Ôn tập hè 11 môn Toán

Chuyên đề 1	 Giới Hạn
Phần 1 giới hạn của dãy số
 A - Các kiến thức cần nhớ.
 1) Định nghĩa .
 Dãy số có giới hạn là a nếu với mọi số dương cho trước 
 ( nhỏ bao nhiêu tuỳ ý ) tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N 
 thì . Ta viết hoặc viết 
 2. Các định lý.
 +) Định lý 1. 
 Nếu (un) là dãy số tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn.
 Nếu (un) là dãy số giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn. 
 +) Định lý 2. Các phép toán trên các giới hạn của dãy số 
 +) Định lý 3. [Nguyên lý kẹp giữa] . Giả sử ba dãy số thoả mãn:
 với và thì 
 3. Các giới hạn cơ bản.
 +) và với .
 +) Nếu thì 	
 +) Nếu thì 
 4. Cấp số cộng và cấp số nhân.
 +) Cho là cấp số cộng với công sai d. Khi đó:
 và 
 +) Cho là cấp số nhân với công bội q với q. 
 Khi đó: và 
 B - Giới hạn dãy số 
 Dạng I : Các bài toán giới hạn cơ bản 
 Phương pháp chung : +) sử dụng biểu thức liên hợp
 +) Sử dụng các định lý về giới hạn 
 +) Sử dụng các tổng cơ bản 
Ví dụ1 : Tìm các giới hạn sau :
Giải : Nhân với biểu thức liên hợp 
 =1
Ta có 
Cộng lại :
 Ta có : 
 Vậy 
Ví dụ 2 : Tìm các giới hạn sau :
Giải : 
Dạng 2 : Tìm giới hạn khi biết biểu thức truy hồi của dãy số 
 Phương pháp chung : 
 +) Ta xác định số hạng tổng quát của d ãy số 
 Để xác định số hạng tổng quát ta thường sử dụng cấp số cộng ; cấp số nhân ; phương pháp quy nạp toán học ; hay có thể là phương trình tuyến tính sai phân hay chỉ là phép rút gọn đơn giản . . . . . . 
Ví dụ 1
 Cho dãy số (un) xác định bởi: với 
	 Tìm .
 Giải. 
 Theo giả thiết ta có:
 ; ;;..; .
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có:
 =
 = . Ta có: 
Ví dụ 2
	 Cho dãy số xác định bởi : 
 Tìm 
Giải. Ta có dãy số chính là dãy 
 Ta chứng minh được dãy số có giới hạn . Đặt 
 Chuyển qua giới hạn ta có vì nên 
 Các bài tập tương tự .
Bài 1. Cho dãy số (un) xác định bởi: 
a) CMR: 
b) Xác định công thức tổng quát của (un) theo n.
c) Tìm 
Bài 2. Cho dãy số (xn) xác định bởi: 
a) CMR: (xn) là dãy số tăng.
b) Tìm 
Bài 3. Tính các giới hạn sau: 
 Bài 4. Tính các giới hạn sau:
a) b) 
 phần ii giới hạn của hàm số
 A - Các kiến thức cần nhớ.
 1) Định nghĩa 
 Cho hàm số f(x) xác định trên K có thể trừ điểm aK . Ta nói hàm số
 f(x) có giới hạn là L ( hay dần tới L) khi x dần tới a nếu với mọi dãy số 
 sao cho khi thì 
 Ta viết : hay 
 2) Các định lý 
Định lý 1 (Cỏc phộp toỏn về giới hạn hàm số ) ( với )
Định lý 2:Nếu hàm số cú giới hạn thỡ giới hạn đú là duy nhất
Định lý 3:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cựng xỏc định trong khoảng K chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). Nếu thỡ 
Định lý 4: Nếu 
 Nếu 
Định lý 5:(giới hạn đặc biệt) ; ; ; 
 *Cỏc dạng vụ định: 
 1) Dạng 2) Dạng 
 3) Dạng 4) Dạng 
Phương pháp chung : Khử dạng vô định 
 +) Phân tích ra thừa số 
 +) Nhân với biểu thức liên hợp thường gặp 
 có biểu thức liên hợp 
 có biểu thức liên hợp 
 có biểu thức liên hợp 
 có biểu thức liên hợp 
 +) Đặt biến phụ 
 +) Thêm bớt một số hoặc một biểu thức .....
 B- Các dạng toán .
 I ) dạng cơ bản
 Dạng :
 Cách khử :
 +/ Phân tích tử và mẫu thành tích để giải ước nhân tử chung.
 +/ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
Dạng :
 +/ Chia cả tử và mẫu cho ,với k là số mũ cao nhất của biến số x.(Hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử rồi giản ước).
 +/ Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn, thì đưa ra ngoài (k là bậc cao nhất của x trong căn) trước khi chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của x.
Dạng và dạng :
 +/ Nhân và chia với biểu thức liên hợp,nếu có biểu thức chứa biến x dưới dấu căn hoặc quy đồng mẫu để đưa về cùng một phân thức.
II. Kĩ năng cơ bản.
 Vận dụng linh hoạt các định lý về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực để giải các bài toán về giới hạn hàm số.
III. Một số ví dụ:
A.Ví dụ tự luận:
Ví dụ 1: áp dụng định nghĩa tính
.
Giải :
 +/ Hàm số xác định trên .
 +/ Giả sử là dãy số tùy ý mà .
 Khi đó 
 +/ Vậy .
Ví dụ 2: áp dụng định nghĩa tính
.
Giải :
 +/ Hàm số xác định trên .
 +/ Giả sử là dãy số tùy ý mà .
 Khi đó 
 +/ Vậy .
Ví dụ 3: Tính 
 1/ 2/.
Giải :
 1/ Ta có :
 .
 2/ Ta có :
 .
 Lưu ý : Do nên .
Ví dụ 3: Cho hàm số .
Tính .
Giải :
 +/ Ta có hàm số f(x) xác định trên tập .
 +/ .
 +/ .
 +/ Do nên .
Ví dụ 4: Tính
 1/ 3/ 
 2/ .
Giải :
 1/ Ta có .
Ví dụ 5: Tính 
 1/ 2/ 
 2/ 4/ .
Giải :
 2/ Ta có
 4/ Ta có 
 .
 Mặt khác 
 Vậy .
Ví dụ 6: Tính
 Giải:
 phần iii ứng dụng của giới hạn
 b. sử dụng giới hạn để xét tính liên tục của hàm số
 I) Các kiến thức cần nhớ 
 a) Các định nghĩa 
 Định nghĩa 1: 
 *Hàm số f(x) liờn tục tại xo Û 
 *Hàm số f(x) gọi là liờn tục trờn khoảng (a;b) nếu nú liờn tục tại mọi điểm
 xo ẻ (a;b)
 *Hàm số f(x) gọi là liờn tục trờn đoạn [a;b] nếu nú liờn tục trờn khoảng [a;b] 
 và 
 b) Cỏc định lý:
Định lý 1:Cỏc hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giỏc là cỏc hàm số liờn tục trờn tập xỏc định của chỳng
Định lý 2:Tổng,hiệu,tớch,thương của những hàm liờn tục là một hàm liờn tục 
Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liờn tục trờn đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thỡ tồn tại ớt nhất một số c ẻ (a;b) sao cho f(c) = 0
 Hệ quả: Nếu hàm số f(x) liờn tục trờn đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 
 thỡ phương trỡnh f(x) = 0 cú ớt nhất 1 nghiệm trờn khoảng (a;b)
 II)Phương pháp chung:
 1) Phương pháp 
 +) Sử dụng định nghĩa và các định lý 
 +) Tại mà f(x) không liên tục gọi là gián đoạn nếu vi phạm một trong các 
 điều kiện sau : 
 *) f(x) không xác định tại 
 *) Không tồn tại giới hạn tại ( có thể giới hạn 2 phía khác nhau)
 *) 
 2) Các ví dụ (với x0)
 Ví dụ 1 Cho hàm số f(x)=	 Xét tính liên tục tại x=0
	1 ( với x=0)
 Giải  +)TXĐ : R
 +)Ta có :=f(0)
Vậy hàm số không liên tục tại x=0( nhưng liên tục bên phải tại x=0)
	 với 
 Ví dụ 2 Cho hàm số f(x)= 
	x+2a+1 với x<1
 Tìm a để hàm số liên tục tại x=1
 Giải  +)TXĐ : R
 +)Ta có : f(1)=1/2 và 
 Để hàm số liên tục tại x=1thì 
Vậy thoả mãn bài toán 
Bài Tập tương tự 
 1.Xột sự liờn tục của cỏc hàm số sau:
 a) f(x) = x2 + x – 3 b) f(x) = 
 2.Xột sự liờn tục của cỏc hàm số sau:
 f(x) = tại xo = 1
 3.Tỡm a để cỏc hàm số sau liờn tục tại x0
 f(x) = tại x0 = 1
 4. Chứng minh rằng cỏc phương trỡnh sau cú nghiệm:
 a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0
 c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0
 5. Chứng minh rằng phương trỡnh 
 a) x3 – 3x2 + 3 = 0 cú 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
 b) 2x3 – 6x + 1 = 0 cú 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
 phần iv bài tập áp dụng
Bài 1: Tỡm cỏc giới hạn:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) f) 	g) 
h) i ) 	j) 
k) l) 	m) 
Bài2: Tớnh cỏc giới hạn sau: 
a) b) 	c) 
d ) 	 e) 
f) 	g) 	h) 	i) 
Bài 3 Tớnh cỏc giới hạn sau 
a) 	b) 	c) 	d) 	
e) 	f) 	g) 	h) 	
i) 
Bài 4:Xột tớnh liờn tục của hàm số: . Tại điểm xo = 2.
Bài 5: Xột tớnh liờn tục của hàm số: 
Trờn tập xỏc định của nú.
Bài 6) 
a) Chứng minh phương trỡnh cú ớt nhất hai nghiệm thuộc khoảng (- 1; 1 )
 b). Chứng minh phương trỡnh : cú 3 nghiệm phõn biệt.
Chuyên đề 2 đạo hàm - vi phân
 A- Tóm tắt lý thuyết
 I) Hàm số liên tục
 + Cho hàm số xác định trên khoảng . Hàm số được 
 gọi là liên tục tại f(x) = 
 + Chú ý : Hàm số xác định trên khoảng liên tục tại 
 f(x) và f(x)
 f(x) = f(x) = 
 II) Đạo hàm
 1) Định nghĩa 
 + Cho hàm số xác định trên tập xác định của nó và TXĐ
 đạo hàm của hàm số tại kí hiệu hay là
 = = = 
 gọi là số gia tương ứng của h/s tại 
 gọi là số gia của đối số tại 
 + Hàm số xác định trên tập xác định của nó và TXĐ
 và 
 = = 
 Với = và = 
 + Chú ý : H/s có đạo hàm tại thì nó liên tục tại ngựơc lại 
 thì chưa chắc 
 2) Phương trình tiếp tuyến 
 Cho H/s (C) và M() 
 Phương trình tiếp tuyến tại M là: 
 3) Các quy tắc tính đạo hàm
 với k là hằng số 
 y = f(u) và u = g(x) thì 
 4) Bảng đạo hàm
1
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm các hàm số hợp
 5) Vi phân 
 Cho H/s : y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và có đạo hàm tại x(a;b)
 Khi đó