Ôn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn Toán

Dấu = xảy ra chỉ khi a = b. 
 a, b, c ≥ 0 : 3 abc
3
cba ≥++ 
 Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c. 
 * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d 
 (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d 
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : 
 TRANG 8 
 Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số 
nghiệm bằng số điểm chung. 
 Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I. 
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I : 
 Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I. 
 f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt) 
 f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt) 
III- LƯỢNG GIÁC 
+
2π
0
2− π 
1. Đường tròn lượng giác : 
 Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM, 
đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn 
lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π. 2− π 2π0
 Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : 
bội của 
6
π (
3
1 cung phần tư) và 
4
π (
2
1 cung phần tư) α 
0A
x+k2π
M
 x = α + 
n
k2 π : α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều 
trên đường tròn lượng giác. 
2. Hàm số lượng giác : 
3. Cung liên kết : 
 * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos 
đối, tg cotg hiệu π). 
cotg
chiếu xuyên tâm 
tg 
Mcos
chiếu ⊥
sin
M
 * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ 
 * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu 
2
π (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu). 
4. Công thức : 
 a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc. 
 b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b. 
 c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a. 
 d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a. 
 e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức 
nhân ba. 
 f. Đưa về 
2
atgt = : đưa lượng giác về đại số. 
 g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2. 
 h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b. 
 TRANG 9 
5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ, 
sinα = 1 ⇔ α = 
2
π + k2π; sinα = –1 ⇔ α = – 
2
π + k2π, 
cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α = 
2
π + kπ, 
cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π 
 sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π 
 cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π 
 tgu = tgv ⇔ u = v + kπ 
 cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ 
6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c 
 * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2
 * Chia 2 vế cho 22 ba + , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản. 
 (cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo 
2
utgt = ) 
7. Phương trình đối xứng theo sin, cos : 
 Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos. 
 Đặt : t = sinu + cosu = 
2t 12 sin u , 2 t 2,sin u.cos u
4 2
π −⎛ ⎞+ − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
8. Phương trình chứa ⏐sinu + cosu⏐ và sinu.cosu : 
 Đặt : 
2 12 0 2
4 2
tt sinu cosu sin u , t ,sinu.cosuπ −⎛ ⎞= + = + ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : 
 Đặt : π −⎛ ⎞= − = − − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠
21 tt sin u cos u 2 sin u , 2 t 2,sin u.cos u
4 2
10. Phương trình chứa ⏐sinu – cosu⏐ và sinu.cosu : 
 Đặt : 
212 0 2
4 2
tt sinu cosu sin u , t ,sinu.cosuπ −⎛ ⎞= − = − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) : 
 Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức 
1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu. 
12. Phương trình toàn phương mở rộng : 
 * Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u. 
 * Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu. 
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến : 
 Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt : 
 * t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x. 
 * t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x. 
 * t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x. 
 * t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng 
 TRANG 10 
 * t = tg
2
x : nếu cả 3 cách trên đều không đúng. 
14. Phương trình đặc biệt : 
 * ⎩⎨
⎧
=
=⇔=+
0v
0u
0vu 22
 * ⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
≤
=
Cv
Cu
Cv
Cu
vu
 * ⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+
≤
≤
Bv
Au
BAvu
Bv
Au
 * sinu.cosv = 1 ⇔ ⎩⎨
⎧
−=
−=∨⎩⎨
⎧
=
=
1vcos
1usin
1vcos
1usin
 * sinu.cosv = – 1 ⇔ ⎩⎨
⎧
=
−=∨⎩⎨
⎧
−=
=
1vcos
1usin
1vcos
1usin
 Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1. 
15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg 
 a. Dạng 1 : ⎩⎨
⎧
=±
=±
)2(nyx
)1(m)y(F)x(F
. Dùng công thức đổi + thành nhân, 
 thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình : ⎩⎨
⎧
=−
=+
byx
ayx
 b. Dạng 2 : ⎩⎨
⎧
=±
=
nyx
m)y(F).x(F
. Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành 
+. 
 c. Dạng 3 : ⎩⎨
⎧
=±
=
nyx
m)y(F/)x(F
. 
 Dùng tỉ lệ thức : 
db
ca
db
ca
d
c
b
a
−
−=+
+⇔= biến đổi phương trình (1) rồi dùng 
 công thức đổi + thành x. 
 d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản. 
16. Toán Δ : 
 * Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π 
 * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2. 
 * A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2) 
 A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ; 
 A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2) 
 Dùng các tính chất này để chọn k. 
 * Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin : 
 TRANG 11 
 a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA 
 * pr
R4
abcCsinab
2
1ah
2
1S a ==== 
 )cp)(bp)(ap(p −−−= 
 * Trung tuyến : 222a ac2b22
1m −+= 
 * Phân giác : ℓa = cb
2
Acosbc2
+ 
IV- TÍCH PHÂN 
1. Định nghĩa, công thức, tính chất : 
 * F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F. 
 Họ tất cả các nguyên hàm của f : 
 = F(x) + C (C ∈ R) ∫ dx)x(f
 * 
α+
α= + = +α +∫ ∫
1udu u C ; u du C
1
, α ≠ – 1 
 u udu ln u C; e du e C;
u
= + = +∫ ∫ ∫ += Caln/adua uu 
 ; sinudu cosu C= − +∫ ∫ += Cusinuducos 
 ∫ ; +−= Cgucotusin/du 2 ∫ += Ctguucos/du 2 
 * = = −∫b ba
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a) 
 * ∫ ∫ ∫∫∫ +=−== ba ca ba cbabaa ,;0 ∫
 ∫ ∫∫∫∫ =+=+
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
fkkf;gf)gf(
2. Tích phân từng phần : 
 udv uv vdu= −∫ ∫
 Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp. 
a. ∫ ∫ ∫ = nnnxn xu:xcosx;xsinx,ex
b. ∫ = xlnu:xlnxn
c. ∫ ∫ == dxedvhayeu:xcose,xsine xxxx
 từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ 
3. Các dạng thường gặp : 
 TRANG 12 
a. : u = sinx. ∫ + xcos.xsin 1n2m
 : u = cosx. ∫ + xsin.xcos 1n2m
 : hạ bậc về bậc 1 ∫ xcos.xsin n2m2
b. : u = tgx (n ≥ 0) ∫ xcos/xtg n2m2
 : u = cotgx (n ≥ 0) ∫ xsin/xgcot n2m2
c. chứa a∫ 2 – u2 : u = asint 
 chứa u∫ 2 – a2 : u = a/cost 
 chứa a∫ 2 + u2 : u = atgt 
d. , R : hàm hữu tỷ ∫ )xcos,x(sinR
 R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx 
 R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx 
 R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx 
 R đơn giản : 
2
xtgu = 
 ∫
π
−π=
2/
0
x
2
uđặtthử: 
 ∫
π
−π=
0
xuđặtthử:
e. ∫ +=∈++ nqq/pnm bxau:Zn/)1m(,)bxa(x
f. ∫ +=∈+++ nnqq/pnm bxaxu:Zqpn 1m,)bxa(x 
g. 
u
1khx:cbxax)khx/[(dx 2 =++++∫ 
h. ∫ ++ )dcx/()bax(,x(R , R là hàm hữu tỷ : )dcx/()bax(u ++= 
i. chứa (a + bx∫ k)m/n : thử đặt un = a + bxk. 
4. Tích phân hàm số hữu tỷ : 
 : bậc P < bậc Q ∫ )x(Q/)x(P
* Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (Δ < 0) 
* Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q : 
 n
n
2
21n
)ax(
A...
)ax(
A
ax
A)ax(,
ax
Aax ++++++→++→+ 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ =+=<Δ+++++++
+→<Δ++ ∫ ∫ atgtuđặt:)au/(du)0(cbxax dxcbxax Bcbxax )bax2(A)0(cbxax 222222 
 TRANG 13 
5. Tính diện tích hình phẳng : 
a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : ∫=
b
a
D dx)x(fS 
 f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở ⏐.⏐; f(x) : hàm lượng giác 
: xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác. 
b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) 
 (C') : y = g(x) : ∫ −=
b
a
D dx)x(g)x(fS 
 Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/. 
c. D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0 
 α / 
b
D
a
S f(x) g(x) dx= −∫ 
x=b x=a 
f(x)
g(x) 
 β / 
b
D
a
S f(y) g(y) dy= −∫ 
y=a 
f(y) 
y=b 
g(y) 
 Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các 
đường thẳng đứng ngay chỗ gãy. 
 Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các 
đường ngang ngay chỗ gãy. 
 Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt. 
 Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm. 
 Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) 
, (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm . . 
 Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn + 
hay − ( )trái:...x,phải:...x,dưới:...y,trên:...y −=+=−=+= 
6. Tính thể tích vật thể tròn xoay : 
a b
f(x)a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) : 
 [ ]∫π=
b
a
2 dx)x(fV
a
b f(y)
b. [ ]∫π=
b
a
2 dy)y(fV
b
f(x)
g(x
a
 TRANG 14 
 c. ∫ −π=
b
a
22 dx)]x(g)x(f[V
f(y)
a
g(y)
b 
d. ∫ −π=
b
a
22 dy)]y(g)y(f[V
a b c 
f(x) -g(x)f(x)
g(x
a be. ∫∫ π+π=
b
c
2
c
a
2 dx)x(gdx)x(fV
f. ∫∫ π+π=
b
c
2
c
a
2 dy)y(fdy)y(gV
 Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ ...dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ ... dy. 
V- KHẢO SÁT HÀM SỐ 
1. Tìm lim dạng 
0
0 , dạng 1 ∞ : 
a. Phân thức hữu tỷ : 
1
1
ax1
1
axax Q
Plim
)x(Q)ax(
)x(P)ax(lim)0/0dạng(
)x(Q
)x(Plim →→→ =−
−= 
b. Hàm lg : 1
u
usinlimthứccôngdùng),0/0dạng(
)x(g
)x(flim
0uax
=→→ 
c. Hàm chứa căn : )0/0dạng(
)x(g
)x(flim
ax→ , dùng lượng liên hiệp : 
 a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3 
d. Hàm chứa mũ hay log (dạng 1∞) : dùng công thức e)u1(lim u/1
0u
=+→
2. Đạo hàm : 
a. Tìm đạo hàm bằng định nghĩa : 
o
o
oxx
0 xx
)x(f)x(flim)x('f −
−= → 
 Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía : 
 Nếu thì f có đạo hàm tại x.lim)x(f,lim)x(f
oxx
o
/
oxx
o
/
−→−+→+
== )x(f)x(f o/o/ −+ = o. 
b 
c 
f(y) 
-g(y)a 
b. Ý nghĩa hình học : 
M 
α 
f(x) TRANG 15 
 k = tgα = f/(xM) 
c. f/ + : f ↑ , f/ – : f ↓ 
 f// + : f lõm , f// – : f lồi 
d. f đạt CĐ tại M ⇔ 
⎩⎨
⎧
<
=
0)x(f
0)x(f
M
//
M
/
 f đạt CT tại M ⇔ 
⎩⎨
⎧
>
=
0)x(f
0)x(f
M
//
M
/
 M là điểm uốn của f ⇔ f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM. 
e. Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (xα)/ = αxα–1 , (lnx)/ = 1/x , 
( )a 1log x x ln a′ = , (ex)/ = ex
 (ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, 
 (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ±v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ , 
 (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2
 * Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x) 
 * Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với 
hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng tích, thương, chứa n ... 
f. Vi phân : du = u/dx 
3. Tiệm cận : 
∞=→ ylimax ⇒ x = a : tcđ x a
y ∞ ∞ 
 x −∞ +∞ bylim
x
=∞→ ⇒ y = b : tcn 
y b b 
 x −∞ +∞
 0)]bax(y[lim
x
=+−∞→ ⇒ y = ax + b : tcx 
y ∞ ∞ 
* Vẽ đồ thị có tiệm cận : 
 - t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c . 
 - t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. 
 - t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. 
* Xét 
)x(Q
)x(Py = 
 TRANG 16 
 • Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0 
 • Có tcn khi bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc 
cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q. 
 • Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có : 
)x(Q
)x(Pbax)x(f 1++= , tcx 
là y = ax + b. Nếu Q = x – α, có thể chia Honer. 
* Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 : 
 cy ax b
dx e
= + + + ( d ≠ 0 ) 
 • a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx 
 • a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ. 
 • c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc. 
4. Đồ thị các hàm thường gặp : 
 a/ y = ax + b : 
 b/ y = ax2 + bx + c 
 c/ y = ax3 + bx2 + c + d 
 a> 0 : 
 a < 0 : 
 d/ y = ax4 + bx2 + c 
 a > 0 
 a < 0 
 e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0) 
 ad - bc > 0 ad - bc < 0 
 f/ y = 
edx
cbxax2
+
++ (ad ≠ 0) 
 ad > 0 
a > 0
a < 0 a = 0 
a 0
 y′Δ > 0 
y′Δ = 0 
y′Δ < 0
ab > 0 ab < 0 
 y′Δ > 0
y′Δ = 0
y′Δ < 0 
 TRANG 17 
 ad < 0 
5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ : 
x a
 a
x = a
y < b 
y > b 
 b y = b g(x) = f(–x) : đx qua (Oy) 
 g(x) = – f(x) : đx qua (Ox) 
 (C/) : y = )x(f : giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y = 0 
đối xứng qua (Ox). 
 (C/) : y = )x(f : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = 
0 đối xứng qua (Oy). 
6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m) 
 a/ Điểm cố định : M(xo, yo) ∈ (Cm), ∀m ⇔ yo = f(xo, m), ∀m ⇔ Am + B = 0, 
∀m (hay Am2 + Bm + C = 0, ∀m) ⇔ (hay ). Giải hệ, được M. ⎩⎨
⎧
=
=
0B
0A
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
0C
0B
0A
 b/ Điểm (Cm) không đi qua, ∀m : M(xo, yo) ∉ (Cm), ∀m ⇔ yo ≠ f(xo,m), ∀m ⇔ 
yo = f(xo, m) VN m ⇔ Am + B = 0 VN m (hay Am2 + Bm + C = 0 VN m) ⇔ 
 (hay ). Giải hệ , được M. ⎩⎨
⎧
≠
=
0B
0A
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎩⎨
⎧
<Δ
≠∨
≠
=
=
0
0A
0C
0B
0A
 Chú ý : C
B
A = VN ⇔ B = 0 ∨ ⎩⎨
⎧
=
≠
VNBCA
0B
 c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) 
⇔ yo = f(xo, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các 
loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3, trùng phương. 
7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN : 
a. (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm : . 
Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm. 
⎩⎨
⎧
=
=
/C
/
C
/
/CC
yy
yy
b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) 
 * Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo. 
 * Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. 
Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 
/ bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến). 
 TRANG 18 
 * // (Δ) : y = ax + b : (d) // (Δ) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx. 
 * ⊥ (Δ) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : y = 
a
1− x + m. Tìm m nhờ đk tx. 
c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được 
đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ...), M(xo,yo) ∈ (C/) ⇔ g(xo,yo) = 0; (d) qua 
M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : ⎩⎨
⎧
=
=
ky
yy
C
/
dC (1). Thế k vào (1) được phương trình 
ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x 
= số tiếp tuyến), tìm được xo hay yo. 
8. TƯƠNG GIAO : 
 * Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) = g(x). 
Số nghiệm pt = số điểm chung. 
 * Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết 
phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ 
điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và 
(d) : y = m có n điểm chung. 
 * Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) : 
 • Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của 
(Cm) và (C/m) = số điểm chung của (C) và (d). 
 • PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x ≠ α) 
hay dạng bậc 3 : x = α ∨ f(x) = 0 : lập Δ, xét dấu Δ, giải pt f(x) = 0 để biết m nào 
thì α là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1. 
9. CỰC TRỊ : 
 * f có đúng n cực trị ⇔ f/ đổi dấu n lần. 
 * f đạt cực đại tại xo ⇔ ⎩⎨
⎧
<
=
0)x(f
0)x(f
o
//
o
/
 f đạt cực tiểu tại xo ⇔ ⎩⎨
⎧
>
=
0)x(f
0)x(f
o
//
o
/
 * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ và CT ⇔ /fΔ > 0 
 * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị : 
 • Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm α < x1 < x2. 
 • Bên trái (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < α . 
 • 1 bên (Ox) ⇔ 
0
0
/f
CD CTy .y
Δ >⎧⎪⎨ >⎪⎩
 • 2 bên (Ox) ⇔ 
0
0
/f
CD CTy .y
Δ >⎧⎪⎨ <⎪⎩
 * Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT 0) có thể thay bởi y = 0 
VN (có 2 nghiệm.). 
 TRANG 19 
 * Tính yCĐ.yCT : 
 • Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D) 
 yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0. 
 • Hàm bậc 2/ bậc 1 : 
v
uy = 
 yCĐ.yCT = )x(v).x(v
)x(u).x(u
CT
/
CĐ
/
CT
/
CĐ
/
, dùng Viète với pt y/ = 0. 
 * Đường thẳng qua CĐ, CT : 
 • Hàm bậc 3 : y = Cx + D 
 • Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u/ / v/
 * y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0, 3 cực trị ⇔ ab < 0 
10. ĐƠN ĐIỆU : 
a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 : 
 i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) 
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm) 
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2. 
 Ngoài ra ta còn có : 
 + x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn. 
 + hàm số tăng trên (−∞, x1) 
 + hàm số tăng trên (x2, +∞) 
 + hàm số giảm trên (x1, x2) 
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 
 ⇒ hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ 
điểm uốn). Ta cũng có : 
 + hàm số giảm trên (−∞, x1) 
 + hàm số giảm trên (x2, +∞) 
 + hàm số tăng trên (x1, x2) 
b. Biện luận sự biến thiên của y = 
1bậc
2bậc 
i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định. 
ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác 
định. 
iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực 
tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và 1 2
x x p
2 m
+ =− . 
iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực 
đại tại x2 thỏa x1 < x2 và 1 2
x x p
2 m
+ =− . 
c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x ∈ I : 
đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh 
nghiệm pt bậc 2 y/ = 0 với α. 
11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : 
 TRANG 20 
a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo 
sát thì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số điểm chung. 
b. Với pt mũ, log, ., , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy 
biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thị f. 
12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) : 
 Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, được F(xo, yo) 
= 0; suy ra M ∈ (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại ⇔ m ? ⇔ xo ? 
(hay yo ?) 
 • Nếu xo = a thì M ∈ (d) : x = a. 
 • Nếu yo = b thì M ∈ (d) : y = b. 
13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG : 
a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc) 
tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm : 
 F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I. 
b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất 
hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào 
hàm số