Rèn kĩ năng giải các dạng bài tập về bất đẳng thức cho học sinh đại trà trong môn đại số 8

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN THẾ
 TRƯỜNG THCS HOÀNG HOA THÁM
 BÁO CÁO BIỆN PHÁP THAM GIA HỘI THI
 GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP HUYỆN CHU KỲ 2022-2024
Tên biện pháp: “Rèn kĩ năng giải các dạng bài tập về bất 
 đẳng thức cho học sinh đại trà trong môn đại số 8”
 Họ và tên: Nguyễn Kiều Thương
 Môn giảng dạy: Toán - Tin
 Trình độ chuyên môn: Đại học
 Chức vụ: Giáo viên 
 Đơn vị công tác: Trường THCS Hoàng Hoa Thám 
 Yên Thế, ngày 22 tháng 04 năm 2023
 1
 Tân Hưng, ngày 05 tháng 10 năm 2022 PHẦN A. ĐẶT VẤN ĐỀ
 Trong chương trình giáo dục phổ thông 2018, môn toán là môn học bắt buộc từ lớp 
1 đến lớp 12. Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống; những kiến 
thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế 
cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác. 
 Nội dung môn toán thường mang tính logic, trừu tượng, khái quát. Do đó để hiểu và 
học được toán, cần đảm bảo sự cân đối giữa học và vận dụng. Nội dung môn toán 
trong chương trình của cấp THCS thuộc giai đoạn giáo dục cơ bản, giúp học sinh 
hiểu được một cách có hệ thống những khái niệm, nguyên lý, quy tắc toán học cần 
thiết nhất cho tất cả mọi người, làm nền tảng cho việc học tập ở các trình độ tiếp theo 
hoặc có thể sử dụng trong cuộc sống hàng ngày.
 Ở cấp THCS, học sinh được làm quen với bộ môn đại số từ kì II của lớp 7, tuy 
nhiên phần kiến thức các em được học chỉ dừng lại ở mức làm quen nên khá đơn giản 
và dễ hiểu. Chính vì vậy, khi bắt đầu tìm hiểu sâu hơn về đại số ở chương trình lớp 8, 
nhiều em đã không theo kịp và gặp rất nhiều khó khăn khi học tiếp các kiến thức sau 
này. Dần dần, các em bị mất gốc dẫn đến sợ học toán, kết quả học tập theo đó mà 
giảm sút. 
 Trong những năm được phân công dạy bộ môn toán 8, tôi nhận thấy kĩ năng biến 
đổi các bất đẳng thức là kĩ năng quan trọng và cần thiết cho học sinh khi học môn đại 
số. Kĩ năng này xuất hiện ở rất nhiều dạng bài tập như chứng minh bất đẳng thức, so 
sánh, giải bất phương trình, tìm điều kiện xác định của căn thức. Tuy vậy, bản thân 
tôi chưa thực sự tìm ra cách rèn cho học sinh kĩ năng quan trọng này. Khi dạy học 
sinh, tôi thường dạy theo kiến thức từng bài trong sách giáo khoa, cho các em làm bài 
tập luyện tập theo từng bài. Khi thực hiện các bài tập theo phương pháp đã biết trước 
thì các em có thể thực hiện được, tuy nhiên khi đưa ra một bài tập bất kì thì các em 
không biết lựa chọn phương pháp áp dụng phù hợp. Chính vì vậy mà các em không 
làm được hoặc làm sai các bài tập có liên quan đến chứng minh bất đẳng thức, kết 
quả các bài kiểm tra và bài thi không cao. 
 Việc nâng cao chất lượng đại trà cũng là vấn đề quan trọng ảnh hưởng đến chất 
lượng giáo dục chung của nhà trường. Vì vậy, giáo viên phụ trách dạy đại trà căn cứ 
vào tình hình và mức nhận thức của học sinh để tìm ra chỉ dẫn cho học sinh các dạng 
bài và phương pháp giải để các em có thể chủ động lựa chọn phương pháp một việc 
làm quan trọng. Bản thân tôi trước đây cũng gặp khó khăn khi rèn cho học sinh kĩ 
 2 năng này. Vì không hướng dẫn được học sinh cách tư duy nên hầu hết các em có lực 
học trung bình khá và trung bình đều bỏ qua hoặc làm sai các câu có liên quan đến kĩ 
năng đó. 
 Xuất phát từ thực tế trên tôi nhận thấy việc rèn cho học sinh đại trà kĩ năng vận 
dụng các quy tắc biến đổi bất đẳng thức vào bài tập là vô cùng quan trọng. Vì vậy tôi 
chọn giải pháp “Rèn kĩ năng giải các dạng bài tập về bất đẳng thức cho học sinh 
đại trà trong môn đại số 8” 
 PHẦN B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Thực trạng công tác dạy và học môn toán ở trường THCS Hoàng Hoa Thám.
 1. Ưu điểm 
 - Trường THCS Hoàng Hoa Thám là một trường có truyền thống dạy và học tốt 
trong huyện và môn toán là một môn thế mạnh. Điều đó được thể hiện qua kết quả 
của các kì khảo sát, kết quả ôn thi vào lớp 10 hàng năm.
 -Cơ sở vật chất hiện đại, ngày càng được đầu tư hoàn thiện hơn, thuận lợi cho việc 
ứng dụng CNTT vào dạy học.
 -Tổ chuyên môn thường xuyên tổ chức sinh hoạt chuyên đề nhằm đổi mới phương 
pháp và kỹ thuật dạy học.
 - Phụ huynh và học sinh nhận thức rõ tầm quan trọng của môn toán, do vậy môn học 
này được chú trọng ngay từ những năm các em mới vào học lớp 6.
 - Môn toán cũng là một môn học mà nhiều học sinh yêu thích, có nhiều ứng dụng 
trong đời sống và trong các môn khoa học khác. Nhiều em có ý thức học tập tốt, tích 
cực chủ động tham gia các hoạt động học tập nhằm tìm hiểu, khám phá và chiếm lĩnh 
kiến thức mới.
2. Hạn chế và nguyên nhân hạn chế.
 2.1. Giáo viên
 * Hạn chế
 - Khi nhận phân công giảng dạy môn toán hai lớp 8A3, 8A6 năm học 2022 -2023, 
bản thân tôi vô cùng băn khoăn, lo lắng vì bản thân tôi không giảng dạy các em từ 
lớp 6, chưa hiểu rõ năng lực cũng như đặc điểm tâm lý của học sinh. 
 - Bản thân tôi còn mơ hồ, chưa tổng hợp lại được các dạng bài và phương pháp để 
học sinh dễ hiểu bài và dễ dàng áp dụng vào bài tập.
 * Nguyên nhân của những hạn chế trên
 - Bản thân tôi chưa tìm được phương pháp hiệu quả để rèn kĩ năng cho học sinh .
 3 2.2 . Học sinh
 *Hạn chế
 - Ý thức tự giác, chủ động trong học tập không cao, học sinh lười học kiến thức lý 
thuyết, tiếp thu một cách thụ động chưa phát huy được khả năng tư duy, sáng tạo.
 - Nhiều học sinh không xác định được mục tiêu học tập, thiếu sự cố gắng vươn lên.
* Nguyên nhân của những hạn chế trên
 - Trong các năm học trước các em phải học trực tiếp kết hợp với trực tuyến do dịch 
Covid -19 xảy ra. Khi học trực tuyến các em được sử dụng các thiết bị có kết nối 
mạng nên nhiều em sa vào các trò chơi điện tử, làm mất dần tính tự giác trong học 
tập. 
 - Nhiều em bị hổng kiến thức, không có kiến thức nền tảng để tiếp thu kiến thức mới
 Từ những khó khăn của học sinh trong quá trình học tập, giải pháp này có thể là 
một giải pháp hữu ích tháo gỡ một phần những khó khăn đối với việc rèn kĩ năng 
cho học sinh đại trà, đặc biệt là đối tượng học sinh trung bình và yếu. Giải pháp của 
bản thân tôi sẽ cung cấp phương pháp rèn kĩ năng cùng bài tập minh họa dễ hiểu, 
thiết thực sẽ giúp các em học sinh lớp 8 tự tin và đạt kết quả cao khi làm bài thi. 
II. Biện pháp rèn kĩ năng giải các dạng bài tập về bất đẳng thức cho học sinh đại 
trà trong môn đại số 8:
1. Biện pháp 1. Củng cố kiến thức lý thuyết liên quan:
 Để làm được các dạng bài tập về chứng minh bất đẳng thức trong phạm vi kiến thức 
đại trà, học sinh cần nắm vững các tính chất về liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, liên 
hệ giữa thứ tự và phép nhân, tính chất bắc cầu. 
 Khi dạy các nội dung lý thuyết này, tôi thường yêu cầu học sinh phát biểu bằng lời 
rồi viết ra công thức tương ứng và nhìn vào công thức có thể phát biểu bằng lời tính 
chất đã áp dụng trong đó.
Ví dụ: 
 Khi dạy tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, sau khi đã hình thành xong tính 
chất : “Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng 
thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho” cho các em, tôi yêu cầu các em phát 
 4 biểu tính chất bằng lời và minh họa tính chất đó bằng một trong các bất đẳng thức có 
tính tổng quát như:
Nếu a>b thì a+c>b+c
Nếu a<b thì a+c<b+c
Nếu a b thì a+c b+c
Nếu a b thì a+c b+c
 Tương tự như vậy, khi dạy tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, sau khi đã 
hình thành xong 2 tính chất : “Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng 
một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho” và 
“Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức 
mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho”, tôi yêu cầu các em phát biểu tính chất 
bằng lời và minh họa tính chất đó bằng hai trong các bất đẳng thức có tính tổng quát 
như:
Nếu a>b thì ac>bc (với c>0)
Nếu a 0)
Nếu a b thì ac bc (với c>0)
Nếu a b thì ac bc (với c>0)
Nếu a>b thì ac<bc (với c<0)
Nếu a bc (với c<0)
Nếu a b thì ac bc (với c<0)
Nếu a b thì ac bc (với c<0)
 Sau khi học sinh đã chuyển được các tính chất từ dạng phát biểu bằng lời sang công 
thức tổng quát, tôi cho học sinh phát biểu ngược lại bằng cách viết ra một công thức 
tổng quát bất kì nào đó và học sinh phát biểu bằng lời tính chất tương ứng thể hiện 
thông qua công thức đó.
 Ví dụ như, từ công thức “Nếu a b thì ac bc (với c<0)” học sinh sẽ phát biểu được 
tính chất: “Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất 
 5 đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho” hoặc từ công thức “Nếu a b 
thì a+c b+c” học sinh sẽ phát biểu được tính chất “Khi cộng cùng một số vào cả hai 
vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã 
cho”.
 Ngoài các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân thì các em còn cần 
nắm vững tính chất bắc cầu. Tính chất này các em đã được làm quen ở những lớp 
dưới nên việc tiếp nhận không gặp nhiều khó khăn. 
 Nhờ sự vững vàng trong quá trình học lý thuyết các em sẽ có những bước biến đổi 
chắc chắn và làm chủ tư duy, kĩ năng của mình.
2. Biện pháp 2. Tổng hợp các dạng bài toán thường gặp và phương pháp giải cho 
từng dạng 
Dạng 1. Dạng bài so sánh hoặc chứng minh chỉ sử dụng tính chất liên hệ giữa 
thứ tự và phép cộng
Ví dụ 1: Cho a>b. So sánh: a-5 và b-5
Lời giải:
Ta có: a>b => a-5 >b-5 (cộng hai vế với cùng một số là -5)
Vậy a-5 >b-5 với a>b
 Dạng bài tập này với đa số học sinh là dễ hiểu và dễ áp dụng, các em chỉ cần vận 
dụng trực tiếp tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng là có thể làm được ngay mà 
không gặp khó khăn. Giáo viên chỉ cần lưu ý học sinh: khi trừ hai vế của bất đẳng 
thức cho cùng một số thì tính chất vẫn đúng vì trừ đi một số chính là cộng với số đối 
của số đó.
Ví dụ 2: Cho a-3<b-3. So sánh a và b.
Lời giải:
Ta có: a-3<b-3 
=> a-3+3<b-3 +3(cộng hai vế với cùng một số là 3)
=>a<b
 6 Vậy a<b với a-3<b-3
 Ở ví dụ này, cần nhấn mạnh cho học sinh mục đích của số cộng thêm và cách chọn 
ra số cộng thêm vào hai vế cho phù hợp, tránh việc học sinh không hiểu dẫn đến chọn 
sai số cần cộng thêm.
Dạng 2. Dạng bài so sánh hoặc chứng minh chỉ sử dụng tính chất liên hệ giữa 
thứ tự và phép nhân
Ví dụ 1. 
a) Cho a<b. So sánh 2a và 2b.
b) Cho a<b. So sánh -2a và -2b.
c) Cho 2a<2b. So sánh a và b.
d) Cho -2a>-2b. So sánh a và b.
Lời giải:
a) Ta có: a<b 
=> 2a<2b(Nhân hai vế với cùng 1 số là 2)
Vậy 2a<2b với a<b
b) Ta có: a<b 
=> -2a>-2b(Nhân hai vế với cùng 1 số là -2)
Vậy -2a>-2b với a<b
c) Ta có: 2a<2b
 1 1 1
=> .2a .2b (Nhân hai vế với cùng 1 số là ) 
 2 2 2
=> a < b
Vậy 2a<2b với a < b
d) Ta có: -2a>-2b
 1 1 1
=> .( 2a) .( 2b) (Nhân hai vế với cùng 1 số là ) 
 2 2 2
=> a < b
 7 Vậy a -2b
 Ở ví dụ cho dạng bài này, giáo viên nhấn mạnh việc nhân hai vế với cùng một số âm 
cần lưu ý đổi chiều bất đẳng thức. Đây là lỗi sai điển hình mà các em mắc phải khi 
chứng minh bất đẳng thức và giải bất phương trình sau này. Để đơn giản và dễ hiểu 
cho học sinh, có thể hướng dẫn học sinh chia hai vế cho cùng một số (khác 0) vì phép 
chia cho một số chính là phép nhân với nghịch đảo của số đó. 
 Cụ thể, ở ví dụ 1 phần c có thể hướng dẫn học sinh trình bày như sau :
Ta có: 2a<2b
 2a 2b
=> (Chia hai vế cho cùng 1 số là 2) 
 2 2
=> a < b
Vậy 2a<2b với a < b
 Trong quá trình dạy học tôi thấy việc hướng dẫn học sinh trình bày theo cách này 
học sinh bớt lúng túng hơn khi làm bài. Đặc biệt cần lưu ý các em cần tuân thủ theo 
đúng tính chất khi chia hai vế cho cùng một số dương hoặc cùng một số âm.
Dạng 3. Dạng bài so sánh hoặc chứng minh sử dụng phối hợp cả tính chất liên 
hệ giữa thứ tự và phép cộng với tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân.
Dạng 3.1. Từ bất đăng thức đơn giản, so sánh và chứng minh các bất đẳng thức 
phức tạp hơn.
Ví dụ 1: 
a) Cho a b , hãy so sánh 5a 2016 và 5b 2016 .
b) Cho a b , chứng minh: 2016 4a < 2016 4b.
Lời giải:
a) Ta có: a b 5a 5b
 5a 2016 5b 2016
Vậy 5a 2016 5b 2016 với a b
 b) Ta có: a>b 
 8 4a 4b
 2016 4a 2016 4b
Vậy 2016 4a 2016 4b với a>b
 Với dạng bài tập này, ngoài những lưu ý trong dạng bài tập 1 và 2 thì cần lưu ý 
thêm học sinh áp dụng tính chất nhân hai vế với cùng một số (khác 0) để làm xuất 
hiện tích trước rồi áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép cộng sau. Đến dạng 
bài này, rất nhiều học sinh đã bị lúng túng nên giáo viên cần nhấn mạnh và yêu cầu 
học sinh nhắc lại để các em ghi nhớ khi làm bài.
Dạng 3.2. Từ bất đăng thức phức tạp, so sánh và chứng minh các bất đẳng thức 
đơn giản hoặc một bất đẳng thức phức tạp khác.
Ví dụ 2. 
a) Cho5a 2016 5b 2016 , hãy so sánh a b
b) Cho 5a 2016 5b 2016 , chứng minh: 4 2a 4 2b
Lời giải:
a) Ta có: 5a 2016 5b 2016
 5a 2016 2016 5b 2016 2016
 5a 5b
 5a 5b
 5 5
 a b
Vậy a b với 5a 2016 5b 2016
 b) Ta có: 5a 2016 5b 2016
 5a 2016 2016 5b 2016 2016
 5a 5b
 5a 5b
 5 5
 a b
 9 2a 2b
 4 2a 4 2b
Vậy 4 2a 4 2bvới 5a 2016 5b 2016
 Với dạng bài tập này, cần lưu ý học sinh áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự với 
phép cộng trước, sau đó áp dụng tính chất nhân hai vế với cùng một số (khác 0) để 
sau và nhấn mạnh mục đích của từng bước làm.
Dạng 4. Dạng bài so sánh hoặc chứng minh chỉ sử dụng phối hợp cả tính chất 
liên hệ giữa thứ tự và phép cộng với tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân 
và tính chất bắc cầu
Ví dụ:
Cho a b , hãy so sánh 2016 4a và 2017 4b.
Lời giải:
Ta có: a b
 4a 4b
 2016 4a 2016 4b mà 2016 4b 2017 4b nên 2016 4a 2017 4b
Vậy 2016 4a 2017 4b với a b
 Với dạng toán này, đa số học sinh đại trà đều gặp khó khăn do nhầm lẫn cách làm 
với dạng 3.1. Vì vậy giáo viên cần lưu ý học sinh quan sát biểu thức cần so sánh 
trước khi làm để lựa chọn đúng phương pháp. Một vấn đề lớn trong dạng này là tìm 
biểu thức trung gian. Sau khi các em thực hiện so sánh để xuất hiện biểu thức tương 
tự dạng 3.1 thì cần quan sát lại biểu thức đầu bài yêu cầu so sánh, chứng minh để tìm 
đúng biểu thức trung gian. 
3. Biện pháp 3. Rèn kĩ năng thông qua các dạng bài tập vận dụng
 Ngoài việc cung cấp đầy đủ cho học sinh kiến thức lý thuyết, giáo viên cần hệ 
thống các dạng bài tập liên quan để học sinh tự rèn kĩ năng chứng minh bất đẳng thức 
của mình. Dưới đây là một số dạng bài tập tôi đã sử dụng để rèn kĩ năng cho học sinh 
của tôi:
 10 Trước tiên, tôi cung cấp cho học sinh dạng bài tập rèn kĩ năng với từng dạng bài cụ 
thể. Ví dụ như:
*Dạng 1. Dạng bài so sánh hoặc chứng minh chỉ sử dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự 
và phép cộng
Bài tập: 
a) Cho a>b. So sánh: a+7 và b+7
b) Cho a+ 3<b+3. So sánh a và b.
c) Cho a 5 b 5 . So sánh a 5 và b 5
d) c Cho a 15 b 15 . So sánh a 3 và b 3
*Dạng 2. Dạng bài so sánh hoặc chứng minh chỉ sử dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự 
và phép nhân
Bài tập:
a) Cho a<b. So sánh 2a và 2b.
b) Cho a<b. So sánh -2a và -2b.
c) Cho 2a<2b. So sánh a và b.
d) Cho -2a>-2b. So sánh a và b.
*Dạng 3. Dạng bài so sánh hoặc chứng minh sử dụng phối hợp cả tính chất liên hệ 
giữa thứ tự và phép cộng với tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân.
-Dạng 3.1. Từ bất đẳng thức đơn giản, so sánh và chứng minh các bất đẳng thức phức 
tạp hơn.
Bài tập:
a) Cho a b , hãy so sánh 59a 213 và 59b 213.
b) Cho a b , chứng minh: 206 7a < 206 7b.
- Dạng 3.2. Từ bất đăng thức phức tạp, so sánh và chứng minh các bất đẳng thức đơn 
giản hoặc một bất đẳng thức phức tạp khác.
Bài tập:
 11 a) Cho 5a 206 5b 206 , hãy so sánh a và b
b) Cho 2022a 2023 2022b 2023, chứng minh: 4 2a 4 2b
*Dạng 4. Dạng bài so sánh hoặc chứng minh chỉ sử dụng phối hợp cả tính chất liên 
hệ giữa thứ tự và phép cộng với tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân và tính 
chất bắc cầu.
Bài tập:
a) Cho a b , hãy so sánh 2016 4a và 2017 4b.
b) Cho a b , hãy chứng minh: 2022a 2023 2022b 2024 
c) Cho a b , hãy chứng minh: 2022a 2023 2022b 2023 
 Sau khi học sinh có kĩ năng vận dụng thành thạo từng dạng bài, tôi cung cấp cho 
học sinh bài tập tổng hợp để các em tự tìm phương pháp làm phù hợp. 
Bài tập:
a) Cho a b , hãy so sánh: 12 a và 12 b .
b) Cho a b , hãy so sánh: 5a 2016 và 5b 2016 .
c) Cho a 4 b 4 , hãy so sánh: a 2016 và b 2016 .
d) Cho a 3 b 3 , hãy so sánh: 5a 29 và 5b 29 .
e) Cho a b , hãy so sánh: 15a 201 và 15b 200 .
f) Cho a b , hãy so sánh: 3a 2 và 3b 2.
g) Cho 2a 3 2b 3 , hãy so sánh: 52a 209 và 52b 209 .
Biện pháp 4. Kiểm tra mức độ vận dụng của học sinh:
 Sau khi đã thực hiện các bước ở trên, tôi cho học sinh rèn kĩ năng thông qua bài 
kiểm tra có đầy đủ các dạng bài để biết các em có nắm được nội dung kiến thức hay 
không, có khả năng nhận biết và áp dụng phù hợp hay chưa. Dưới đây là một đề kiểm 
tra tôi dùng để kiểm tra kĩ năng của học sinh
Đề bài:
a) Cho a b , hãy so sánh: a 5 và b 5 (1đ)
 12 b) Cho a b , hãy so sánh: 6a và 6b (1đ)
c) Cho a b , hãy so sánh: 9a và 9b (1đ)
d) Cho a b , hãy so sánh: 5a 2016 và 5b 2016 (1đ)
e) Cho a 4 b 4 , hãy so sánh: a 2016 và b 2016 (1đ)
f) Cho a 3 b 3 , hãy so sánh: 5a 29 và 5b 29 (1đ)
g) Cho a b , hãy so sánh: 15a 20 và 15b 25 (1đ)
h) Cho a b , hãy so sánh: 7a 4 và 7b 4 (1đ)
i) Cho 5a 13 5b 13, hãy so sánh: 7a 29 và 7b 29 (1đ)
k) Cho 3a 13 3b 13, hãy so sánh: 7a 29 và 7b 45 (1đ)
 Với những học sinh chưa thực hiện được, tôi giảng lại cho các em và giao thêm 
nhiều bài tập tương tự để các em hiểu rõ và áp dụng một cách thành thạo hơn.
PHẦN C. MINH CHỨNG VỀ HIỆU QUẢ CỦA BIỆN PHÁP
 Tổng số học Tổng số học sinh Tỉ lệ học sinh 
 Thời điểm khảo sát sinh tham gia đạt điểm từ 5 trở đạt điểm từ 5 
 khảo sát lên trở lên
 Trước khi áp dụng gải pháp 39 23 59%
 Sau khi áp dụng giải pháp 72 56 77,8%
 Kết quả đạt được tuy chưa phải là cao nhưng cũng cho thấy giải pháp mà tôi áp 
dụng có hiệu quả.
 Năm học 2012-2023, tôi đã áp dụng giải pháp và đạt hiệu quả. Tôi sẽ tiếp tục áp 
dụng giải pháp này để rèn kĩ năng cho học sinh đại trà. Ngoài ra, tôi nhận thấy giải 
pháp này có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên khi dạy đối tượng 
học sinh đại trà. Tôi hi vọng giải pháp sẽ đem đến hiệu quả tốt góp phần nâng cao 
chất lượng giáo dục của trường THCS Hoàng Hoa Thám nói riêng và chất lượng 
giáo dục của huyện Yên Thế nói chung.
 13 PHẦN D. CAM KẾT
 Tôi cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền; các biện pháp đã triển khai 
thực hiện và minh chứng về sự tiến bộ của học sinh là trung thực.
 Phồn Xương, ngày 22 tháng 4 năm 2023
 GIÁO VIÊN
 (ký và ghi rõ họ tên)
 Nguyễn Kiều Thương
PHẦN E. ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT CỦA NHÀ TRƯỜNG
1. Đánh giá, nhận xét của tổ/ nhóm chuyên môn
 . 
 TỔ/NHÓM TRƯỞNG CHUYÊN MÔN
 (ký và ghi rõ họ tên)
2. Đánh giá, nhận xét, xác nhận của Hiệu trưởng
 . 
 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
 (ký và đóng dấu)
 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa toán 8-tập 2(Tổng chủ biên: Phan Đức Chính) 
2. Sách bài tập toán 8-tập 2(Chủ biên: Tôn Thân)
3. Đề thi cuối kì các năm học 
 15