Phương pháp chứng minh bất đẳng thức cauchy (côsi) - Trường THPT Nguyễn Huệ

 – 2001
Lê Hồng Đức. Phương pháp giải toán bất đẳng thức. Nhà xuất bản Hà Nội– 2003
Trần Văn Hạo.( Chủ biên). Chuyên đề Bất đẳng thức. Nhà xuất bản giáo dục.
TS. Trần Vui.(Chủ biên). Một số xu hướng đổi mới trong dạy học Toán ở trường THPT. Nhà xuất bản giáo dục.	
BẢNG KÊ CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI
CÁC KÍ HIỆU TOÁN HỌC
TỪ VIẾT TẮT
" : với mọi
Min : giá trị nhỏ nhất
Max : giá trị lớn nhát
Û : tương đương
Þ : suy ra ( kéo theo) 
D ABC : tam giác ABC
≠ : dấu khác
≥ : dấu không âm 
= : dấu bằng 
 p : nữa chu vi tam giác ABC
CMR : chứng minh rằng
VT : vế trái
VP : vế phải 
BĐT : bất đẳng thức
đpcm : điều phải chứng minh
GTNN : giá trị nhỏ nhât
GTLN : giá trị lớn nhất
TBN : trung bình nhân
TBC : trung bình cộng
A. PHẦN MỞ ĐẦU ( Đặt vấn đề )
1 / Lí do chọn đề tài: 
 Về mặt lý luận
Trí thông minh là sự tổng hợp, phối hợp nhịp nhàng các năng lực trí tuệ như : quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng và chủ yếu là năng lực tư duy mà đặc trưng là năng lực tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo, vận dụng những hiểu biết đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách tốt nhất. Chính vì vậy, nghị quyết của Bộ chính trị về cải cách giáo dục đã nhấn mạnh nhiệm vụ phát triển trí thông minh cho học sinh cấp III nhất là học sinh lớp 10. Nghị quyết đã chỉ ra rất rõ yêu cầu “Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”.
 	Một điểm đổi mới trong phương pháp dạy học hiện nay luôn coi trọng việc lấy học sinh làm trung tâm, người thầy chỉ đóng vai trò là người giúp các em đi đúng hướng, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, sáng tạo. Chính vì vậy, ở lớp 10, việc phát triển trí thông minh cho các em thông qua môn toán là hết sức cần thiết.
Về mặt thực tiễn
Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn Toán nói riêng là nguyện vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên THPT. Như chúng ta đã biết, Toán là khoa hoc suy diễn trừu tượng nhưng Toán học THPT lại mang tính trực quan, cụ thể bởi vì mục tiêu của môn toán ở trung học là hình thành những biểu tượng toán học ban đầu và rèn luyện kĩ năng toán cho học sinh, tạo cơ sở phát triển tư duy và phương pháp cho học sinh sau này. Một mặt khác toán học còn có tính thực triễn. Các kiến thức toán học đều bắt đầu từ cuộc sống. Mỗi mô hình toán học là khái quát từ nhiều tình huống trong cuộc sống. Dạy học toán học ở trung học là hoàn thiện những gì vốn có trong học sinh, cho học sinh làm và ghi lại một cách chính thức các kiến thức toán học bằng ngôn ngữ và các kí hiệu toán học. Mỗi tiết học là dịp để học sinh hình thành những kiến thức và kĩ năng mới, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán trong cuộc sống sau này. Chính vì vậy, người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, trí thông minh của học sinh thông qua giờ học toán.
Về cá nhân 
Xuất phát từ lý luận và thực tiễn trên, để góp phần vào việc “ Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học” cho học sinh trong giai đoạn hiện nay, và qua thực tiễn kiểm tra và giảng dạy học sinh ở trường , tôi nhận thấy việc hình thành những kiến thức và kĩ năng mới trong Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) , vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán trong cuộc sống cho học sinh là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của người giáo viên. Đó là lý do tại sao tôi chọn đề tài này.
Mục đích nghiên cứu:
 	 Một vấn đề thường gặp trong đại số, làm cho học sinh lúng túng đó là những bài toán về bất đẳng thức đại số như bất đẳng thức Cauchy (Côsi ), bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Tchebychev, bất đẳng thức Beruoulli, bất đẳng thức Jensen . Thông thường những bài toán về loại này là những vấn đề khó. Thực sự nó là một phần quan trọng của đại số và những kiến thức về bất đẳng thức trong đại số cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng đại số trong cuộc sống.
Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu Phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cauchy (Côsi) là một phần quan trọng của đại số 10 trong chương trình Toán THPT. Phần nhiều những bài toán tối ưu đại số xuất phát từ yêu cầu của cuộc sống. Một phần nào những kiến thức về tối ưu đại số này cũng được đưa vào chương trình phổ thông đó là Bất đẳng thức Cauchy(Côsi).
Nhiệm vụ nghiên cứu
 Nghiên cứu một số vấn đề về Phương pháp chứng minh bất đẳng thức Côsi .Những bài toán về Bất đẳng thức Côsi có nội dung rất hấp dẫn và khó giải quyết. Một trong những nguyên nhân gây khó giải quyết của nó là vì phương pháp tiếp cận , mổ xẻ vấn đề không phải là các phương pháp thông thường hay được áp dụng trong đại số. Để giải quyết phần nào những khó khăn trên, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này nhằm cung cấp những phương pháp học và giải bài tập bất đẳng thức Cauchy cho các bạn yêu thích toán học, các thầy giáo, cô giáo, các em học sinh các trường THPT và các em học sinh đang học lớp 10 của Trường THPT Nguyễn Huệ - Krông Năng- Đăk lăk làm tài liệu tham khảo và tiếp tục phát triển.
Giới hạn của đề tài
Nghiên cứu về bất đẳng thức Cauchy (Côsi) đặc biệt là các phương pháp chứng minh và bài tập vận dụng để giúp học sinh có thể học tốt hơn và hình thành những kiến thức, kĩ năng mới, vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán cũng như trong cuộc sống .
Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận 
“Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”.
Phương pháp quan sát 
Nhìn nhận lại quá trình học tập môn toán của học sinh của trường trong năm học vừa qua..
Đưa ra một số biện pháp để nâng cao kết quả học tập cho học sinh của trường trong giai đoạn hiện nay.
B. PHẦN NỘI DUNG ( Giải quyết vấn đề )
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI)
I. CÁC QUY TẮC CẦN CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
1.1. Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giiải nhanh hơn.
1.2. Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “=” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT.
1.3. Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thường rất hay mắc sai lầm này, áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chu ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng điều kiện của biến.
1.4. Quy tắc biên: Cở sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên.
1.5. Quy tắc đối xứng: Các BĐT thường có tính chất đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biên đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể..
	Chiều của BĐT cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh : đánh giá từ Trung bình cộng (TBC) sang Trung bình nhân (TBN) và ngược lại.
II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) :
2.1. Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số ) 
 n = 2: " x, y 0 khi đó :
 n = 3: " x, y, z 0 khi đó :
2.1.1 
2.1.2 
2.1.3 
2.1.4 
2.1.5 
2.1.6 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Chứng minh công thức 2.2.1
 " x, y 0 ,ta có : 
Do đó .
Đẳng thức xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi : , tức là x = y .
Hệ quả 1:	
Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Chứng minh: Giả sử hai số dương x và y có tổng x + y = S không đổi. Khi đó, nên . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Do đó, tích xy đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi x = y.
Hệ quả 2:
Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Chứng minh: Giả sử hai số dương x và y có tích x.y = P không đổi. Khi đó, nên . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. 
Do đó, tổng x + y đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi x = y.
ỨNG DỤNG:
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất .
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhỏ nhất.
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : với x > 0.
Giải. Do x > 0 nên ta có : và .
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số với x > 0 là .
Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu x, y, z là ba số dương thì 
 Khi nào xảy ra đẳng thức ?
Giải. Vì x, y, z là ba số dương nên 
 ( đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z )
 ( đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ).
Do đó 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 
Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
2.2. Dạng tổng quát (n số) "x1, x2, x3 ,...,xn không âm ta có:
	Dạng 1: 	
	Dạng 2: 	
	Dạng 3:	
	Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: 
Bình luận:
Để học sinh dễ nhớ, ta nói Trung bình cộng (TBC) Trung bình nhân (TBN).
Dạng 2 và dạng 3 khi đặt cạnh nhau có vẽ tầm thường nhưng lại giúp ta nhận dạng khi sử dụng BĐT Côsi : (3) đánh giá từ TBN sang TBC khi không có cả căn thức.
Hệ quả 3:	
Nếu: thì: 	 Khi 
Hệ quả 4:
Nếu: thì: Khi 
III. Các kỹ thuật sử dụng của bất đẳng thức Cauchy (Côsi )
3.1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều “”.Đánh giá từ tổng sang tích.
Bài 1. Chứng minh rằng: 
Giải
Sai lầm thường gặp
Sử dụng: " x, y thì x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 0 Û x2 + y2 2xy. Do đó:
	 Þ (Sai)
Ví dụ: Þ 24 = 2.3.4 (-2)(-5).3 = 30 ( Sai )
Lời giải đúng:
Sử dụng BĐT Côsi : x2 + y2 2 = 2|xy| ta có:
Þ(đúng)
Bình luận
Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm.
Cần chú ý rằng: x2 + y2 2 = 2|xy| vì x, y không biết âm hay dương.
Nói chung, ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Côsi như bài toán nói trên mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Côsi.
Trong bài toán trên dấu “ ” Þ đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý đến sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, 3 cặp số.
Bài 2. Chứng minh rằng: " a,b 0
Giải
Bài 3. Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) 9ab " a, b 0.
Giải
Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) .
Bình luận:
9 = 3.3 gợi ý sử dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện ba lần, vậy khi sử dụng Côsi cho ba số sẽ khử được căn thức cho các biến đó.
Bài 4. Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 9ab2 " a, b 0
Giải
Ta có: 3a3 + 7b3 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 = 9ab2
Bình luận:
9ab2 = 9.a.b.b Þ gợi ý đến việc tách hạng tử 7b3 thành hai hạng tử chứa b3 để khi áp dụng BĐT Côsi ta có b2. Khi đã có định hướng như trên thì việc tách các hệ số không có gì khó khăn. 
Bài 5. Cho (1)
Giải
 (đpcm)
Bài toán tổng quát 1: 
Cho: 
Trong các bài toán có điều kiện ràng buộc việc xử lí các điều kiện mang tính đồng bộ và đối xứng là rất quan trọng, giúp ta định hướng được hướng chứng minh BĐT đúng hay sai.
Trong việc đánh giá từ TBC sang TBN có một kỹ thuật nhỏ hay được sử dụng. Đó là kĩ thuật tách nghịch đảo.
3.2. Kỹ thuật tách nghịch đảo:
Bài 1. CMR: 	
Giải 
Ta có : 	 (đpcm).
Dấu “ = ” xảy ra Û 
Bài 2. CMR: 	
Giải
Ta có :	
Dấu “ = ” xảy ra Û 
Bài 3. CMR: 
Giải
Ta có nhận xét : b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b do đó hạng tử đầu a sẽ được phân tích như sau :
Dấu “ = ” xảy ra Û Û a = 2 và b = 1.
3.3. Kỹ thuật chọn điểm rơi:
Trong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến.
Bài 1. Cho a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 
Giải
Sai lầm thường gặp của học sinh: 2=2
Dấu “ = ” xảy ra Û Û a = 1 Þ vô lí vì giả thiết là a 2.
Cách làm đúng
Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử để sao cho khi áp dụng BĐT Côsi dấu “ = ” xảy ra khi a = 2. Có các hình thức tách sau:
Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):
( sơ đồ điểm rơi (2),(3),(4) học sinh tự làm)
 Þ Þ a = 4. 
Vậy ta có : . 	
Dấu “ = ” xảy ra Û a = 2.
Bình luận:
Ta sử dụng điều kiện dấu “ = ” và điểm rơi là a = 2 dựa trên quy tắc biên để tìm ra a = 4.
Ở đây ta thấy tính đồng thời của dấu “ = ” trong việc áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số và đạt giá trị lớn nhất khi a = 2, tức là chúng có điểm rơi a = 2.
Bài 2. Cho a 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải
Sơ đồ chọn điểm rơi:	 a = 2 Þ Þ Þ a = 8.
Sai lầm thường gặp
 Þ MinS = 
Nguyên nhân sai lầm:
Mặc dù chọn điểm rơi a = 2 vàà MinS = là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu a 2 thì đánh giá sai.
Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kĩ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S sao cho sau khi sử dụng BĐT Côsi sẽ khử hết biến số a ở mẫu số.
Lời giải đúng: 
Với a = 2 thì Min S = .
3.4. Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng (TBC) 
Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu , đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nôm na là thay dấu a + b bằng dấu a.b thì ngược lại đánh giá từ TBN sang TBC là thay dấu a.b bằng dấu a + b . Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số. 
Bài 1. CMR (1)
Giải
(1) Û Theo BĐT Côsi ta có:
(đpcm)
Bình luận:
Nếu giữ nguyên vế trái thì khi biến tích thành tổng ta không thể triệt tiêu ẩn số Þ ta có phép biến đổi tương đương (1) sau đó biến tích thành tổng ta sẽ được các phân thức có cùng mẫu số.
 Dấu “ ” gợi ý cho ta nếu sử dụng BĐT Côsi thì ta phải đánh giá từ TBN sang TBC . 
Bài 2. CMR 	(1)
Giải 
Ta có (1) tương đương với: 
Theo BĐT Côsi ta có:
(đpcm)
Bài 4. Chứng minh rằng : 
Giải
Ta có : 
 Trong kĩ thuật đánh giá TBN sang TBC ta thấy thường nhân thêm các hằng số để sao cho sau biến tích thành tổng các tổng đó triệt tiêu các biến. Đặt biệt là đối với những bài toán có thêm điều kiện ràng buộc của ẩn số thì việc nhân thêm hằng số các em học sinh dễ mắc sai lầm. Sau đây ta lại nghiên cứu thêm 2 phương pháp nữa đó là phương pháp nhân thêm hằng số, và chọn điểm rơi trong việc đánh giá từ TBN sang TBC.Do đã trình bày phương pháp điểm rơi ở trên nên trong mục này ta trình bày gộp cả 2 phần . 
3.5. Kỹ thuật nhân thêm hằng só trong đánh giá TBN sang TBC :
Bài 1. Chứng minh rằng: 
Giải
Bài này chúng ta hoàn toàn có thể chia cả 2 vế cho ab, sau đó áp dụng phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC như phần trước đã trình bày, tuy nhiên ở đây ta áp dụng một phương pháp mới : phương pháp nhân thêm hằng số.
 Ta có : 	
Þ 	
Dấu “ = ” xảy ra Û 
Bình luận:
Ta nhận thấy việc nhân thêm hằng số 1 vào biểu thức không hoàn toàn tự nhiên, tai sao lại nhân thêm 1 mà không phải là 2. Thực chất của vấn đề là chúng ta chọn điểm rơi của BĐT theo quy tắc biên là a = b = 1/2.
Nếu không nhận thức được rõ vấn đề trên thì học sinh sẽ dễ mắc sai như trong VD sau.
Bài 2. Cho Tìm giá trị lớn nhất: 
Giải 
Sai lầm thường gặp:
 Þ 
Nguyên nhân sai lầm
Dấu “ = ” xảy ra Û a + b = b + c = c + a = 1 Þ a + b + c = 2 trái với giả thiết.
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau do đó điểm của BĐT sẽ là từ đó ta dự đoán Max S = . Þ a + b = b + c = c + a = Þ hằng số cần nhân thêm là . Vậy lời giải đúng là :
	 Þ 
Bài toán trên nếu cho đầu bài theo yêu cầu sau thì học sinh có định hướng tốt hơn: 
Cho Chứng minh rằng: . 
Tuy nhiên nếu nắm được kỹ thuật điểm rơi thì việc viết đầu bài theo hướng nào cũng có thể giải quyết được.
Bài 3. Cho Tìm Max 
Giải 
Sai lầm thường gặp
	Þ Þ Max S = 
Nguyên nhân sai lầm
	Max S = Û 
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do S là biểu thức đối xứng với a,b,c nên Max S thường xảy ra điều kiện : Û Û ÞVậy hằng số cần nhân thêm là: .
Ta có lời giải:	
Þ 	 
Vậy Max S = . Dấu “ = ” xảy ra Û Û .
3.6. Kỹ thuật ghép đối xứng:
Trong kỹ thuật ghép đối xứng cần nắm được một số thao tác sau :
 Phép cộng : 
Phép nhân :
Bài 1. Chứng minh rằng : 
Giải
	Áp dụng BĐT Côsi ta có:
Þ .
 Dấu “ = ” xảy ra Û a = b = c.
Bài 2. Cho tam giác ABC với a,b,c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác.CMR 
 a) . 	
 b) 
Giải
a) Áp dụng BĐT Côsi ta có:
b) Áp dụng BĐT Côsi ta có:
Þ 	
Dấu “ = ” xảy ra cho cả a) và b) khi và chỉ khi đều : a = b = c
( p là nữa chu vi của ABC: )
3.7. Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số, n số :
Nội dung cần nắm được các thao tác sau :
1. 
2. 
Bài 1. Chứng minh rằng : 	(1)
Giải 
Ta biến đổi (1) tương đương: 
Û Û (đpcm )
Bài 2. Chứng minh rằng : 
Giải
Ta biến đổi tương đương BĐT như sau: 
Û (đpcm )
3.8. Kỹ thuật đổi biến số :
	Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh hoặc khó giải, khó nhận biết được phương hướng giải, ta có thể chuyển bài toán từ tình thế khó biến đổi về trang thái dễ biến đổi hơn. Phương pháp trên gọi là phương pháp đổi biến số.
 Bài 1. Chứng minh rằng: 	(BĐT Nesbit)
Giải 
	Đặt : .
Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:
Û 
Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng, Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 
VT 
Dấu “ = ” xảy ra Û x = y = z Û a = b = c
Bài 2. Cho ABC. Chứng minh rằng : 
Giải 
	Đặt : .
Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:
Û 	(2)
Ta có : VT (2) 
3.9. Một số bài tập áp dụng
3.9.1. Kỹ thuật chọn điểm rơi và đánh giá từ TBC sang TBN
Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
3.9.2. Kỹ thuật chọn điểm rơi ¸đánh giá từ TBN sang TBC
Cho Chứng minh rằng : 
Cho Chứng minh rằng : 
3.9.3. Kỹ thuật chọn điểm rơi và nhân thêm hằng số trong đó đánh giá từ TBN sang TBC
Cho 
Cho x, y, z >0. Tìm Min f(x, y, z) = 
Chứng minh rằng:
 ( Gợi ý: CMR )
Cho Tìm Max 
3.9.4. Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số, n số :
Cho CMR : 
Cho CMR: .
IV. Một số ứng dụng của bất đẳng thức:
4.1. Áp dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình:
Bài 1. Giải phương trình 
Giải
Điều kiện: x ³ 0, y ³ 1, z ³ 2. áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm ta có :
	Suy ra : 	
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . 
Vậy phương trình có nghiệm (x, y, z) = (1; 2; 3)
Bài 2. Giải phương trình : 	(1)
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có : 
	Þ 	(2)
 Kết hợp (1) và (2) ta có: 
Thử lại ta có x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 3. Giải hệ phương trình:
Giải
 Điều kiện: x ³ 1, y ³ 1. ¸ Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
	(1)
Tương tự :	 	(2)
Cộng (1), (2) ta được : . 
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi. 
Thử lại thấy: x = y = 2 cũng thoả mãn phương trình thức nhất của hệ 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ( 2; 2 )
Bài 4.	 Giải hệ phương trình:
Giải
Rõ ràng hệ có nghiệm x = y = z = 0. Với x,y,z ¹ 0, từ hệ đã cho ta suy ra x>0, y>0, z>0. 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có :
Tương tự : 	
Vậy :	y x z y, suy ra x = y = z.
Thay y = x vào phương trình thứ nhất ta được :
Vậy hệ có hai họ nghiệm (x, y, z) = {(0; 0; 0) ; (1; 1; 1)}
Bài 7. Tìm số nguyên dương n và các số nguyên dương a1 = a2 = ... = an  thoả các điều kiện :
Giải
Lấy (1) cộng (2) vế theo vế , ta được : 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có : với i = 1, 2, ... , n
Suy ra 4 ³ 2n hay n 2:
Với n = 1: hệ vô nghiệm; Với n = 2: hệ có nghiệm a1 = a2 = 1
Vậy: n = 2 và a1 = a2 = 1
4.2. . Một số bài tập tượng tư vận dụng 
Giải phương trình sau
Giải phương trình
4. Xác định số nguyên dương n và các số dương x1, x2 ,  , xn thoả
5. Giải hệ phương trình 
V/ Đánh giá kết quả
 Từ nhận thức của bản thân trên cơ sở thực tiễn chọn đề tài và các biện pháp triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu của học sinh