Ôn tập Đại số Lớp 9 - Chương III: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

 CHƯƠNG III
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
	· Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng: 	(1)
	trong đó a, b, c là các số đã biết (a ¹ 0 hoặc b ¹ 0).
	· Nếu thoả (1) thì cặp số đgl một nghiệm của phương trình (1).
	· Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, mỗi nghiệm của (1) được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm 	được biểu diễn bởi điểm .
2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
	· Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được 	biểu diễn bởi đường thẳng (d).
	· Nếu a ¹ 0 và b ¹ 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất .
	Nếu a ¹ 0 và b = 0 thì phương trình trở thành và đường thẳng (d) song song 	hoặc trùng với trục tung.
	Nếu a = 0 và b ¹ 0 thì phương trình trở thành và đường thẳng (d) song song 	hoặc trùng với trục hoành.
Trong các cặp số (0; 4), (–1; 3), (1; 1), (2; 3), (4; 6), cặp số nào là nghiệm của phương trình: 
	a) 	b) 	c) 	
Tìm nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
II. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
	Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
	 (I)
	· Nếu hai phương trình trên có nghiệm chung thì đgl một nghiệm của hệ (I).
	· Nếu hai phương trình trên không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm.
	· Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
2. Minh hoạ hình học tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
	Tập nghiệm của hệ phương trình (I) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường 	thẳng và .
	· Nếu cắt hay thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.
	· Nếu // hay thì hệ (I) vô nghiệm.
	· Nếu º hay thì hệ (I) có vô số nghiệm.
3. Hệ phương trình tương đương
	Hai hệ phương trình đgl tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Bài tập: Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau và giải thích vì sao:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 	
III. GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Phương pháp thế 
	· Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là PT (1)), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thế 	vào phương trình thứ hai (PT (2)) để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
	· Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho PT (2) trong hệ (PT (1) cũng thường 	được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia).
2. Phương pháp cộng đại số
	· Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một 	phương trình mới.
	· Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (giữ 	nguyên phương trình kia).
	Chú ý: 
	· Trong phương pháp cộng đại số, trước khi thực hiện bước 1, có thể nhân hai vế của mỗi 	phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai 	phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau.
	· Đôi khi ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương 	trình với hai ẩn mới, rồi sau đó sử dụng một trong hai phương pháp giải ở trên.
Giải các hệ phương trình sau 
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Giải các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 	
	e) 	f) 
Giải các hệ phương trình sau:
	a)	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	
Giải các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Giải các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Xác định a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:
	a) A(2; 1), B(1; 2)	b) A(1; 3), B(3; 2)	c) A(1; –3), B(2; 3)
	d) A(–1; 1), B(2; 3)	e) A(2; –2), B(–1; –2)	f) A(1; 0), B(1; –6)
IV. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
	· Bước 1: Lập hệ phương trình:
	+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng.
	+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
	+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
	· Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói trên.
	· Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp 	với bài toán (thoả mãn điều kiện ở bước 1) và kết luận.
Dạng 1: Toán về quan hệ giữa các số
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số sao cho tổng của hai chữ số của nó bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
Tìm một số tự nhiên có ba chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng chục là 4, nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đó giảm đi 99 đơn vị.
Tìm một số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 11, biết rằng khi chia số đó cho 11 thì được thương bằng tổng các chữ số của số bị chia.
Dạng 2: Toán làm chung công việc
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể. Nếu vòi I chảy trong 4 giờ, vòi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được bể. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng một mình đầy bể.
Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó.
Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì công việc được hoàn thành sau 1 giờ 20 phút. Nếu mỗi lớp chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 3 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm một mình thì phải mất bao nhiêu thời gian.
Dạng 3: Toán chuyển động
Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đã định. Nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h thì thời gian đi được sẽ giảm 1 giờ. Nếu vận tốc giảm bớt 10 km/h thì thời gian đi sẽ tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.
Hai địa điểm A và B cách nhau 85 km. Cùng lúc, một canô đi xuôi dòng thừ A đến B và một canô đi ngược dòng từ B đến A, sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi canô, biết rằng vận tốc canô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc canô đi ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h (vận tốc thật của các canô không đổi).
Quãng đường AB dài 200 km. Cùng lúc một xe máy đi từ A đến B và một ô tô đi từ B đến A. Xe máy và ô tô gặp nhau tại điểm C cách A 120 km. Nếu xe máy khởi hành sau ô tô 1 giờ thì gặp nhau tại điểm D cách C 24 km. Tính vận tốc của ô tô và xe máy.
Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A để đi đến B. Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc xe khách là 20 km/h. Do đó xe du lịch đến B trước xe khách 50 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết quãng đường AB dài 100 km.
Một người đi xe máy từ A đến B. Vì có việc gấp phải đến B trước thời gian dự định là 45 phút nên người đó tăng vận tốc lên mỗi giờ 10 km. Tính vận tốc mà người đó dự định đi, biết quãng đờng AB dài 90 km.
Một người đi xe máy từ A tới B. Cùng một lúc một người khác cũng đi xe máy từ B tới A với vận tốc bằng vận tốc của người thứ nhất. Sau 2 giờ hai người gặp nhau. Hỏi mỗi người đi cả quãng đường AB hết bao lâu?
Một canô ngược dòng từ bến A đến bến B với vận tốc 20 km/h, sau đó lại xuôi từ bến B trở về bến A. Thời gian canô ngược dòng từ A đến B nhiều hơn thời gian canô xuôi dòng từ B trở về A là 2 giờ 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết vận tốc dòng nước là 5 km/h, vận tốc riêng của canô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng bằng nhau.
Dạng 4: Toán có nội dung hình học
Một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 3 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 . Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48 m. Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162 m. Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu.
Người ta muốn làm một chiếc thùng tôn hình trụ không nắp có bán kính đáy là 25 cm, chiều cao của thùng là 60 cm. Hãy tính diện tích tôn cần dùng (không kể mép nối). Thùng tôn đó khi chứa đầy nước thì thể tích nước chứa trong thùng là bao nhiêu.
Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích là 100 m2. Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng. Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2 m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi 5 m thì diện tích của thửa ruộng sẽ tăng thêm 5 m2.
Dạng 5: Các dạng khác
Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách trên mỗi giá.
Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Thực tế, xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm được 404 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch.
Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã định. Nhng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm. Mặc dù người đó mỗi giờ đã làm thêm một sản phẩm so với dự kiến, nhưng thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm so với dự định là 12 phút. Tính số sản phẩm dự kiến làm trong 1 giờ của người đó. Biết mỗi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm.
Theo kế hoạch, một công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm trong thời gian nhất định. Nhưng do cải tiến kĩ thuật nên mỗi giờ người công nhân đó đã làm thêm được 2 sản phẩm. Vì vậy, chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 30 phút mà còn vượt mức 3 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm.
Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công thợ (nghĩa là nếu công việc đó chỉ có một người làm thì phải mất 420 ngày). Hãy tính số công nhân của đội biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để đội hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày.
Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 tấn hàng đến một địa điểm qui định. Vì trong đội có 2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe phải chở thêm 0,7 tấn hàng nữa. Tính số xe của đội lúc đầu.
Người ta dự kiến trồng 300 cây trong một thời gian đã định. Do điều kiện thuận lợi nên mỗi ngày trồng được nhiều hơn 5 cây so với dự kiến, vì vậy đã trồng xong 300 cây ấy trước 3 ngày. Hỏi dự kiến ban đầu mỗi ngày trồng bao nhiêu cây? (Giả sử số cây dự kiến trồng mỗi ngày là bằng nhau).