Phương pháp giải Phương trình mũ

PHƯƠNG TRÌNH MŨLược đồ giải phương trình mũBước 1:Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trìnhBước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiệnPhương pháp 1:Biến đổi tương đươngPhương pháp 2:Logarit hoá và đưa về cùng cơ sốPhương pháp 3:Đặt ẩn phụ, có 4 dạng đặt ẩn phụ:a. Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụb. Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa xc. Sử dụng k ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành hệ pt với k ẩn phụd. Sử dụng một ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành hệ phương trình với một ẩn phụ và một ẩn xPhương pháp 4:Hàm số bao gồm:a. Sử dụng tính liên tục của hàm sốb. Sử dụng tính đơn điệu của hàm sốc. Sử dụng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sốd. Sử dụng định lý Lagrangee. Sử dụng định lý RônPhương pháp 5:Đồ thịPhương pháp 6:Điều kiện cần và đủPhương pháp 7:Đánh giáChú ý:1. Trong trường hợp sử dụng pp biến đổi tương đương, ta có thể bỏ qua bước 1 để giảm thiểu độ phức tạp2. Nếu lựa chọn phương pháp đặt ẩn phụ thì:a. Với phương trình không chứa tham số có thể chỉ cần thiết lập điều kiện hẹp cho ẩn phụ.b. Với phương trình chứa tham số phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.Thí dụ: Nếu đặt t = x2 thì:a. Với phương trình không chứa tham số có thể chỉ cần điều kiện t > 0b. Với phương trình chứa tham số phải cần điều kiện t ≥ 1Bài toán 1:SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNGTa sử dụng phép biến đổi tương đương sau:hoặcVí dụ 1: Cho phương trình:Biến đổi tương đương pt về dạng:Vậy, với ...a. Giải pt với m = 1b. Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.a. Với m = 1, ta được:b. Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu(2) có hai nghiệm trái dấua.f(0) 0Vậy pt có nghiệm x = 3 với mọi a.Xét phương trình:Khi đó, ta có biện luận: Nếu a + 1 0, pt có hai nghiệm:( 8 pt có hai nghiệm x = 3 và Ví dụ 4: Giải phương trình:Biến đổi tương đương pt về dạng:Giải (1) bằng cách nhân lượng liên hợp, ta được:Vậy,...Ví dụ 5: Giải phương trình:Phương trình được viết lại dưới dạng:Giải (1) ta được:thoả (*)Giải (2) ta được:Để thoả mãn điều kiện (*) ta phải có:Khi đó ta nhận nghiệm Vậy, ...Bài toán 2:SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐDạng 1: Phương trình:Dạng 2: Phương trình:hoặcBài toán 2:SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐDạng 2: Phương trình:hoặcVí dụ 1: Giải các phương trình sau:a. Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình, ta được:Ta có:Suy ra pt có 2 nghiệm:Vậy, ....b. Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình, ta được:Ta có:Suy ra pt có 2 nghiệm:Vậy, ....c. Lấy logarit cơ số 10 hai vế phương trình, ta được:Vậy, ....Ví dụ 2: Giải phương trình:Biến đổi pt dưới dạng:Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình, ta được:Vậy, ...Ví dụ 3: Giải phương trình:Biến đổi pt dưới dạng:Vậy, ...BÀI TOÁN 3SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ - DẠNG 1PP đặt ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụDạng 1:Phương trình Đặt t = ax, điều kiện t > 0Dạng 2:Phương trình , với a.b = 1Đặt t = ax, điều kiện t > 0Dạng 3:Phương trình Chia hai vế của pt cho b2x > 0 (hoặc a2x, (ab)x) ta được:Đặt , điều kiện t > 0, ta được:Ví dụ 1: Cho phương trình: (m + 3).16x + (2m – 1). 4x + m + 1 = 0 (1)a. Giải phương trình vớib. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấuĐặt t = 4x,điều kiện t > 0.Khi đó pt có dạng: (m + 3).t2 + (2m – 1)t + m + 1 = 0 (2)a. Vớita được:Vậy,...b. Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu, tức là: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 thoả mãn:Vậy,...Ví dụ 2: Cho phương trình:a. Giải phương trình với m = 2b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 + x2 = 3Đặt t = 2x,điều kiện t > 0.Khi đó pt có dạng:b. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 tương ứngVì x1 + x2 = 3Vậy để pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 + x2 = 3Pt (2) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 thoả mãn t1.t2 = 8Vậy,....Ví dụ 3: Cho phương trình:a. Giải phương trình với m = 9b. Xác định m để pt có nghiệmĐặt , vìKhi đó pt có dạng:b. Ta xét các trường hợp:▪ Với m = 2do đó pt vô nghiệm▪ Với m ≠ 2(1) có nghiệm(2) có nghiệm t ≥ 2có 1 nghiệm t ≥ 2có 2 nghiệm t ≥ 2Vậy, ...Ví dụ 4: Giải phương trình:Điều kiện:sinx ≠ 0Vìnên (1) được viết lại dưới dạng:Đặt, vìKhi đó (2) có dạng:Thoả (*)Vậy, ...Ví dụ 5: Cho phương trình:a. Giải phương trình với m = 1b. Tìm m để pt có hai nghiệm x1, x2 thoả mãnNhận xét rằng:Do đó, nếu đặt, điều kiện t > 0thìKhi đó pt (1) tương đương với:b. Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 tương ứng:vàVì:Vậy, để (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn(2) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 thoả mãn t1 = 3t2Vậy, ...Ví dụ 6: Giải phương trình:Nhận xét rằng:Do đó, nếu đặt, điều kiện t > 0thìvàKhi đó pt tương đương với:...............Ví dụ 7: Giải phương trình:Nhận xét rằng:Do đó, nếu đặt, điều kiện t > 0thìKhi đó pt tương đương với:...........Ví dụ 8: Cho phương trình:a. Giải phương trình với m = 1b. Tìm m để pt có nghiệm duy nhấtBiến đổi pt về dạng:Chia cả hai vế của pt (2) cho , ta được:Đặt, vìKhi đó pt (3) tương đương với:f(t) = t2 – mt -2 = 0 (4)a. Với m = 1, ta được:Vậy,...b. Để pt có nghiệm duy nhấtVậy,...(4) có nghiệm t1, t2 thoả (vì a.c = -2 0Khi đó pt tương đương với:Vậy,...Ví dụ 10: Giải phương trình:Viết lại pt dưới dạng:Đặt , suy raKhi đó pt (1) có dạng:t3 + 6t -6t = 1Đặt u = 2x > 0Khi đó pt (2) có dạng:Vậy, ...Ví dụ 11: Giải phương trình:Điều kiện: 1 – 22x > 0Như vậy , đặt 2x = sint vớiKhi đó pt có dạng:Vậy, ...Bài toán 4: Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x.Ví dụ 1: Giải phương trình:Đặt t = 3x, điều kiện: t > 0Khi đó pt tương đương với:▪ Với t = 9Ví dụ 2: Giải phương trình:Đặt, điều kiện t ≥ 1vì x2 ≥ 0Khi đó pt tương đương với:▪ Với ....▪ Với t = 1 – x2Ta có nhận xét:Vậy, ...Ví dụ 3: Giải phương trình:Đặt, điều kiện t > 0Khi đó pt tương đương với:Đặt u = 4, ta được:Vậy, ...Ví dụ 4: Cho phương trình:a. Giải pt với m = 2b. Xác định m để pt có 3 nghiệm phân biệtĐặt, điều kiện t > 0Khi đó pt tương đương với:Coi m là ẩn, còn t là tham số, ta được pt bậc 2 theo m, giải ra ta được:a. Với m = 2, ta được:Vậy, ...b. Phương trình có 3 nghiệm phân biệtVậy, ...pt (3) có 2 nghiệm phân biệt dương khácTức là:Bài toán 5: Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 3Sử dụng 2 ẩn phụ cho hai biểu thức loga trong pt và khéo léo biến đổi pt thành phương trình tích.Ví dụ 1: Giải phương trình:Viết lại pt dưới dạng:Vậy, ....Ví dụ 2: Cho phương trình:a. Giải pt với m = 1b. Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệtViết lại pt dưới dạng:Đặt:Khi đó, pt tương đương với:mu + v = uv + mVậy, với mọi m pt luôn có hai nghiệm x = 3, x = 2b. Để (1) có 4 nghiệm phân biệt(*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 và khác 3Khi đó điều kiện là:Vây, ....BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG 4PP đặt ẩn phụ dạng 4 là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một hệ phương trình với k ẩn phụ.Ví dụ 1: Giải phương trình:Viết lại pt dưới dạng:Đặt:Khi đó: Pt tương đương với:● Với u = v = 2, ta được:● Với u = 9 và , ta được:Vậy, ....Ví dụ 2: Giải phương trình:Đặt u = 2x, điều kiện u > 0Khi đó pt được chuyển thành:Đặt v =, điều kiện Khi đó pt được chuyển thành hệ:● Với u = v, ta được:● Với u + v + 1 =0 , ta được:Vậy,... BÀI TOÁN 7SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐCho phương trình f(x) = 0, để chứng minh phương trình có k nghiệm phân biệt trong [a,b], ta thực hiện các bước sau:Bước 1: Chọn các số a , ta được:Xét hàm số: liên tục trên R.Ta có: f(-2) = -11, f(0) = 1, f(1) = -3, f(2) = 13Suy ra: f(-2).f(0) 0 f(0).f(1) = -3 0Biến đổi pt về dạng: Vế phải của pt là một hàm nghịch biến Vế trái của pt là một hàm đồng biếnDo vậy, nếu pt có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất.Nhận xét rằng x = 1 là nghiệm của pt (2) vìVậy, ...Ví dụ 3: Giải phương trình:Chia 2 vế của pt cho 3x ≠ 0, ta được:Xét hàm số, hàm này là hàm nghịch biến.Ta có: Với x = 2, f(2) = 1 do đó x = 2 là nghiệm của pt (1) Với x > 2, f(x) f(2) = 1 do đó pt (1) vô nghiệmVậy x = 2 là nghiệm duy nhất của pt.Ví dụ 4: Giải phương trình:Điều kiện:Đặt suy ra:Khi đó (1) có dạng:Xét hàm số Tập xác định: Đạo hàm:Suy ra hàm số tăng trên D.Mặt khác, Vậy (2) f(u) = f(1)u = 1Vậy, ...Ví dụ 5: Cho phương trình:a. Giải pt với b. Giải và biện luận phương trình.Đặt t = x2 + 2mx + 2, pt có dạng:Xét hàm số Tập xác định: Đạo hàm:Suy ra hàm số tăng trên D.Vậy (1) f(t) = f(2t + m – 2)t = 2t + m – 2t + m – 2 =0x2 + 2mx + m = 0 (2) a. Với , ta được:b. Xét pt (2), ta có:b. Xét pt (2), ta có: Nếu Pt (2) vô nghiệmPt (1) vô nghiệm Nếu - Với m = 0 pt (2) có nghiệm kép x0 = 0- Với m = 1 pt (2) có nghiệm kép x0 = -1 Nếu Pt (2) có hai nghiệm phân biệtđó cũng là nghiệm của (1)Kết luận:-Với m = 0, ...-Với m = 1, ...-Với 01 hoặc m1 nên sự biến thiên của hàm số phụ thuộc vào sự biến thiên của hàm số t = x2 – 4x + 3, ta có:x-∞ 2 +∞t-1y+∞ +∞a. Với , pt vô nghiệmb. Pt có 2 nghiệm phân biệt khi Ví dụ 2: Cho phương trình:a. Giải pt với m = 8b. Tìm m để pt có nghiệm Số nghiệm của pt là số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = m.b. Giải pt với m = 27Viết lại pt dưới dạng:Giới hạn:Xét hàm số, xác định trên D = RBảng biến thiên:Vì 3>1, 4>1 nên sự biến thiên của hàm số phụ thuộc vào sự biến thiên của hàm số t = x2 – 2x + 2, ta có:x-∞ 1 +∞t1y+∞ +∞a. Với , pt có nghiệm duy nhất x = 1c. Pt có nghiệm khi b. Với m = 27, pt có 2 nghiệm phân biệt x = 0, x = 2BÀI TOÁN 10SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ LAGRANGEĐịnh lý Lagrange: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và f’(x) tồn tại trên (a,b) thì luôn sao cho:Bước 1: Giả sử  là nghiệm của phương trình, khi đó:Bước 2: Biến đổi pt về dạng thích hợp f(a) = f(b), từ đó chỉ ra được hàm số F(t) khả vi và liên tục trên [a,b]Khi đó theo định lý Ragrange thì luônsao cho:Bước 3: Giải (*) ta xác định được .Bước 4: Thử lại.Ví dụ 1: Giải phương trình:Viết lại pt dưới dạng:Giả sử  là nghiệm của pt, khi đó:Xét hàm sốvới t > 0.Từ (2) ta nhận được f(5) = f(2), do đó theo định lý ragrange tồn tại c  (2,5) sao cho:Thử lại ta thấy x = 0 và x = 1 đều thoả mãn (1)Vậy, pt có hai nghiệm x = 0 và x = 1Ví dụ 1: Giải phương trình:Viết lại pt dưới dạng:Giải sử  là nghiệm của pt, khi đó:Xét hàm sốvới t > 0.Từ (2) ta nhận được f(3) = f(2), do đó theo định lý ragrange tồn tại c  (2,3) sao cho:Thử lại ta thấy đều thoả mãn (1)Vậy, pt có hai nghiệmBÀI TOÁN 11SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ RÔNBước 1: Tìm tập xác định của phương trìnhGiả sử cần giải phương trình f(x) = 0 (1)Bước 2: Xét hàm số y = f(x) trên D.Sử dụng đạo hàm khẳng định hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên D.Bước 3: Vậy pt (1) nếu có nghiệm sẽ có không quá hai nghiệmTa chỉ cần chỉ ra hai giá trị x1, x2  D sao cho:f(x1) = f(x2)Bước 4: Kết luậnVí dụ 1: Giải phương trình:Viết lại pt dưới dạng: Xét hàm số trên R, ta có:hàm số lõm.Vậy pt (1) nếu có nghiệm sẽ không có quá hai nghiệm.Ta có:	f(1) = f(2) = 0Do đó pt có hai nghiệm là x = 1 và x = 2.Ví dụ 2: Giải phương trình:Viết lại pt dưới dạng: Xét hàm số trên R, ta có:hàm số lõm.Vậy pt (1) nếu có nghiệm sẽ không có quá hai nghiệm.vớiTa có:Do đó pt có hai nghiệm là x = 0 và x = 1.	f(0) = f(1) = 0BÀI TOÁN 12SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦBước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của pt có nghĩaBước 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên việc đánh giá hoặc tính đối xứng của hệBước 3: Kiểm tra điều kiện đủ, trong bước này cần có được một số kỹ năng cơ bản.Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:Điều kiện cần:Giả sử (1) có nghiệm x = x0 suy ra:cũng là nghiệm của (1)Vậy (1) có nghiệm duy nhất khiThay x0 = 2 vào (1), ta được m = 1.Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhấtĐiều kiện đủ:Giả sử m = 1, khi đó (1) có dạng:là nghiệm duy nhấtVậy, ....BÀI TOÁN 13SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁBằng cách đánh giá tinh tế dựa trên:a. Tam thức bậc haib. Tính chất hàm số mũc. Các bất đẳng thức cơ bản, côsi, Bunhiacopski, ...d. Tính chất trị tuyệt đối..............Ví dụ 1: Giải phương trình:Ta có: x2 ≥ 0Và cos2x ≤ 1Suy ra pt đã cho tương đương với hệ:Vậy, ...Ví dụ 2: Giải phương trình:Điều kiện x ≥ 1Ta có nhận xét:Suy ra pt đã cho tương đương với hệ:Vậy, ...Ví dụ 3: Giải phương trình:Điều kiện: 16 – x2 ≥ 0Ta có nhận xét:Suy ra pt đã cho tương tương với hệ:Vây, ...Ví dụ 4: Giải phương trình:Đặt:điều kiện a, b >0Khi đó pt có dạng:Nhận xét rằng:Vậy pt tương đương với:b + 1 = a + 1 = a + bVậy pt có nghiệm duy nhất x = 0Ví dụ 5: Giải phương trình:Đặt:, điều kiện t >0Khi đó pt có dạng:Nhận xét rằng:Vậy pt tương đương với:Vậy,...ĐÁNH GIÁ BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULIVới mọi t > 0, ta luôn có:Với phương trình mũ:Ví dụ 1: Giải phương trình:Biến đổi phương trình về dạng:Vậy, pt có 2 nghiệm x = 0 và x = 1.Ví dụ 2: Giải phương trình:Biến đổi phương trình về dạng:Vậy, ....Ví dụ 3: Giải phương trình:Theo bất đẳng thức Bernouli ta có: Với x ≥ 1 hoặc x ≤ 0dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0 hoặc x = 1 Với x  (0,1)pt vô nghiệmVậy, ...Ví dụ 4: Giải phương trình:Theo bất đẳng thức Bernouli ta có: Với x ≥ 1 hoặc x ≤ 0dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0 hoặc x = 1 Với x  (0,1)pt vô nghiệmVậy, ...