Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán trung học phổ thông

PHẦN 2;THUYẾT MINH VÀ TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Tên đề tài:
Một số kinh nghiệm trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán trung học phổ thông
1.Đặt vấn đề:
Bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhiệm vụ trọng tâm của mỗi nhà trường và của nghành giáo dục mỗi địa phương.Đối với mỗi giáo viên,việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi là một trách nhiệm vẻ vang,một việc làm thường xuyên liên tục trong cả thời gian công tác;nhưng đây cũng là một nhiệm vụ không hề dễ dàng.Việc nhìn lại ,đúc rút ,tổng kết các kinh nghiệm sau một quá trình công tác là điều rất cần thiết.Với quan niệm,viết cũng là học; tôi mạnh dạn viết tài liệu này nhằm tự bồi dưỡng nâng cao trình độ chuyên môn và cũng để mong nhận được những lời khuyên ,sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo dạy giỏi đi trước.Tài liệu này tổng kết những kinh nghiệm của tôi trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh,thành phố.
2.Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu:
Các kinh nghiệm trong dạy học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi môn toán lớp 12 tỉnh Thái Bình.
3.Đối tượng ,phạm vi phương pháp ,kỹ thuật tài liệu sẽ sử dụng
3.1 Đối tượng nghiên cứu:
Các đề thi học sinh giỏi là sự kết tinh trí tuệ của một tập thể các nhà giáo giỏi có uy tín chuyên môn cao trong tỉnh.Nghiên cứu nghiêm túc các đề thi học sinh giỏi qua các năm học,kết hợp thực tế dạy học ở trong nhà trường sẽ giúp chúng ta rút ra nhiều kinh nghiệm quí báu.
3.2 Phạm vi và giới hạn nghiên cứu:
Ở đây chỉ giới hạn trong bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh và nghiên cứu các đề thi học sinh giỏi lớp 12 của tỉnh Thái Bình từ năm 2000 đến nay.
3.3 Phương pháp ,kỹ thuật ,tài liệu sẽ sử dụng:
Không có định hướng dẫn đường của các lí luận phương pháp giáo dục thì chắc chắn không thể có thành công trong công tác dạy hoc.Tuy nhiên ở tài liệu này,xin cho phép tôi không trình bày dài về các nội dung lí luận,mà trực tiếp thông qua các bài toán minh họa để làm nổi lên các vấn đề lí luận muốn nói.
3.4 Cơ sở lý luận,thực tiễn:
-Các kiến thức về đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa các hoạt động của học sinh;kiến thức về phương pháp dạy học bộ môn toán.
-Những hiểu biết về hoạt động bồi dưỡng học sinh giỏi trong nhà trường phổ thông nơi tôi công tác.
4.Nội dung đề tài
CHƯƠNG I: MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG DẠY HỌC SINH GIỎI 
Kinh nghiệm 1: Dạy học sinh nắm vững kiến thức cơ bản
Xin điểm qua một số ví dụ sau:
Ví dụ 1(Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2000-2001)
Chứng minh rằng 
Sai lầm cơ bản mà học sinh hay mắc phải ở đây là :
khi xét hàm số .Các em chỉ ra hàm số đồng biến trên tập đang xét ;từ đó suy ra với x>0 thì f(x)>f(0).Điều này là không đúng vì số 0 không thuộc tập hợp đang xét.
Lời giải đúng chỉ cần sửa lại xét hàm số f(x) như trên với .
Năm học 2000-2001 đã có nhiều em học sinh giỏi bị mất điểm ở câu này.
Nhiều sách tham khảo cũng mắc sai lầm tương tự.
Ví dụ 2(Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2004-2005)
Giải hệ phương trình:
Sai lầm cơ bản ở đây là:các em học sinh cho rằng vai trò của x,y,z là bình đẳng vì vậy có thể giả sử .
Thực ra ở đây vai trò của x,y,z không bình đẳng .Như vậy phải xét ba trường hợp:
TH1:x<y
TH2:x>y
TH3:x=y
Một sai lầm mà người giáo viên dễ mắc phải khi dạy học sinh giỏi là nóng vội,chỉ muốn dạy cho các em học sinh những bài tập khó có tính chất mẹo mực.Điều cần làm là phải dạy các em nắm vững những kiến thức cơ bản,thành thạo những dạng bài tập điển hình trước khi chuyển sang những bài toán có cách giải “mẹo mực,đơn lẻ”. 
Kinh nghiệm 2:Khuyến khích học sinh tích cực tìm tòi nhiều lời giải cho một bài toán
Không bằng lòng với một lời giải trong đáp án biểu điểm của kì thi,tích cực suy nghĩ tìm tòi thêm lời giải khác đó cũng là một phẩm chất đáng quí cần được rèn luyện ,cần được giáo viên khích lệ.Xin minh họa qua một số ví dụ sau:
Ví dụ 1(Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2007-2008)
Biết rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt.Chứng minh rằng:
 Lời giải 1(Đáp án chính thức của kì thi):Xét hàm số bậc ba f(x)=
Dựa vào điều kiện hàm số có cực đại cực tiểu,và giá trị cực đại cực tiểu trái dấu nhau.Từ đó dẫn ra được điều phải chứng minh.
 Lời giải 2 giả sử ba nghiệm phân biệt là m,n,p.Áp dụng định lý Viet cho phương trình ta có
m+n+p=-1 ; mn+np+pm=a và mnp=-b.
Như vậy điều cần chứng minh trở thành:(mn+np+pm)2+3mnp>0 .Đồng bậc hóa ,ta sẽ chứng minh:
:(mn+np+pm)2-3mnp(m+n+p)>0.Hay (mn-np)2+(np-pm)2+(pm-mn)2>0(Điều này luôn đúng vì 3 nghiệm phân biệt).
Cả hai cách trên đều là những cách làm điển hình giúp giải quyết khá nhiều bài toán.
Ví dụ 2(Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2010-2011)
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ sau có nghiệm (x; y) thoả mãn x ≥ -1:
Lời giải 1: (Đáp án chính thức của kì thi):
Lời giải 2:Với suy nghĩ chuyển về một ẩn chúng ta đặt y=k x( x=0 không thỏa mãn bpt (1)).Điều kiện .Phương trình (2)trở thành .Xét hàm số và hàm số g(x)=( ).Dễ dàng suy ra .
Ví dụ 3(Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2009-2010)
 Cho tứ diện ABCD có ABa , ACb , ADc và . 
 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo .
 Lời giải 1: (Đáp án chính thức của kì thi) 
Không giảm tính tổng quát, giả sử (cũng có thể giả sử ) . Khi đó trên các cạnh AC , AD lần lượt lấy các điểm E và F saocho AE = AF = a. Ta nhận được tứ diện ABEF là tứ diện đều cạnh a.
Tính được thể khối tích tứ diện đều ABEF là 
Ta có :
 Lời giải 2:Sử dụng phương pháp “xoay hình”.Ta coi ABC là đáy;D là đỉnh.Dễ dàng tính được diên tích của đáy là diện tích tâm giác ABC.Xác định đường cao kẻ từ D.Từ đó suy ra V.
Nhận xét cách 2 tuy dài hơn lời giải trong đáp án chính thức nhưng giúp học sinh rèn luyện óc tưởng tượng không gian; và học sinh sẽ dễ dàng làm được bài toán tương tự sau:
Cho tứ diện ABCD có ABa , AC2a , AD3a và . 
 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo .(Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2010-2011)
Kinh nghiệm 3:Thiết kế “chuỗi bài toán”
Trước hết xin quan sát một số ví dụ sau:
Ví dụ 1
Bài 1 (Đề dự bị đại học năm 2004)
Trong hệ trục Oxy cho đường tròn (C) x2+y2=9.Tìm điểm M trên đường thẳng y=5 để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (C) và hai đường thẳng đó tạo thành góc 45o.
Bài 2 (Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2006-2007)
Trong hệ trục Oxy cho đường tròn (C) x2+y2=9.Tìm m để trên đường thẳng y=m có đúng 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được đúng hai đường thẳng tiếp tuyến đến (C) ;và mỗi cặp tiếp tuyến ấy tạo thành góc 45o.
Bài 3(Tự sáng tác)
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu x2+y2+z2=9 tâm I.Từ mỗi điểm M kẻ các đường thẳng tiếp tuyến đến mặt cầu sẽ tạo thành mặt nón tròn xoay trục là đường thẳng MI.Tìm m để trên đường thẳng
(d) có đúng 2 điểm M sao cho từ mỗi điểm đó tạo được mặt nón có góc ở đỉnh bằng 45o.
Ví dụ 2
Bài 1 Cho a,b,c dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của tích abc.
Bài 2 Cho a,b,c ,d dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của tích abcd.
Bài 3 Cho a1,a2 ,an dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của tích a1a2 an
Bài 4(Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2010-2011.Dự tuyển 30/4 năm 2009)
Bài 5(Báo toán học và tuổi trẻ tháng 11 năm 2006) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P=xyz biết rằng 
Ví dụ 3
Bài 1:Oxy Lập phương trình phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng x+y-3=0 và 7x-y+4=0
Bài 2:Oxy Lập phương trình phân giác trong của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng x+y-3=0 và 7x-y+4=0
Bài 3(Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2002-2003):Oxy Lập phương trình phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng x+y-3=0 và 7x-y+4=0 có chứa điểm M(-1;5)
Bài 4 Trong Oxyz Lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
Qua các ví dụ trên các bạn có thể thấy các thao tác như:
Thay đổi cách phát biểu để từ một bài toán đơn giản thành một bài toán thi HSG(ví dụ 1)
Tổng quát bài toán từ 3 số thành n số.(Ví dụ 2).
Phát triển bài toán bằng cách làm phức tạp dần các yêu cầu(Ví dụ 3)
Mở rộng bài toán từ mặt phẳng sang không gian.
Việc dạy học theo chuỗi bài toán như trên giúp học sinh:
Tiếp thu kiến thức một cách tự nhiên,hứng thú.
Rèn luyện phát triển tư duy,óc sáng tạo của các em.
Kinh nghiệm 4:Có ý thức sưu tầm các bài toán hay phù hợp thi học sinh giỏi cấp tỉnh
Chúng ta biết rằng các bài toán thi học sinh giỏi đều là những bài toán “có vấn đề” đòi hỏi học sinh phải biết vượt qua ở một mức độ nào đó.Chính vì vậy mà việc sưu tầm những bài toán “hay” là rất quan trọng với người “dạy Toán ” .Việc sưu tầm cũng rất cần khuyến khích các em học sinh giỏi như vậy.
Ở đây tôi xin giới thiệu một số đề toán hay phù hợp thi học sinh giỏi cấp tỉnh:
Bài 1: Tìm hai điểm A, B lần lượt ở trên elip (E) và đường tròn (C): (C): (x – 11)2 + (y – 13)2 = 34. sao cho độ dài AB là nhỏ nhất. 
Bài 2: Giải hệ phương trình: 
Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số thực :
	 	a) 
	b) 
 Bài 4: 
 Cho 4 số dương a1, a2, a3, a4 phân biệt. Chứng minh rằng có thể chọn được ít nhất 2 trong 4 số đó sao cho: 
0 £ < 2 -
Bài 5: 
Xét các hình chóp n – giác S.A1A2...An ( n là số tự nhiên tùy ý lớn hơn 2) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
a/ Đáy A1A2...An có tất cả các cạnh đều bằng 1. 
b/ 
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất độ dài đường cao SH của hình chóp nêu trên
Bài 6 
Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm bên trong tam giác ABC. Qua M vẽ những đường thẳng lần lượt song song với các cạnh SA, SB, SC cắt các mặt SBC, SCA, SAB theo thứ tự tại A’, B’, C’.
a) Chứng minh rằng: có giá trị không đổi khi M thay đổi khi M di động trong tam giác ABC.
b) Xác định M để MA’.MB’.MC’ có giá trị lớn nhất.
Bài 7
Cho dãy số (un) với u1 = 1 và , với n Î N, n ³ 2 . Chứng minh dãy số (un) hội tụ và tính lim un.
Bài 8:	
Chứng minh với mỗi số nguyên dương n th́i phương tŕinh x2n+ 1 = x + 1 . chỉ có 1 nghiệm số thực xn . Khi đó hãy t́im lim xn n
Bài 9
T́im các đa thức f(x) thoả măn:
 x.f(x-1) = (x-3) f(x) với mọi x thực.
Bài 10
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Các điểm M, N, P, Q thay đổi tương ứng trên các cạnh AB, AD, CD, CB. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng .
Kinh nghiệm 5:Nghiên cứu kĩ cấu trúc ra đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh
Nghiên cứu kĩ cấu trúc ra đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh có cái nhìn bao quát,giúp giáo viên có định hướng trong công tác “huấn luyện”,thực hiện rèn luyện bồi dưỡng cho học sinh tất cả các chuyên đề,các phương pháp giải toán cần thiết.
Có trong tay cấu trúc đề thi,và nghiên cứu bộ đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thái Bình từ các năm 2000 đến nay chúng ta thấy rằng trong mỗi đề thi đều có mặt các dạng bài tập quan trọng phủ kín từ lớp 10 đến lớp 12.
Kinh nghiệm 6: Nắm vững “quân mình”
Kinh nghiệm xưa “nuôi quân ba năm dùng quân một giờ”
Mỗi giáo viên khi được sự tin tưởng của cấp trên và tập thể,giao trọng trách “cầm quân”;thì phải gần gũi động viên khích lệ các em học sinh vượt qua khó khăn vươn lên
 trong học tập.Có nhiều học sinh giỏi không muốn vào đội tuyển mà chỉ muốn học lấy kiến thức thi đại học;đòi hỏi giáo viên phải quan tâm kịp thời. Thường xuyên ,sâu sát kiểm tra đánh giá ,thông qua nhiều hình thức khác nhau để nắm được điểm mạnh ,điểm yếu của từng em;từ đó lựa chọn ra một đội tuyển tối ưu nhất.Biết đề ra một chiến lược thi phù hợp cho từng em.
Kinh nghiệm 7.Sử dụng Internet để sưu tầm đề thi học sinh giỏi của các tỉnh trên cả nước
Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học là một yêu cầu tất yếu;là một cơ hội rộng mở cho tất cả mọi người .Ở đây tôi chỉ xin kể một kinh nghiệm của mình liên quan đến một khía cạnh rất nhỏ: đó là Sử dụng Internet để sưu tầm đề thi học sinh giỏi của các tỉnh trên cả nước.Tôi đã sưu tầm một số đề của các tỉnh (đặc biệt là những tỉnh quanh Thái Bình) để cho học sinh của mình tập dượt.Ví dụ như một số đề sau:
Đề thi HSG Hải Phòng bảng A 2010-2011
Bài 1 (2.5 đ)
Cho hàm số 
1. Tìm tất cả các giá trị của tham số  để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến của đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.
2. Xác định  để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời 2 điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị đối xứng với nhau qua 
Bài 2 (2.0 đ)
1. Tìm  để với mọi số thực  ta đều có 
2. Giải hệ phương trình
Bài 3 (1.5 đ) Cho  thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Bài 4 (3.0 đ)
Cho tứ diện  có  đôi một vuông góc với nhau. Gọi  lần lượt là góc tạo bởi các mặt  với mặt 
1. Chứng minh rằng 
2. Giả sử . Chứng minh rằng 
Bài 5 (1.0 đ)
Chứng minh rằng  là số tự nhiên chia hết cho 13
 ....................Hết....................
SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010-2011
 ĐỀ THI MÔN : TOÁN 
ĐỀ CHÍNH THỨC Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên 
 Thời gian làm bài : 180 phút , không kể thời gian giao đề . 
Câu 1(2,5 điểm) .Giải phương trình x + 2
Câu 2(2,0 điểm ).Giải hệ phương trình (x, y R)
Câu 3 (1,5 điểm).Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f(x) = (2m + 3)sinx + (2-m)x đồng biến trên R .
Câu 4(2,5 điểm ).Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a, BC =a.
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = b.Gọi M là trung điểm của SD , N là trung điểm của AD .
1.Chứng minh rằng đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (BMN) .
2.Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B, M và cắt mặt phẳng (SAC) theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng BM .Tính theo a và b khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (P) .
Câu 5(1,5 điểm).Cho x, y , z là các số thực không âm thoả mãn điều kiện x2 + y2 +z2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 6(y + z – x) + 27xyz .
 Hết
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 31 tháng 10 năm 2010
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu I:(2,0 điểm)
Cho hàm số có đồ thị .
1) Tìm m để hàm số có cực trị, khi đó tìm tập hợp các điểm cực đại của đồ thị .
2) Tìm m để đồ thị cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến của tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.
Câu II: (2,0 điểm)
1) Tìm m sao cho hệ phương trình sau có nghiệm
2) Giải phương trình: 
Câu III: (2,0 điểm)
1) Cho các số thực x thoả mãn . Chứng minh rằng 
2) Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của , 
biết 
Câu IV: (3,0 điểm)
1) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC), góc giữa mặt phẳng (SAC) và (SBC) là 600, , . 
a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB).
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.	
2) Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không cùng nằm trên một mặt phẳng và. 
A, B, C là các điểm tương ứng trên Ox, Oy, Oz .
a) Tính thể tích của khối chóp O.ABC theo a biết OA =a; OB =2a; OC = 3a.
b) Nếu A, B, C thay đổi nhưng thể tích của khối chóp O.ABC luôn bằng , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích xung quanh hình chóp O.ABC.
Câu V(1,0 điểm):
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Các điểm M, N, P, Q thay đổi tương ứng trên các cạnh AB, AD, CD, CB. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng .
Hết.
	Họ và tên thí sinh:..............Số báo danh:.............
	Chữ ký của giám thị 1:.Chữ ký của giám thị 2:...
CHƯƠNG II:HIỆU QUẢ KINH TẾ XÃ HỘI ,TÍNH SÁNG TẠO
2.1 Hiệu quả kinh tế xã hội :
 Những kinh nghiệm trình bày ở trên đã được tôi áp dụng thành công trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.Kết quả đội tuyển học sinh giỏi đạt cờ thi đua của Sở Giáo Dục và Đào Tạo trao.
2.2 Tính sáng tạo của đề tài:
Những vấn đề về lí luận khái quát chung của công tác dạy và học thì đã có nhiều ;nhưng việc cụ thể hóa để mỗi giáo viên dễ áp dụng trong công việc của mình thì chưa nhiều.Đề tài này là những nội dung rất gần gũi và thiết thực cho những giáo viên đã và sẽ dạy học sinh giỏi.
Tập đề thi Học sinh giỏi tỉnh Thái bình từ năm 2000 đến nay là tài sản quí cho các thế hệ giáo viên trong tỉnh.Nhưng chưa thấy có tài liệu nào (công bố) nghiên cứu về tập đề thi này.Đề tài của chúng tôi đã bước đầu nghiên cứu về tập đề thi này,tuy nhiên kết quả mới rất khiêm tốn;chỉ dừng ở mức làm minh họa cho các vấn đề lí luận .Mong rằng về sau các thầy cô giáo giỏi trong tỉnh sẽ nghiên cứu sâu về tập đề thi này để đưa ra nhiều kết luận bổ ích hơn nữa.
Đề tài này cung cấp cho các thầy cô dạy toán một số bài toán hay ;lời giải đẹp có ích cho công việc dạy học của các thầy cô.
2.3 Kết luận:
 Mặc dù đã có ý thức cố gắng nhưng chắc chắn đề tài vẫn có nhiều thiếu sót,chưa hoàn thiện.Chúng tôi mong nhận được sự cảm thông và những góp ý của các thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp.Sẽ thú vị hơn nếu chúng ta nghiên cứu thêm các đề thi của Hưng Yên,Nam Định ,Hà Nội ,Thanh Hóa thì chắc chắn sẽ có thêm nhiều ví dụ hay minh chứng cho các luận điểm nêu trong đề tài.
 Xin cho phép tôi gửi lời cám ơn và những lời chúc tốt đẹp nhất tới các thầy cô trong ban giám khảo và ban tổ chức hội thi.
 Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến các thầy trong ban lãnh đạo nhà trường đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ được phân công.
 Tôi xin gửi lời cám ơn tới các thầy tổ trưởng và các thầy cô trong tổ chuyên môn đã giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này.
CHƯƠNG III:TÀI LIỆU THAM KHẢO
1)Tập Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 tỉnh Thái Bình từ 2000 đến nay.
2)Báo toán học và tuổi trẻ .
3)Tập cho học sinh giỏi toán quen dần với nghiên cứu khoa học(Nguyễn Cảnh Toàn)
4)Internet
CHƯƠNG IV:MỤC LỤC
1.Đặt vấn đề 
2.Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu
3.Đối tượng ,phạm vi phương pháp ,kỹ thuật tài liệu sẽ sử dụng
4.Nội dung đề tài