Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit (P2)

Bµi 5 
BÊt ph−¬ng tr×nh mò vµ logarit 
1. BÊt ph−¬ng tr×nh mò 
§ã lµ bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 
f(x) g(x)a a> (hoÆc a ). (1) f(x) g(x)a≥
§Ó gi¶i (1), ng−êi ta th−êng dùa vµo c¸c phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng 
sau 
f(x) g(x)a a
a 1
 > >
 ⇔ f(x) g(x)
a 1
> >
f(x) g(x)a a
0 a 1
 > < <
 ⇔ f(x) g(x)
0 a 1.
< < <
VÝ dô 1. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau 
a) ; b) 
2x x 62 1− − >
24x 15x 13
3x 41 4
4
− + −  <   . (1) 
Gi¶i. a) BÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi 
x2 − x − 6 > 0 ⇔ (x − 3)(x + 2) > 0 
⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (3, +∞). 
b) (1) ⇔ 4x2 − 15x + 13 < 4 − 3x (v× 43x−4 = 
4 x
1
)
4
−    . 
⇔ 4x2 − 12x + 9 < 0 ⇔ (2x − 3)2 < 0 ⇔ x ∈ ∅. (v« nghiÖm) 
VÝ dô 2. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh x25x − 5x+2 ≤ 0. (2) 
Gi¶i. (2) ⇔ 5x.(x2 − 52) ≤ 0 ⇔ x2 − 52 ≤ 0 
(v× 5x > 0) ⇔ −5 ≤ x ≤ 5. 
VÝ dô 3. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 
a) 
2x x 2
8 1 x x87 7 ( 7)
− −< + 6, (3) 
b) 
2x 7,2x 3,96 x(5 25 5) 0− +− − .≥ (4) 
a) (3) ⇔ ( )22 x xx x 887 7.7 −− −< + 6 . (5) 
§Æt 
2x x
8
−
=7 . Tõ (5) ta cã y
7
y 6
y
y 0
 
 ⇔ 
(y 7)(y 1)
0
y
y 0
− + 
⇔ 0 < y < 7. Trë l¹i biÕn cò, ta cã 
 1
(5) ⇔ 
2x
x 1
8
− < ⇔ (x 4 2 2)(x 4 2 2) 0− + − − < 
⇔ x ∈ (−∞, 4 − ( ,4 2 2) (4 2 2, )−∞ − ∪ + +∞ . 
b) (4) ⇔ 2x 7,2x 3,9
6 x 0
5 25
x 6
− +
 − = 5 0− ≥ <
 ⇔ 2
x 6
x 7,2x 1,4
x 6.
= 0− + ≥ <
⇔ 
x 6
1
x (x 7)
5
x 6
=  − − ≥    <
0 ⇔ x ∈ 1,
5
 −∞  ∪ {6}. 
Chó ý. §Ó ®¬n gi¶n trong qu¸ tr×nh gi¶i, ta cã thÓ dïng Èn phô. Ch¼ng 
h¹n ®èi víi bÊt ph−¬ng tr×nh 
f(ax) ≥ 0, 0 < a ≠ 1, 
ta ®Æt t = ax ®Ó ®i ®Õn hÖ 
f(t) 0
t 0.
≥ > 
VÝ dô 4. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau 
a) 
x x
72 1 1
3 3
    >      3 1 (6) ,
b) 
x x
1 1
.
3 1 1 2 −
>− − 1 (7) 
Gi¶i. a) (6) ⇔ 72 x x3 1− − > 
⇔ 72 − x − x > 0 ⇒ 
2t t 72
t x 0
 0+ − < = ≥
⇔ 0 t 8
t x
≤ < =
 ⇔ 0 ≤ x < 64. 
b) (7) ⇔ 
x 1 x
x x 1
1 3 3 1
0.
(3 1)(1 3 )
−
−
− − + >− − (8) 
§Æt t= 3x, (8) cã d¹ng 
 2
t 0
t
2 t
3 0
t
(t 1) 1
3
> − − >  − −   
 ⇔ 
t 0
4
2 t
3 0
t
(t 1) 1
3
>   −     >   − −  
⇔ 
3
t
2 0
(t 1)(4 t)
t 0
 − > − − >
 ⇔ 
3
1 t
2
t 4
 
Tõ ®ã (8) ⇔ 
x
x
3
1 3
2
4 3
 < < <
 ⇔ 3
3
3
0 x log
2
log 4 x.
  < <     <
VÝ dô 5. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 
3x x x( 2) (4 2) 2.8 .+ ≥ (9) 
(9) ⇔ 
3x x
2 2
2
2 2
   + ≥       ⇔ 
3
x
t t 2 0
2
t 0
2
 + − ≥   = >   
⇔ 
2
x
(t 1)(t t 2) 0
2
t 0
2
 − + + ≥   = >   
 ⇔ 
x
2
1
2
  ≥   
(v× t2 + t + 2 > 0) ⇔ x ≤ x ⇔ x ∈ (−∞, 0]. 
Chó ý : Khi gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh mò ta cã thÓ logarit hãa hai vÕ. 
VÝ dô 6. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh 
a) , (10) 2x 1 3 x5 7− < −
b) 
x 1 (3/ 4)x 14 4 5
5 5 5
− −  >   (11) 
Gi¶i. a) (10) ⇔ 2x − 1 < (log57)(3 − x) (v× hai vÕ d−¬ng) 
⇔ (2 + log57)x < 3log57 + 1. 
⇔ x < 5
5
1 3log 7
.
2 log 7
+
+ 
b) (11) ⇔ 5 54 1 4 3 3(x 1) log log x 15 2 5 4 2
 − + > −   − 
⇔ 5 54 3 1 4 5x log log5 4 2 5 2
 − > −   
 3
⇔ x < 5
5
4
log 5
5 .
4 3
2 log
5 4
  −  
   −    
VÝ dô 7. T×m a ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau nghiÖm ®óng víi mäi x, 
x x 29 2(2a 1)3 4a 3 0+ + + − > . (12) 
§Æt t = 3x, (12) cã d¹ng 
f(t) := t2 + 2(2a + 1)t + 4a2 − 3 > 0. (13) 
Bµi to¸n trë thµnh : t×m a ®Ó (13) ®óng víi mäi t > 0. 
Ta cã f(t) = (t + 2a + 1)2 − 4(a + 1) 
a) a + 1 < 0 (⇔ a < −1), (13) ®óng víi mäi t. 
b) a + 1 ≥ 0, (13) ⇔ (t + 2a + 1 − 2 a 1+ )(t + 2a + 1 + 2 a ) > 0 1+
⇔ t 2a 1 2 a
t 2a 1 2 a
 − − + +
1
1
§Ó (13) ®óng víi mäi t > 0, cÇn vµ ®ñ lµ 
−2a − 1 + 2 a 1 0+ ≤ ⇔ 2 a 1 2a 1+ ≤ + (14) 
⇔ ⇔ 
24(a 1) 4a 4a 1
2a 1 0
 + ≤ + + + ≥ 2
1
a
2
4a 3 0
 ≥ − − ≥
⇔ a ≥ 3 .
2
§¸p sè a ∈ (−∞, −1) ∪ 3 , )
2

.+∞ 
VÝ dô 8. Gi¶i vµ biÖn luËn 
a) a2 − 9x+1 − 8a.3x > 0, (15) 
b) a2 − 2.4x+1 − a.2x+1 > 0. (16) 
a) (15) ⇔ a2 − 8a.3x − 9x+1 > 0 ⇔ x 2 x(a 4.3 ) 25.9 0− − > 
⇔ ⇔ x 2 x(4.3 a) (5.3 )− > 2
.
x x
x x
4.3 a 5.3 (17)
4.3 a 5.3 . (18)
 − > − < −
⇔ (19) 
x
x 2
3 a
3 a+
 < − <
+ Víi a = 0, (19) v« nghiÖm 
+ Víi a < 0 (19) ⇔ 3x < −a ⇔ x < log3(−a) 
 4
+ Víi a > 0 (19) ⇔ 3x+2 < a ⇔ x < log3a − 2. 
b) §Æt t = 2x, (16) cã d¹ng 
2 28t 2at a 0
t 0
 + − 
⇔ ⇔ 
2 2(a t) 9t 0
t 0
 − − > >
(a 4t)(a 2t) 0
t 0
− + > > 
⇔ 
+ Víi a = 0, hÖ v« nghiÖm 
+ Víi a < 0, hÖ t−¬ng ®−¬ng víi t < − a
2
nghÜa lµ (16) nghiÖm ®óng víi mäi x ∈ 2 a, log 2
  −∞ −     
+ Víi a > 0, hÖ t−¬ng ®−¬ng víi 
0 < t < 
a
4
 hay x ∈ (−∞, log2a − 2). 
VÝ dô 9. Víi mçi a (a > 0, a ≠ 1), gi¶i 
2x x 2a a 1+ 1.+ − ≥ (20) 
§Æt t = a > 0. Lóc ®ã (20) cã d¹ng x
2 2t a t 1+ − ≥1 ⇔ (21 
⇔ 
2 4 2 4a a 4 a a 4
t t
2 2
 − − + − + + − −   1.
 ≥ 
⇔ 
2 4
2 2
2 4
o
2 4
2 4
1
2 2
2 4
2
a a 4
0 t
(v« nghiÖm)2
t a t 1 1
a a 4
t t
2
a a 4
t a a 82 t t
2
t a t 1 1
a a 8
t t
2
 − + + < < + − ≤ −  − + + ≥ =  − + +  ≥  − − +⇔   ≤ =  + − ≥   − + +  ≥ =  
V× t2 > to > 0 vµ t1 < 0 nªn 
(21) ⇔ t ≥ t2. Tõ ®ã 
a) NÕu 0 < a < 1 th× (20) ⇔ x ≤ logat2. 
 5
b) NÕu a > 1 th× (20) ⇒ x ≥ logat2. 
VÝ dô 10. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 
x x
x
a 1 a
a 1 1 2a
−
−
+>− − x víi a > 0, a ≠ 1. (22) 
(22) ⇔ 
x x
x x
a 1 a
0
a 1 1 2a
−
−
+− >− − ⇔ 
x x x
x x
a 2 a 1 1 a
0
(a 1)(1 2a )
−
−
− − − + + >− − 
⇔ 
x x
x x
(a 2)a
0
(a 1)(a 2)
− − >− − ⇔ 
x
x x
1 2a
0
(a 1)(a 2)
− >− − . (23) 
§Æt t = ax > 0, (23) cho ta 
1
t
2 0
(t 1)(t 2)
−
<− − ⇔ 
1
0 t
2
1 t 2
 < < < <
 (24) 
a) Víi 0 < a < 1, (24) cho ta 
x
x
1
0 a
2
1 a 2
 < < < <
 ⇔ a
a
x log 2
0 x log 2.
> − > >
b) Víi a > 1 
(24) ⇔ a
a
x log 2
0 x log 2
< − < <
2. BÊt ph−¬ng tr×nh logarit 
C¸c tÝnh chÊt sau ®©y cña logarit hay ®−îc sö dông 
a) ⇔ a alog f(x) log g(x)
a 1
> >
g(x) 0
f(x) g(x)
a 1,
> > >
b)  ⇔ a alog f(x) log g(x)
0 a 1
>
< <
f(x) 0
g(x) f(x)
0 a 1,
> > < <
c) ⇔ f(x)log g(x) 0>
0 f(x) 1
0 g(x) 1
f(x) 1
g(x) 1,
  >
 6
d) lo ⇔ f(x)g g(x) 0<
0 f(x) 1
g(x) 1
f(x) 1
0 g(x) 1

,
 > < <
VÝ dô 1. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 
a) log5(x
2 − x) < 0 (1) 
b) 3
x 1
g 0,
x 2
− >−lo (2) 
Gi¶i. a) (1) ⇔ 0 < x2 − x < 1 ⇔ 
2
x(x 1) 0
x x 1
− >
0− − <
⇔ 
x 0
x 1
1 5 1
x
2 2
  − + < <
5
 ⇔ x ∈ 1 5 1 5,0 1,
2 2
  − +∪    
 
b) (2) ⇔ x 1 1
x 2
− >− ⇔ 
1
x 2− > 0 ⇔ x > 2. 
VÝ dô 2. Gi¶i 
2
1
5
x log (x x 1) 0.+ + > (3) 
(3) ⇔ ⇔ 25x log (x x 1) 0+ + <
⇔ ⇔ 
2
2
x 0
x x 1
x 0
x x 1
 > + + 
1
1
02x x
x 0
 + > <
 ⇔ x < −1. 
VÝ dô 3. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 
a) 1
3
x x 2
3log (3 1). log (3 9) 3
+− − > − (4) 
b) 2 42 27 log x log x 4.− + >
0
 (5) 
Gi¶i. a) §Æt t = log3(3
x − 1). Khi ®ã (4) cã d¹ng 
t( 2 t) 3− − > − ⇔ 2t 2t 3+ − < 
⇔ −3 < t < 1. Do ®ã 
(4) ⇔ ⇔ 3 x3 3 1− < − < 3 x28 3 4
27
< < 
 7
⇔ 3 328log x log 427
  < <   
b) §Æt t = ta nhËn ®−îc bÊt ph−¬ng tr×nh 22log x
7 t 2t 4− + > ⇔ 7 t 4 2t− > − 
⇔ ⇔ 
2
7 t 0
4 2t 0
4 2t 0
7 t 4t 16t 16
 − ≥ − < − ≥ − ≥ − +
2 t 7
3
t 2.
4
< ≤ < ≤
Chó ý. Trong khi gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh logarit, ®«i khi ng−êi ta dïng 
c«ng thøc 
ag(x)log f(x)g(x)f(x) a .= 
VÝ dô 4. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 
2 lg(x 1) lgx2.x 1 (x 1)− ≥ + − . (6) 
(6) ⇔ 2 lg(x 1)lgx lg(x 1)lgx2.10 1 10− −≥ +
§Æt t = 10 , ta cã lg(x 1)lgx−
22t t 1 0
t 0
 − − ≥ >
 ⇔ (2t 1)(t 1) 0
t 0
+ − ≤ >
 ⇔ t ≥ 1. 
Tõ ®ã, (6) ⇔ ⇔ lg(x − 1)lgx ≥ 0 lg(x 1)lgx10 1− ≥
⇔ ⇔ 
lg(x 1) 0
lgx 0
lg(x 1) 0
lgx 0
 − ≥ ≥ − ≤ ≤
x 2 hay x [2, + ).
(v× hÖ sau v« nghiÖm)
≥ ∈ ∞
VÝ dô 5. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau 
a) 2x
4x 5 1
log
| x 2 | 2
−  ≥ −  (7) 
b) 3x xg 2x log (2x ).≤lo (8) 
Gi¶i. a) §iÒu kiÖn cã nghÜa lµ 
2 2x 0, x
4x 5
0
| x 2 |
 > ≠ − > −
1
 ⇔ x > 5
4
, x ≠ 2. 
(7) ⇔ 
5
x ,x
4
4x 5
x
| x 2 |
 > ≠ − ≥ −
2
 ⇔ 
5
x , x 2
4
4x 5 x | x 2 |
 > ≠ − ≥ −
 (9) 
 8
(9) ⇔ 
x 2
4x 5 x(x 2)
5
x 2
4
4x 5 x(x 2)
 > − ≥ − < < − ≥ − −
 ⇔ 
2
2
x 2
x 6x 5
5
x 2
4
x 2x 5
 >
0
0
− + ≤ < < + − ≥
⇔ 2 x 5
6 1 x 2.
< ≤ − ≤ <
 ⇔ x ∈ (2, 5] [ 6 1, 2).∪ − 
b) §iÒu kiÖn x ≠ 1, x > 0. §Æt t = logx2, (8) cã d¹ng t + 1 ≤ t 3+ ⇔ 
 ⇔ 
2
t 1 0
t 3 0
t 1 0
(t 1) t 3
 + < + ≥ + ≥ + ≤ +
3 t 1
1 t 1
− ≤ < −− ≤ ≤
Tõ ®ã (8) ⇔ −3 ≤ logx2 ≤ 1 ⇔ x
x
x 1
3 log 2 1
0 x 1
3 log 2 1
 > − ≤ ≤ < <− ≤ ≤
⇔ 
3
x 2
1
0 x
2
≥ < ≤
 ⇔ x ∈ 3 10, [2, ).
2
  ∪ +∞  
VÝ dô 6. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 
2 2 2 3
5 11
2
log (x 4x 11) log (x 4x 11)
0.
2 5x 3x
− − − − − ≥− − (10) 
§iÒu kiÖn ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2 − 
2
2
x 4x 11
2 5x 3x 0
 − − > − − ≠
0
15 ) ∪ (2 + 
15 , +∞) = D 
Víi x ∈ D, 
2
2 5
11
5
3log (x 4x 11)
log (x 4x 11) .
log 11
− −− − = 
Do ®ã, trªn D 
(10) ⇒ 
2
5
2
5
log (x 4x 11)3
2
log 11 2 5x 3x
− − −  − − 
 (11) 
⇔ 
2
5
2
log (x 4x 11)
0
2 5x 3x
− − ≤− − (v× 2 − 5
3
0
log 11
< ) 
 9
⇔ ⇔ 
2
5
2
2
5
2
log (x 4x 11) 0
2 5x 3x 0
log (x 4x 11) 0
2 5x 3x 0
 − − ≥ − − 
2
2
2
2
x 4x 11 1
3x 5x 2 0
x 4x 11 1
3x 5x 2 0
 − − ≥ + − > − − ≤ + − <
⇔ 
x ( , 2) [6, )
1
x 2,
3
∈ −∞ − ∪ +∞   ∈ −   
⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2 − 15 ) ∪ [6, +∞). 
VÝ dô 7. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh 
a) (12) x 1 x 1log (x 1) log xx (x 1)+ +− + − ≤ 2.
Gi¶i : §iÒu kiÖn 
x 0
x 1 0
x 1 0
x 1 1
> − > + > + ≠
 ⇔ x > 1. 
§Æt x t . Khi ®ã x 1log (x 1)+ − =
t > 0, x = 
1
log (x 1)x 1
x 1 x 1
x 1
1
t , log x log t
log (x 1)
−+ + ++
= − 
hay ⇔ t = x 1 x 1log x log t+ = − x 1log x(x 1) +− . Tõ ®ã (12) cã d¹ng 2t ≤ 2 
⇔ t ≤ 1 hay 
x 1log (x 1)x 1+ − ≤ ⇔ x 1log (x 1) 0+ − ≤ (v× x > 1) 
⇔ x − 1 ≤ 1 ⇔ x ≤ 2. 
KÕt luËn 1 < x ≤ 2. 
VÝ dô 8. Gi¶i loga(x − a) > 1
a
log (x 1),+ (13) 
ë ®©y 0 < a ≠ 1. 
Gi¶i. §iÒu kiÖn x > a. Khi ®ã 
(13) ⇔ ⇔ a alog (x a) log (x a)− > − + 2 2alog (x a ) 0− > . (14) 
a) a > 1, khi ®ã (14) ⇔ 
2 2x a
x a
 1− > >
 ⇔ x > 21 a+ 
b) 0 < a < 1, lóc ®ã (14) ⇔ 
2 2x a
x a
 1− 
 ⇔ a < x < 21 a+ . 
 10
§¸p sè : x ∈ 2( 1 a , )+ +∞ víi a > 1 
x ∈ 2(a, 1 a )+ víi 0 < a < 1. 
VÝ dô 9. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 
2
a a
a
log x log x 2
1
log x 2
+ + >− ; 0 < a ≠ 1. (15) 
§iÒu kiÖn x > 0, logax − 2 ≠ 0 hay 
0 < x ≠ a2. 
§Æt t = . Khi ®ã (15) cã d¹ng alog x
2t t 2
1
t 2
+ + >− ⇔ 
2t 4
0
t 2
+ >− ⇔ t > 2 
Trë l¹i biÕn cò 
t > 2 ⇔ ⇔ alog x 2>
2
2
x a
a 1
0 x a
0 a 1.
 > > < < < <
KÕt luËn 
2
2
x (a , ) khi a 1
x (0, a ) khi 0 a 1
 ∈ +∞ > ∈ < .<
 11