Ôn tập Phương trình mũ và logarit

 PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 
 A.PHƢƠNG TRÌNH MŨ 
 VẤN ĐỀ 1: Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ. 
I.Công thức lũy thừa và căn thức. 
.
.
.
. .
m n m n
m n m n
m
n m n
n n n
n m n m
m n m n
a a a
a a a
a a
a b a b
a a
a a



 




II. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ. 
1) Đƣa về dạng cơ bản. 
( )
0
(0 1)
( ) log
f x
a
b
a b a
f x b

    

2)Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số. 
 Biến đổi phƣơng trình về dạng : 
  ( )
( ) ( )
0 1
g xf x a
f x g x
a
 
 
 
Nếu cơ số a không phụ thuộc x ( a=a(x)) 
 ( ) ( ) 0( ) ( )
( ( ) 1)( ( ) ( )) 0
g x f x
a x
a x a x
a x f x g x

  
  
3)Phƣơng pháp dùng ẩn số phụ. 
Đặt t= ( )f xa chọn cơ số a thích hợp 
Điều kiện t >0 
Biến đổi phƣơng trình mũ về phƣơng trình bậc 2 , bậc3 theo t 
Giải phƣơng trình này và chọn nghiệm t >0 
Giải tiếp suy ra x 
4)Phƣơng phƣơng pháp đƣa về phƣơng trình tích. 
-Nhóm các số hạng rồi đặt thừa số chung suy ra phƣơng trình tích 
5)Phƣơng pháp lấy logarit thích hợp 2 về. 
Dạng ( ) ( )
0 1
0 1
f x g x
a
a b
b
   
  
  
Lấy logarit cơ số a 2 vế 
( ).log ( ) log
( ) ( ).log
a a
a
f x a g x b
f x g x b

 
 PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 
6)Phƣơng pháp dùng tính đơn điệu. 
Biến đổi phƣơng trình về dạng f(x)=g(x) 
Trong đó f(x) và g(x) là 2 hàm số đơn điệu 
Đoán nhận 1 nghiệm x=
0x 
Suy ra phƣơng thình có nghiệm duy nhất x=
0x 
III.Một số ví dụ. 
VD1:Giải phƣơng trình 
0,5
1(0,2) 5.(0,04)
5
x
x

 
Giải: 
1
1 12
1
2
1 1
2( 1)2 2
2 3
5 1
(1) 5.
25
5
5 5.5
5 5
2 3
3
x x
x
x
x x
x x
x
  
  
 
  
 
   
 
 
 
    
 
VD2: Giải phƣơng trình: 
  
2
2 2 442 5. 2 6 0
x x
x x
  
     
Giải: 
Điều kiện 2 4 0 2x x     hoặc 2x  
   
2
2 2 44(1) 2 5. 2 2 6 0
x x
x x
  
     
Đặt t=
2 4( 2)x x  . Điều kiện t>0 
 2
4
5
6 3
2
2
t
t t
t

   
 

2 4
2 2
2 2
3
( ai)
2
t=4 ( 2) 4
4 4 4 4
0 4
4 16 8
4
5
2
x x
t lo
x x x x
x
x x x
x
x
 


 
       
 
 
   


 

 PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 
 ĐS: 
5
2
x  
VD3.Giải phƣơng trình 
 8.3 3.2 24 6x x x   (1) 
Giải: 
(1) 8.(3 3) 2 (3 3) (3 3)(2 8) 0
3 3 1
2 8 3
x x x x x
x
x
x
x
       
   
 
  
ĐS: x=1;x=3 
VD4.Giải phƣơng trình 
2 4 23 5x x  (1) 
Giải: 
 Lấy logarit cơ số 3 hai vế 
2 2
3 3 3
2
3
( 4) log 3 2 .log 5 4 2 log 5
2 log 5 4 0
x x x x
x x
    
    
2
3 3
2
3 3
log 5 log 5 4
log 5 log 5 4
x
x
   

   
VD5.Giải phƣơng trình 
3 7
2
5 5
x
x    
 
Giải: 
 Ta thấy x=1 là một nghiệmcủa phƣơng trình 
Đặt 
3 7
( )
5 5
x
f x
 
  
 
là hàm số giảm trên R 
( ) 2xg x  là hàm số tăng trên R 
Mà f(1)=g(1) 
Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất x=1 
VD6. Giải phƣơng trình: 
 1 1 12 3 5 2 3 5x x x x x x        
Giải: 
 Đặt 1( ) 2 3 5x x xf x    là hàm số tăng trên R 
 1 1( ) 2 3 5x x xg x      là hàm số giảm trên R 
Mà 
1 1
2 2
f g
   
   
   
nên phƣơng trình có nghiệm x=
1
2
 PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 
VD7 Giải phƣơng trình: 
 2 23.25 (3 10).5 3 0(1)x xx x      
Giải : 
Đặt t= 25x (t>0) 
 (1) 23 (3 10) 3 0(2)t x t x     
1
3
3
t
t x



 
Với 
2
5
5
1 1 1
5 2 log
3 3 3
2 log 3
xt x
x
     
   
Với 
23 5 3 (3)xt x x     
(3) có 1 nghiệm x=2 
Đặt 2( ) 5xf x  là hàm số tăng trên R 
 ( ) 3g x x  là hàm số giảm trên R 
Vậy (3) có nghiệm duy nhất x=2 
Vậy (1) có nghiệm : x=2 ; 52 log 3x   
IV.Một số bài tập: 
Bài 1: Giải phƣơng trình: 1 4 24 2 2 16x x x     
Bài 2: Giải phƣơng trình:  12log 9 5.3 4x x  
Bài 3: Giải phƣơng trình:    2 3 2 3 4
x x
    
Bài 4: Giải phƣơng trình: 2 1 24 .3 3 2 .3 2 6x x xx x x x     
Bài 5: Giải phƣơng trình:
1 1 1
9 6 4 0x x x   
VẤN ĐỀ 2: Tìm m để phƣơng trình mũ có nghiệm, có nghiệm duy nhất. 
I. Tìm m để phƣơng trình mũ: 
F(x,m)=0 (1) có nghiệm xD. 
Cách giải: 
 -Đặt ẩn phụ: t:=q(t), tìm điều kiện cho ẩn phụ t. 
 -Chuyển điều kiện xD thành điều kiện tT. 
 -Biến đổi phƣơng trình (1) thành phƣơng trình bậc 2 theo t f(t,m)=0 (2). 
 *Cách 1. 
 -Biến đổi (2) tƣơng đƣơng với f(t)=m (2’) với tT. 
 -Tính f’(t), lập bảng biến thiên. 
 -Để (1) có nghiệm xD khi và chỉ khi (2’) có nghiệm tT điều này cũng tƣơng đƣơng 
với đƣờng thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y=f(t) 
 -Dựa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của m. 
 PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 
 *Cách 2. 
 -Ta có (1)  f(t,m)=0 (2) (bậc 2 theo t) 
 -Để (1) có nghiệm xD khi và chỉ khi (2) có nghiệm tT 
Tức là (2) có 1 trong 2 nghiệm thuộc T hoặc cả hai nghiệm đều thuộc T. 
II. Tìm m để phƣơng trình có nghiệm duy nhất 
*Cách 1. 
Điều kiện cần. 
 -Giả sử phƣơng trình có nghiệm x0. Dựa vào tính đối xứng, hàm số chẵn, giá trị 
tuyệt đối  phƣơng trình có nghiệm x1. 
 -Từ đó phƣơng trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi x0=x1. 
 -Thay vào phƣơng trình để tìm giá trị m. 
Điều kiện đủ. 
 -Thay giá trị m vừa tìm đƣợc vào phƣơng trình. 
 -Giải phƣơng trình và chọn m sao cho thỏa mãn điều kiện phƣơng trình có nghiệm 
duy nhất. 
Từ đó đƣa ra kết luận các giá trị m thỏa mãn. 
*Cách 2. 
-Bằng cách đặt ẩn phụ t=q(x) để đƣa phƣơng trình đã cho về dạng f(t)=m. 
-Đặt y=f(t) với tT 
-Tính f’(t), lập bảng biến thiên trên T. 
-Từ đó phƣơng trình (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đƣờng thẳng y=m chỉ 
có duy nhất một điểm chung với đồ thị y=f(t). 
-Dựa vào bảng biến thiên để có đƣợc giá trị m cần tìm. 
III.Một số ví dụ : 
VD1: Định m để phƣơng trình: 
     1 4 2 3 2 3 0 1x xm m m      có nghiệm 
Giải: 
Đặt: t=2x (t>0) 
     
 
  
2
2 2
2 2
2
2
1 1 2 3 3 0
2 6 3
2 1 6 3
6 3
2 0
2 1
m t m t m
mt m m t t
m t t t t
t t
m t
t t
      
     
     
 
  
 
Đặt    
2
2
6 3
0
2 1
t t
f t t
t t
 
 
 
 
 
 
2
2
2
2
4 8 12
2 1
1
0 4 8 12 0
3
t t
f t
t t
t
f t t t
t
  
 
 
 
         
 PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 
Bảng biến thiên: 
Để (1) có nghiệm  2x R  có nghiệm t>0 Đƣờng thẳng y=m cớ điểm 
chung với đồ thị  y f x . 
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 
3
3
2
m   
ĐS: 
3
3
2
m   
Ví dụ 2: Cho phƣơng trình:      3 16 2 1 4 1 0 1x xx m m      
Tìm m để phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu. 
Giải: 
Đặt:  4 0xt t  phƣơng trình (1) trở thành        23 2 1 1 0 2f t m t m t m       
Phƣơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu 
1 20
1 2 1 20 4 4 4 1
x xx x t t        
 (2) có nghiệm t1, t2 thõa 0 < t1 < 1 < t2 
 
 
   
   
. 1 0
. 0 0
3 4 3 0
3 1 0
3
3
4 3
1
3 4
1
a f
a f
m m
m m
m
m
m
m

 

  
 
  

   

       
  
Vậy phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu khi: .
3
1
4
m    
Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm duy nhất:  
1
1
3 2 1
2
x
m

  
Giải: 
Phƣơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: 
 PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 
 
 
 
1
2
2
2
2
3 2 0
3
1 1
1 2 1 log
3 2 3 2
1 log 3 2
1 log 3 2
x
m m
x
m m
x m
x m

   
    
 
  
 
  
Phƣơng trình có nghiệm duy nhất 
   
 
2 2
2
1 log 3 2 1 log 3 2
log 3 2 0 3 2 1 1
m m
m m m
     
       
IV.Một số bài tập: 
Bài 1: Tìm m để phƣơng trình    4 9 2 2 3 1 0x xm m m      có nghiệm. 
Bài 2: Tìm m để phƣơng trình .2 2 5 0x xm    có 1 nghiệm duy nhất. 
Bài 3: Định m để phƣơng trình:    3 2 2 3 2 2
tgx tgx
m    
Có đúng 2 nghiệm trong ,
2 2
  
 
 
Bài 4:Tìm k để phƣơng trình     11 4 3 2 .2 3 1 0x xk k k      
có 2 nghiệm trái dấu. 
Bài 5:Giải và biện luận phƣơng trình .3 .3 8x xm m   
B.PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT 
VẤN ĐỀ 1: Các phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit. 
I.Dạng cơ bản: 
 
log
log 0, 1
log , ; ; 0a
N
a
xx
a
x N x a a a
a x x a x x
    
    
Công thức đổi cơ số: 
log
log log log log
log
a
a a b b
a
x
x b x x
b
   
1
log
log
x
a
a
x
 ; log logb bc aa c 
3
1
log log
3
log log
aa
aa
x x
x x






II.Các phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit. 
1.Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số 
-Biến đồi phƣơng trình về dạng: 
 PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 
    
 
 
   
log log 0 1
0
0
a af x g x a
f x
g x
f x g x
  
 

 


2.Phƣơng pháp đặt ẩn phụ: 
-Chọn ẩn số phụ thích hợp, biến đối phƣơng trình đã cho thành một phƣơng trình đại số. 
3.Phƣơng pháp đƣa về dạng phƣơng trình tích: 
-Nhóm các số hạng, đặt thừa số chung suy ra phƣơng trình tích. 
4.Phƣơng pháp dùng tính đơn điệu. 
-Suy đoán 1 nghiệm đặc biệt và chứng minh nghiệm đó duy nhất. 
5.Dạng:    
0 1
log log
0 1
m
a b
a
f x a g x
b
  
   
  
-Suy đoán nghiệm x0 và chứng minh nghiệm duy nhất. 
-Nghiệm duy nhất x0 thõa: 
 
 
0
0
m
n
f x a
g x a
 


6.Dùng phƣơng pháp đối lập. 
A B
A m
A m
B m
B m


  
 
7.Dạng:        log loga x a xf x g x 
 
 
 
   
0
1
0
a x
a x
f x
f x g x



 

 
III.Một số ví dụ: 
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình:     42
1 1
log 3 log 4 1
2 4
x x  
Giải: 
ĐK: 
0
1
x
x



     
   
    
2 2 2
2
1 1
1 log 3 . .8log 1 log 4
4 2
log 3 1 log 4
3 1 4 2
x x x
x x x
x x x
    
   
  
 PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 
 Nếu 0< x <1 : 
 Nếu x>1 
ĐS: 3; 3 2 3x x    
Ví dụ 2: Giải phƣơng trình: 
 
1 2
1 1
4 lg 2 lgx x
 
 
Giải: 
ĐK: 4
00
lg 4 10
lg 2 1
100
xx
x x
x
x

 

   
    

Đặt:  lg 4 2t x t t     
 
    
2
2
1 2
1 1
4 2
2 2 4 4 2
10 8 4 2
3 2 0
1
2
t t
t t t t
t t t t
t t
t
t
  
 
      
     
   

  
 1 lg 1 10t x x     
 22 lg 2 10 100t x x      
ĐS: x=10; x=100 
Ví dụ 3: Giải phƣơng trình: 
  3 2log log 1 1x x  
 PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 
Giải: Điều kiện: 0x  
Đặt: 
2log 3
tt x x   
   
 
 
21 log 1 3
2 1 3
1 3
1 2
2 2
t
t
t
tt
t  
  
  
         
Nhận xét: t=2 là nghiệm của (2) 
Vế trái là hàm số giảm. 
Vế phải là hàm số hằng. 
Nên phƣơng trình có 1 nghiệm duy nhất là 232 log 2 3 9t x x      
ĐS: x=9 
IV.Một số bài tập: 
Bài 1: Giải phƣơng trình 
       2 2 4 2 4 22 2 2 2log 1 log 1 log 1 log 1x x x x x x x x           
Bài 2: Giải phƣơng trình:
4
2 1
2
log 1
2 1
x
x
x




Bài 3: Giải phƣơng trình:    2 23 2 3log 2 9 9 log 4 12 9 4 0x xx x x x        
Bài 4: Giải phƣơng trình:  
9
log 1 lg 0
2
x x    
Bài 5: Giải phƣơng trình:    2 2
3
1
log 3 1 2 log 1
log 2x
x x

     
VẤN ĐỀ 2: Định m để phƣơng trình logarit có nghiệm, có nghiệm duy nhất: 
I.Tìm m để phƣơng trình:    , 0 1F x m  có nghiệm x D 
-Đặt ẩn số phụ: logat x thích hợp. 
-Chuyển điều kiện x D t T   
-Biến đổi (1) thành phƣơng trình bậc 2 theo t. Biến đổi phƣơng trình này về dạng: 
   2f t m 
-Tính   ,f t t T  . Lập bảng biến thiên 
-Để (1) có nghiệm trên D  (2) có nghiệm trên T. 
-Dựa vào bảng biến thiên điều kiên của m 
II. Định m để phƣơng trình logarit có nghiệm duy nhất: 
Cho phƣơng trình ( chứa logarit ) 
   , 0 1F x m  
-Đặt:  t p x 
-Tìm điều kiện của t T 
-Biến đổi phƣơng trình (1) về dạng: 
   2f t m 
 PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 
-Tính  f t với t T 
-Lập bảng biến thiên trên T 
-Phƣơng trình (1) có nghiệm duy nhất 
 (2) có nghiệm duy nhất trên T. 
-Dựa vào bảng biến thiên  Đk của m. 
 Cách khác: 
Phƣơng trình (1)  (2) là phƣơng trình bậc hai với x  
Để (1) có nghiệm duy nhất  2 có 1 nghiệm kép 
1 2
2
b
x x
a
    hoặc có 2 nghiệm 1 2x x  
0
2
b
a



 
 

hoặc  af 0  
III.Một số ví dụ: 
Ví dụ 1: Tìm m để phƣơng trình: 
     2lg 2 lg 1 0 1x mx x    có nghiệm. 
Giải: 
Ta có:      21 lg 2 lg 1x mx x    
 
2
2
1 0
2 1
1
1
2
2
x
x mx x
x
x x
m
x
 
 
  


   


Đặt:    
2 1
1
2
x x
f x x
x
  
  
 
2
2
2 2
0
4
x
f x
x
 
   vì x>1 
Bảng biến thiên: 
 PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 
(1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm x>1 
1
2
m   
Ví dụ 2: Tìm m để phƣơng trình: 
         21 1
2 2
1 log 4 2 1 log 4 2 0 1m x m x m        
Có 2 nghiệm x1, x2 thõa mãn: 4 < x1 < x2 < 6 
Giải: 
Đặt:  1
2
log 4t x  
Điều kiện: 
 1 1
2 2
4 6 0 4 2
log 4 log 2 1
x x
t x
     
      
         21 1 . 2 1 . 2 0 2f t m t m t m        
(1) có 2 nghiệm thõa mãn : 1 24 6x x   
 2 có 2 nghiệm 1 2,t t thõa 1 21 t t   
    
0 9 0
af 1 0 1 4 2 0
4 1
1 0 0
2 2 2
1
1
12
1
1 2
1
4
m m
S m
m
m m
m m
m m

    

       
 

   
 

   
     
   

Vậy: 
1
1
2
m m    
IV.Một số bài tập 
Bài 1: Tìm m để phƣơng trình  
2
2 1
2
4 log log 0x x m   
có nghiệm thuộc khoảng  0,1 
Bài 2: Giải và biện luận phƣơng trình theo m 
 3 3 32log log 1 log 0x x m    
Bài 3: Tìm m để phƣơng trình    22 2lg lg 3 0x mx x    có nghiệm. 
Bài 4: Cho phƣơng trình:     3 22 2log 5 6 log 3 1 1mmx mx x x      
Tìm các giá trị của x nghiệm đúng phƣơng trình (1) với mọi 0m  
Bài 5: Với giá trị nào của a thì phƣơng trình:   2log
log
a
x
a a x
a
   
Có nghiệm duy nhất.