kinh nghiệm của bạn bè đồng nghiệp, những đồng chí có nhiều năm công tác, có bề dày kinh nghiệm trong công tác giảng dạy. IV- Nhiệm vụ của đề tài Đề cập tới một số ứng dụng của định lý Vi-et. Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng dạng , cách giải quyết từng dạng. Từ đó dần hình thành khả năng tổng hợp, khái quát và các năng lực tư duy khác cho học sinh. V- Giới hạn nghiên cứu - Chuyên đề này áp dụng được với mọi đối tượng học sinh. Tuy nhiên với mỗi đối tượng thì giáo viên cần lựa chọn hệ thống bài tập với mức độ khó, dễ cho phù hợp. - Chuyên đề này áp dụng tốt nhất trong các tiết dạy tự chọn, trong việc ôn luyện học sinh giỏi, hướng dẫn học sinh ôn thi vào THPT, đặc biệt là ôn thi vào các trường chuyên, lớp chọn. Chuyên đề: một số ứng dụng của định lý vi - ét b. giải quyết vấn đề. I–cở sở lý thuyết 1. Điều kiện về nghiệm của phương bậc hai một ẩn Phương trình: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) (*) có 1.1 Nếu 0 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt: 1.4 Nếu ac x2 áp dụng định lý Viét ta có S = x1 + x2 và P = x1 . x2 ta có Do x1 > x2 nên Tính giá trị của một biểu thức mà biến số là các nghiệm của phương trình bậc hai nào đó Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét Dạng 2: Với biểu thức cần tính là biểu thức mà không đối xứng giữa các nghiệm trước hết ta tính S = x1 + x2 ; P = x1 . x2 sau đó cần có sự nhìn nhận một cách linh hoạt khéo léo để biến đổi biểu thức đã cho nhằm xuất hiện S; P từ đó tính được giá trị của biểu thức. Cho phương trình: Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1, x2.. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức: Tính giá trị của một biểu thức mà biến số là các nghiệm của phương trình bậc hai nào đó Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét Dạng 2: Hướng dẫn: Dễ thấy nên A > 0, B > 0 bình phương hai vế từng biểu thức ta tính được: VD4: VD5: Cho phương trình . Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1, x2 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức: Tính giá trị của một biểu thức mà biến số là các nghiệm của phương trình bậc hai nào đó Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét Dạng 2: Dễ thấy phương trình trên có 2 nghiệm trái dấu. Để tính được giá trị của các biểu thức C; D ở trên trước hết ta tính C2; D2. Hướng dẫn Ta có: ( Vì C > 0) Cho phương trình .Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1, x2.Tính giá trị của biểu thức A = (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Nguyễn Trãi- Hải Dương năm học 2005-2006) ở đây biểu thức A không phải là biểu thức đối xứng giữa 2 nghiệm x1 , x2 và trong biểu thức này chứa cả căn thức và giá trị tuyệt đối, nếu bình phương ngay sẽ gặp bế tắc .Chúng ta sẽ tìm cách chuyển biểu thức này về dạng hoặc chỉ chứa căn thức hoặc chỉ chứa dấu giá trị tuyệt đối. Cách 1: .Có x1 + x2 = 5; x1 . x2 = 3 x1> 0, x2 >0 Vì x1 là nghiệm của phương trình nên Tính giá trị của một biểu thức mà biến số là các nghiệm của phương trình bậc hai nào đó Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét Dạng 2: Ví dụ 6: Hướng dẫn Khi đó A Dễ thấy Vì x2 là nghiệm của phương trình nên nên Cách 2: Khi đó ta có: đến đây ta bình phương và tìm được A = 1  ở VD6 không có mặt S, P một số học sinh vội vàng bình phương 2 vế ngay khi đó gặp bế tắc. Thế nhưng nếu học sinh thay thế bởi hoặc như cách trên sau đó mới bình phương 2 vế thì giá trị của biểu thức A tính được một cách dễ dàng . Với những biểu thức mà có chứa luỹ thừa bậc cao thì việc biểu diễn luỹ thừa bậc cao của 1 nghiệm qua luỹ thừa thấp hơn của nghiệm đó cũng là một phương án đôi khi giúp cho việc tính toán thuận lợi hơn nhiều. Với phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 và S = x1 + x2 ; P = x1 . x2 . Khi đó : Tính giá trị của một biểu thức mà biến số là các nghiệm của phương trình bậc hai nào đó Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét Dạng 2: VD 7: Cho phương trình , có 2 nghiệm x1 , x2 Tính giá trị của các biểu thức : Theo định lí Viét có S = 2; P = - 1. áp dụng các hệ thức: Tính giá trị của một biểu thức mà biến số là các nghiệm của phương trình bậc hai nào đó Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét Dạng 2: Hướng dẫn: Ta có : = 12x1 + 5 =12x12 + 5x1 Vì phương trình có ac = -1 0; S > 0; P > 0 nên phương trình có hai nghiệm dương c) Có > 0; S 0 nên phương trình có hai nghiệm âm VD2 : Tìm m để phương trình a) x2 - 5x + m - 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu b) x2 - 5x + m - 2 = 0 có hai nghiệm dương c) 2x2 - 2(m + 1)x + m = 0 có hai nghiệm âm Dạng 6: xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét Hướng dẫn: a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi P 0 ( Do m nhận giá trị dương ) nên PT có 2 nghiệm dương. b) PT (2) có hai nghiệm x1 ; x2 cùng dấu khi và chỉ khi Mặt khác: S = x1 + x2 = nên PT có hai nghiệm cùng âm VD4: Cho phương trình (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0. Tìm m để phương trình có: a) Một nghiệm b) Hai nghiệm cùng dấu phân biệt c) Hai nghiệm âm phân biệt Hướng dẫn: a) PT đã cho có một nghiệm khi và chỉ khi b) PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi c) PT có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi Dạng 6: xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét VD5: Cho phương trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m -1 = 0 .Tìm m để phương trình a) Có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn b) Có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về GTTĐ c) Có 1 nghiệm dương Hướng dẫn: a) PT đã cho có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn khi và chỉ khi b) PT đã cho có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về GTTĐ khi và chỉ khi Dạng 6: xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét c) Ta xét các khả năng sau: + TH1: Nếu m – 4 = 0 m = 4 thì phương đã cho trở thành -4x + 3 = 0 Vậy m = 4 là một giá trị thoả mãn + TH2: Nếu m – 4 0 m 4 phương trình đã cho là phương trình bậc hai có 3 khả năng xảy ra để phương trình có một nghiệm dương i) PT có 2 nghiệm trái dấu. Điều này xảy ra khi và chỉ khi P = ac 4P do đó theo định lý Vi - ét đảo ta có x1, x2 là nghiệm của phương trình x2+ 2x+ ab = 0. ở bài toán này cũng như bài toán trước, trước hết ta giả sử nghiệm của phương trình (1) là x0; x1; các nghiệm của phương trình (2) là x0; x2 sau đó tìm x0; x1+ x2; x1.x2. Kiểm tra điều kiện S2 > 4P từ đó lập được phương trình có hai nghiệm x1; x2 VD3: Tìm m để hai phương trình x2 – mx + 2m -3 = 0 (1); x2 – (m2 + m - 4)x + 1= 0 (2) tương đương. Hướng dẫn: Hai phương trình trên tương đương trong hai trường hợp * Trường hợp 1: PT(1) và PT(2) vô nghiệm (không xảy ra) Thử lại với m = 2 thì hai phương trình tương đương vì chỉ có một nghiệm x = 1. Vậy m = 2 Dạng 9: xét mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét *Trường hợp 2: PT(1) và PT(2) cùng có nghiệm x1; x2 theo định lý Vi-ét ta có: Với loại toán này ta cần lưu ý học sinh: Khi cả hai phương trình vô nghiệm thì hai phương trình đó cũng là hai phương trình tương đương. Cho nên với một số bài toán ta phải xét hai trường hợp, trường hợp cả hai phương trình vô nghiệm và trường hợp cả hai phương trình có cùng một tập hợp nghiệm. 9.2 Hai phương trình tương đương VD4: Tìm m, n để phương trình x2 – (m + n)x -3 = 0 (1) 	và phương trình x2 – 2x + 3m – n – 5 = 0 (2) tương đương. PT(1) có nên PT(1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 .Do đó PT(1) và PT(2) tương đương khi hai phương trình này có cùng tập hợp nghiệm nghĩa là: Vậy m =1 và n =1 là các giá trị cần tìm Với bài toán này ta đã chỉ ra được một phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, nên để cho hai phương trình tương đương thì phương trình còn lại cũng phải có hai nghiệm giống hai nghiệm của phương trình trên, áp dụng định lý Vi-ét về tổng tích hai nghiệm ta sẽ tìm được m, n Dạng 9: xét mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét Hướng dẫn: c . Kết luận chung Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét là một trong những vấn đề quan trọng trong chương trình THCS. Với định lý Vi-ét thôi mà đã có nhiều dạng bài tập ở nhiều khía cạnh khác nhau. Trong chuyên đề này tôi chỉ đề cập tới những phương pháp cơ bản mà học sinh thường hay gặp trong các kỳ thi đặc biệt là thi vào THPT, với mỗi một dạng tôi đã lựa chọn hệ thống các bài tập từ dễ đến khó phù hợp với trình độ của nhiều đối tượng học sinh nhằm giúp cho các em có kỹ năng giải toán, từ đó tạo cho học sinh có hứng thú, say mê học tập, phát huy trí lực, rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá một bài toán, một vấn đề. Chuyên đề: " Một số ứng dụng của định lý Vi-ét " là vấn đề đã được nhiều thày cô nghiên cứu. Song với lòng ham muốn tìm tòi, học hỏi để nâng cao trình độ của bản thân, giảm bớt khó khăn cho học sinh tôi đã nghiên cứu và viết chuyên đề trên. Vì thời gian không nhiều hơn nữa đây là vấn đề rất rộng nên chắc chắn chuyên đề này không tránh khỏi những hạn chế. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các đồng chí lãnh đạo, các đồng chí trong hội đồng bộ môn và các bạn đồng nghiệp để chuyên đề này được hoàn chỉnh hơn và ngày càng phát huy hiệu quả. Tôi xin trân trọng cảm ơn ./.