Ôn thi Đại học - Chuyên đề 14: Hình học giải tích trong mặt phẳng

 thẳng qua N(-1;2) và vuông góc ( ) : 2 3 4 0x yΔ − + =
Bài 4: Cho hai điểm A(-1;2) và B3;4) . Tìm điểm C trên đường thẳng x-2y+1=0 sao cho tam giác 
 ABC vuông ở C. 
Bài 5: Cho A(1;1) ; B(-1;3) và đường thẳng d:x+y+4=0. 
 a) Tìm trên d điểm C cách đều hai điểm A, B. 
 b) Với C tìm được . Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành .Tính diện tích hình bình hành. 
)yM ;( 000 x
);( yxM
nKy
x
O
);( yM 000 x
);AnK ( B=
x
y
);( ABa −=
O K
);( ABa −=K
3. Các dạng khác của phương trình đường thẳng : 
a. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) : 
 ( ) : A A
B A B A
x x y yAB
x x y y
− −=− − ( ) : AAB x x= ( ) : AAB y y= 
 98
BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(-2;1), C1;5). Viết phương trình ba cạnh của tam giác 
b. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k: 
 Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng Δ . Gọi ( , )Oxα = Δ k tg thì α= được gọi là hệ số góc 
 củađường thẳng Δ
 Định lý 1: Phương trình đường thẳng Δ qua 0 0 0( ; )M x y có hệ số góc k là : 
 (1) 0 0y - y = k(x - x )
 Chú ý 1: Phương trình (1) không có chứa phương trình của đường thẳng đi qua M0 và vuông góc 
 Ox nên khi sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng đi qua M0 và vuông góc Ox là 
 x = x0
 Chú ý 2: Nếu đường thẳng có phương trình Δ y ax b= + thì hệ số góc của đường thẳng là k a= 
 Định lý 2: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng 1 2,Δ Δ ta có : 
• 1 2 1// k kΔ Δ ⇔ = 2
• 1 2 1 2 k . 1kΔ ⊥ Δ ⇔ = −
BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Viết phương trình đường thẳng qua A(-1;2) và vuông góc với đường thẳng 3 4x y− + = 0
c. Phương trình đt đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đt cho trước: 
 i. 1 1Phương trình đường thẳng ( ) //( ): Ax+By+C=0 có dạng: Ax+By+m =0Δ Δ
 ii. 1 2Phương trình đường thẳng ( ) ( ): Ax+By+C=0 có dạng: Bx-Ay+m =0Δ ⊥ Δ
x
y
O
α
);( yxM
x
y y
);( AA yxA );( BB yxBy);( AA yxA
);( BB yxB
Ax Bx
Ay
By
);( AA yxA
);( BB yxB
Ay By
x xO
)
y
O
;( yM x
0x
0y
x
 Chú ý: được xác định bởi một điểm có tọa độ đã biết nằm trên 1 2;m m 1 2;Δ Δ
 0: 11 =++Δ mByAx
x
y
O 0x
0: 1 =++Δ CByAx
1M
0: 21 =+−Δ mAyBx
x
y
O 0x
1M
0: 1 =++Δ CByAx
BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua M(-1;2) và song song ( ) : 2 3 4 0x yΔ − + =
Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua N(-1;2) và vuông góc ( ) : 2 3 4 0x yΔ − + =
III. Vị trí tương đối của hai đường thẳng : 
 99
 Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
A x B y C
A x B y C
Δ + + =
Δ + + = 
 Vị trí tương đối của phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình : 1( ) và ( )Δ Δ2
 hay 1 1 1
2 2 2
0
0
A x B y C
A x B y C
+ + =⎧⎨ + + =⎩
1 1 1
2 2 2
 (1)
A x B y C
A x B y C
+ = −⎧⎨ + = −⎩
 Chú ý: Nghiệm duy nhất (x;y) của hệ (1) chính là tọa độ giao điểm M của 1 2( ) và ( )Δ Δ
 Định lý 1: 
1 2
1 2
1 2
. Hệ (1) vô nghiệm ( ) //( )
. Hệ (1) có nghiệm duy nhất ( ) cắt ( )
. Hệ (1) có vô số nghiệm ( ) ( )
i
ii
iii
⇔ Δ Δ
⇔ Δ Δ
⇔ Δ ≡ Δ
 Định lý 2: Nếu 2 2 2; ;A B C khác 0 thì 
Δ Δ ⇔ ≠
Δ Δ ⇔ = ≠
Δ ≡ Δ ⇔ = =
1 1
1 2
2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 1
1 2
2 2
A. ( ) cắt ( ) 
A
A. ( ) // ( ) 
A
A. ( ) ( ) 
A
1
2
Bi
B
B Cii
B C
B Ciii
B C
1Δ
x
y
O
2Δ
21 //Δ Δ
1Δ
x
y
O
2Δ
y
O
Δ1
x
2Δ
21 Δ≡Δ21 cắtΔ Δ
BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Bài 1: Cho tam giác ABC có phương trình ba cạnh là 
( ) :8 3 17 0
( ) : 3 5 13
( ) : 5 2 1 0
AB x y
AC x y
BC x y
0
− + =
− − =
+ − =
 Tìm toạ độ ba đỉnh A, B, C 
Bài 2: Cho tamgiác ABC có đỉnh A(2;2) .Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.Biết rằng 
 các đường thẳng 9x-3y-4=0 và x+y-2=0 lần lượt là các đường cao của tam giác xuất phát từ 
 B và C. 
Bài 3: Tuỳ theo m, hãy biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng sau: 
 1
2
: 1
: 2 0
d mx y m
d x my
0+ − − =
+ − = 
IV. Góc giữa hai đường thẳng 
 Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
A x B y C
A x B y C
Δ + + =
Δ + + = 
 Gọi ϕ ( 0 ) là góc giữa 0 090ϕ≤ ≤ 21( ) và ( )Δ Δ ta có : 
1Δ
x
y
O
2Δ
ϕ1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
.
A A B B
A B A B
ϕ +=
+ +
 100
 Hệ quả: 
 ( 1 2 1 2 1 2) ( ) A 0A B BΔ ⊥ Δ ⇔ + = 
BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0;1) và tạo với đường thẳng : x+2y+3=0 
 một góc bằng 450
Bài 2: Lập phương trình các cạnh của hình vuông có đỉnh là (-4;5) và một đường chéo có phương 
 trình 7x-y+8=0. 
V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng : 
Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) : 0Ax By C+ + = và điểm 0 0 0( ; )M x y Δ
 Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( )Δ được tính bởi công thức: 
 0 00 2 2( ; )
Ax By C
d M
A B
+ +Δ =
+
Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
A x B y C
A x B y C
Δ + + =
Δ + + =
 và ( )
 Phương trình phân giác của góc tạo bởi ( )1 2Δ Δ là : 
 1 1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
2A x B y C A x B y C
A B A B
+ + + += ±
+ +
0M
y
O
x
H
)(Δ
y
O
1Δ
x
2Δ
Định lý 3: Cho đường thẳng 0:)( 1 =++Δ CByAx và hai điểm M(xM;yM), N(xN;yN) không nằm 
 trên ( ). Khi đó: Δ M N
M
N
Δ
Δ
• Hai điểm M , N nằm cùng phía đối với (Δ ) khi và chỉ khi 
 0))(( >++++ CByAxCByAx NNMM 
• Hai điểm M , N nằm khác phía đối với (Δ ) khi và chỉ khi 
 0))(( <++++ CByAxCByAx NNMM 
BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Bài 1: Cho tam giác ABC biết A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5). Tính chiều cao kẻ từ A 
Bài 2: Cho hai đường thẳng 1 2: 2 2 0 & : 2 4 7 0d x y d x y− − = + − = . Viết phương trình đường phân giác 
 của góc tạo bởi d1 và d2 
Bài 3: Cho tam giác ABC với A(-6;-3); B-4;3), C9;2). Lập phương trình đường phân giác trong của góc 
 A của tam giác ABC. 
Bài 4: Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1) .Lập pt đường thẳng qua P cách Q một đọan có độ dài bằng 3 
Bài 5: Cho ba đường thẵng 02:)(,04:)(,03:)( 321 =−=−−=++ yxdyxdyxd . Tìm tọa độ điểm M 
 nằm trên đường thẳng (d3) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d1) bằng hai lần khoảng 
 cách từ M đến đường thẳng (d2) 
VI. Chùm đường thẳng : 
M
ΔΔ
 1 2Δ
I 
1. Định nghĩa: Tập hợp các đường thẳng cùng đi qua một điểm I được gọi là một chùm đường thẳng . 
• I gọi là đỉnh của chùm 
• Một chùm đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết : 
 i. Đỉnh của chùm 
 hoặc ii. Hai đường thẳng của chùm 
2. Định lý: Trong Mp(Oxy) cho hai đường thẳng Δ Δ1 2, cắt nhau xác định bởi phương trình : 
Δ + + =
Δ + + =
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0 
( ) : 0 
A x B y C
A x B y C
 Khi đó : Mỗi đường thẳng qua giao điểm của Δ Δ1 2, đều có phương trình dạng: 
 101
 ( λ μ λ μΔ + + + + + = + ≠2 21 1 1 2 2 2) : ( ) ( ) 0 ( 0)A x B y C A x B y C 
Chú ý: 
 102
λ μ
λ μ
= ≠ Δ ≡ Δ
≠ = Δ ≡ Δ
1
2
0 và 0 thì 
0 và 0 thì 
Đặc biệt : 
λ μ≠ ≠ Δ ≠ Δ Δ
Δ
+ + + + + =
+ + + + + =
1 1
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
Nếu 0 và 0 thì và trong trường hợp này 
phương trình có thể viết dưới dạng sau:
 1. m(A ) (A ) 0
hoặc 2. (A ) (A ) 0
x B y C x B y C
x B y C n x B y C
M
2Δ1
Δ Δ
I
BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng 3 5 2 0 & 5 2 4 0x y x y− + = − + =
và vuông góc với đường thẳng ( ) : 2 4 0d x y− + = . 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Phương trình hai cạnh của tam giác trong mặt phẳng tọa độ là 5x-2y+6=0 và 4x+7y-21=0 
 Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ. 
Bài 2: Cho tam giác ABC , cạnh BC có trung điểm M(0;4) còn hai cạnh kia có phương trình 
 2x+y-11=0 và x+4y-2=0. 
 a) Xác định đỉnh A. 
 b) Gọi C là điểm trên đường thẳng x+4y-2=0, N là trung điểm AC . Tìm điểm N rồi tính 
 tọa độ B, C. 
Bài 3: Cho tam giác ABC có M(-2;2) là trung điểm của BC , cạnh AB có phương trình x-2y-2=0, 
 cạnh AC có phương trình : 2x+5y+3=0.Xác định tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC. 
Bài 4: Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5) đường cao kẻ từ A có phương trình 2x-5y+3=0 và đường 
 trung tuyến kẻ từ C có phương trình x+y-5=0 . 
 a) Tính tọa độ điểm A. 
 b) Viết phương trình của các cạnh của tam giác ABC. 
Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;-1) và có các cạnh AB:4x+y+15=0 vàAC:2x+5y+3=0 
 a) Tìm tọa độ đỉnh A và tọa độ trung điểm M của BC . 
 b) Tìm tọa độ điểm B và viết phương trình đường thẳng BC. 
Bài 6: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3). 
 a) Biết đường cao BH: 5x+3y-25=0, đường cao CK: 3x+8y-12=0. Tìm tọa độ đỉnh B , C. 
 b) Biết đường trung trực của AB là 3x+2y-4=0 và trọng tâm G(4;-2). Tìm B, C. 
Bài 7: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến 
 ke û từ một đỉnh có phương trình 2x-3y+12=0 và 2x+3y=0. 
Bài 8: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có 
 phương trình là x-2y+1=0 và y-1=0. 
Bài 9: Cho tam giác ABC biết C(4;3) phân giác trong (AD):x+2y-5=0, trung tuyến (AE) 
 4x+13y-10=0.Lập phương trình ba cạnh. 
Bài 10: Cho tam giác ABC biết A(2;-1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và C 
 lần lượt là d: x-2y+1=0 và x+y+3=0 .Tìm phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC. 
Bài 11: Cho điểm M(-2;3) . Tìm phương trình đường thẳng qua M và cách đều hai điểm A(-1;0) 
 và B(2;1). 
Bài 12: Cho A(2;-3) , B(3;-2) .Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d: 3x-y-8=0, diện 
 tích tam giác ABC bằng 3/2 . Tìm C. 
Bài 13: Viết phương trình đường thẳng song song với d: 3x-4y+1=0 và có khỏang cách đến đường 
 thẳng d bằng 1. 
Bài 14: Cho tam giác cân ABC biết phương trình cạnh đáy AB:2x-3y+5=0 cạnh bên AC:x+y+1=0 
 Tìm phương trình cạnh bên BC biết rằng nó đi qua điểm D(1;1). 
Bài 15: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm trên đường thẳng y=x , phân giác 
 trong góc C nằm trên đường thẳng x+3y+2=0 . Viết phương trình cạnh BC . 
Bài 16: Cho đường thẳng d: 2x+y-4=0và hai điểm M(3;3) , N(-5;19).Hạ MK ⊥ d và gọi P là điểm 
 đối xứng của M qua d: 
 a) Tìm tọa độ của K và P. 
 b) Tìm điểm A trên d sao cho AM + AN có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó. 
Bài 17: Cho tam giác ABC vuông ở A , phương trình BC là 3x y 3 0− − = , các đỉnh A và B 
 thuộc trục hòanh và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của 
 tam giác ABC. 
Bài 18: Cho hình chử nhật ABC có tâm I(1/2;0) , phương trình đường thẳng AB là x-2y+2=0 và 
 AB=2AD . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hòanh độ âm. 
Bài 19: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng 1 : 0d x y− = và 2 : 2 1 0d x y+ − = . Tìm toạ độ các đỉnh 
 hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B,D thuộc trục hoành 
---------------------------Hết-------------------------- 
 103
ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I. Phương trình đường tròn: 
 1. Phương trình chính tắc: 
 Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R là : 
 104
 ( ) (1) 2 2 2: ( ) ( )C x a y b R− + − =
 Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn 
 Đặc biệt: Khi I ≡O thì (hay: 2 2( ) :C x y R+ = 2 2 2y R x= ± − ) 
 BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 
 Bài 1: Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(1;3), B(3:-5) 
 Bài 2: Viết phương trình đường tròn có tâm I(-1;2) và tiếp xúc đường thẳng ( ) : 3 4 2 0x yΔ − + =
 2. Phương trình tổng quát: 
 Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình : 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = với a b2 2 0c+ − > 
 là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính 2 2R a b= + − c 
 BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 
 Bài 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn ( ) 2 2: 2 4 20 0C x y x y+ + − − = 
 Bài 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(3;3), B(1;1),C(5;1) 
 Bài 3: Cho phương trình : (1) 2 2 4 2 2 3x y mx my m+ + − + + = 0
 Định m để phương trình (1) là phương trình của đường tròn (Cm) 
II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: 
 Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình tiếp tuyến với đường tròn 
 ( ) tại điểm2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = 0 0( ; ) ( )M x y C∈ là : 
 ( ) 0 0 0 0: ( ) ( ) 0x x y y a x x b y y cΔ + − + − + + = 
x
y
O
);( baI
R
b
a
);( yxM
BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 
Xét đường tròn (C) qua ba điểm A(-1;2), B(2;0), C(-3;1). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A 
IV. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn: 
 Nhắc lại : 
 Định nghĩa: Cho đường tròn (O;R) và một điểm M cố định . 
 Phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) được ký hiệu là ℘M/(O) là một số 
(C)
I(a;b))(Δ
);( 000 yxM
 105
2 được xác định như sau: ℘M/(O) = 2d R− ( với d = MO ) 
Chú ý : 
 ℘M/(O) > 0 ⇔ ở ngoài đường tròn (O)M 
 ℘M/(O) < 0 ⇔ ở trong đường tròn (O)M 
 ℘M/(O) = 0 ⇔ ở trên đường tròn (O)M 
 Định lý: 
 Trong mp(Oxy) cho điểm 0 0( ; )M x y và đường tròn 
2 2 2 2x y ax by c 0+ − − + = với 
 a b có tâm I(a;b) và bán kính 2 2 0c+ − > 2 2R a b c= + − . Phương tích của điểm M đối với 
 đường tròn (C) là 
 ℘M/(O) = 2 20 0 0 02 2x y ax by c+ − − + 
(C)
M I
BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 
Cho đường tròn (C): và điểm A(3;5). Xét vị trí của điểm A đối với đường tròn 
(C) 
2 2 2 4 4 0x y x y+ + − − =
IV. Trục đẳng phương của hai đường tròn: 
 Nhắc lại: 
 Định lý : Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn khác tâm là một 
 đường thẳng vuông góc với đường nối hai tâm. 
 Đường thẳng này được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn đó. 
Cách xác định trục đẳng phương 
 )( 1C )( 2C
2I1I
)( 1C
)( 2C
1I 2I M
Δ
Δ Δ)1C
)( 2C
1I 2I
(
M 
 Δ
 )( 2C
)( 1C
)( 3C
 I
1I 2I
3I
 Δ
 2
 Δ
 1
Định lý : 
 Cho hai đường tròn (C1) và (C2) không cùng tâm có phương trình: 
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2
( ) : 2 2 0 
( ) : 2 2 0 
C x y a x b y c
C x y a x b y c
+ − − + =
2+ − − + =
 Phương trình trục đẳng phương của (C1) và (C2) là : 
 ( ) 1 2 1 2 2 1: 2( ) 2( ) 0a a x b b y c cΔ − + − + − =
 106
 Cách nhớ: 2 2 2 21 1 1 2 22 2 2 2 2x y a x b y c x y a x b y c+ − − + = + − − + 
BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 
Xác định phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn sau: 
2 2
1
2 2
2
( ) : 4 5 0
( ) : 6 8 16 0
C x y y
C x y x y
+ − − =
+ − + + =
VI. Các vấn đề có liên quan: 
 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: 
 )(C
)(C )(C
I
I IR R H
RM
 M H≡H MĐịnh lý: 
 ( ) ( ) d(I; ) > RCΔ = ∅ ⇔ Δ∩
 ( ) tiếp xúc (C) d(I; ) = RΔ ⇔ Δ
Δ ( ) cắt (C) d(I; ) < RΔ ⇔
BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 
Bài 1: Cho đường tròn (C): . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp 2 2( 3) ( 1)x y− + − = 4
 tuyến này đi qua điểm M(6;3) 
Bài 2: Cho đường tròn (C): . Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết 2 2 6 2 5x y x y+ − + + = 0
 tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : 2 10 0d x y+ + = 
Bài 3: Cho đường tròn và điểm M(-3;1). Gọi T0662:)( 22 =+−−+ yxyxC 1, T2 là các tiếp điểm của 
 các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2. 
 2. Vị trí tương đối của hai đường tròn : 
1I 1
R
1C
2I2
R
2C
1I 1R
1C
2C
2R
2I
1C
1I 1R
2C
2R
2I
1C
2C
1I
2I
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
( ) và (C ) không cắt nhau I I > R
( ) và (C ) cắt nhau R < I I < R
( ) và (C ) tiếp xúc ngoài nhau I I = R
( ) và (C ) tiếp xúc trong 
C R
C R
C R
C
R
⇔ +
⇔ − +
⇔ +
1 2 1 2nhau I I = R R⇔ −
BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 
Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn sau: 
2 2
1
2 2
2
( ) : 4 5 0
( ) : 6 8 16 0
C x y y
C x y x y
+ − − =
+ − + + = 
VII: Chùm đường tròn: 
 Định lý: Cho hai đường tròn cắt nhau : 
 ( )
2 2
1 1 1
2 2
2 2 2
( ) : 2 2 01
2: 2 2 0
C x y a x b y c
C x y a x b y c
+ − − + =
− − + = +
 Phương trình đường tròn (C) đi qua giao điểm của (C1) và (C2) có dạng : 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2( 2 2 ) ( 2 2 ) 0 ( + 0) x y a x b y c x y a x b y cλ μ λ μ+ − − + + + − − + = ≠
BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 
Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của hai đường tròn 
 ( ) 2 2 2 21 2: 10 0;( ) : 4 2 20 0C x y x C x y x y+ − = + + − − =
và đi qua điểm A(1;-1) 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh là A(1;1); B(-1;2); C(0;-1). 
Bài 2: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng 
 1 2 3
x 2( . d ) : y ;(d ) : y x 2;(d ) : y 8 x
5 5
= − = + = −
Bài 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh là A(-1;7); B(4;-3); C(-4;1). 
Bài 4: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm A(-1;1) và B(1;-3) có tâm nằm trên đường 
 thẳng (d):2x - y + 1 = 0. 
Bài 5: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(-1;-2) và tiếp xúc với đường thẳng 
 (d): 7x-y-5=0 tại điểm M(1;2). 
Bài 6: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng 2x+y=0 và tiếp xúc với đường 
 thẳng x-7y+10=0 tại điểm A(4;2). 
Bài 7: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng 4x +3y - 2 = 0 và tiếp 
 xúc với hai đường thẳng : x + y + 4 = 0 và 7x - y + 4 = 0. 
Bài 8: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy. 
Bài 9: Cho đường tròn (C):(x-1)2 +(y-2)2=4 và đường thẳng (d):x-y-1=0. Viết phương trình 
 đường tròn (C') đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng (d). Tìm toạ độ giao điểm 
 của (C) và (C'). 
 107
Bài 10:Cho hai đường tròn: (C1): 2 2 10 0x y x+ − = và (C2): 2 2 4 2 20x y x y 0+ + − − = 
1. Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C1) và (C2) và có tâm nằm trên 
 đường thẳng (d): x + 6y - 6 = 0. 
 2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C1) và (C2) . 
Bài 11: Cho hai đường tròn: (C1): 2 2 4 5x y y 0+ − − = và (C2): 2 2 6 8 16x y x y 0+ − + + = 
 Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C1) và (C2) . 
Bài 12: Cho hai đường tròn : 
2 2
1
2 2
2
(C ) : x y 4x 2y 4 0
(C ) : x y 10x 6y 30 0
+ − + − =
+ − − + =
 có tâm lần lượt là I và J. 
 1) Chứng minh (C1) tiếp tiếp xúc ngoài với (C2) và tìm tọa độ tiếp điểm H. 
 2) Gọi (D) là một tiếp tuyến chung không đi qua H của (C1) và (C2) . Tìm tọa độ giao 
 điểm K của (D) và đường thẳng IJ.Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp 
 xúc với hai đường tròn (C1) và (C2) tại H. 
Bài 13: Cho điểm M(6;2) và đường tròn (C): 2 2 2 4x y x y 0+ − − = . Lập phương trình đường thẳng 
 (d) qua M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 10AB = 
Bài 14: Cho đường tròn (C): và điểm A(1;2). Hãy lập phương trình của đường thẳng 2 2 9x y+ =
 chứa dây cung cuả (C) đi qua A sao cho độ dài dây cung đó ngắn nhất. 
Bài 15: Cho đường tròn (C): và điểm M(2;4) 2 2 2 6 6x y x y+ − − + = 9
 1. Chứng tỏ rằng điểm M nằm trongđường tròn. 
 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M, cắt đường tròn tại hai điểm A và B sao 
 cho M là trung điểm của AB . 
 3. Viết phương trình đường tròn đối xứng