Sáng kiến kinh nghiệm Nguyên hàm - Tích phân

 I , Nhận dạng các bài toán tính nguyên hàm
 Dạng 1 : Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) Biết :
 a , f(x) = e2x+1 Biết F(-)=
 b, f(x) = Biết F(8) = 2
 c, f(x)= Biết F(0) = 8 
Giải : a , Ta có F(x) = = e2x+1 +C
 Vì F(-)= e2(-)+1 +C = +C = C =1 
 Vậy một nguyên hàm của hàm số f(x) là: F(x) =e2x+1 +1
 ý b, c Giải tương tự 
Dạng 2 : Xác định nguyên hàm bằng việc sử dụng bảng nguyên hàm của hàm số sơ cấp 
 Ví dụ : Tìm nguyênhàm của hàm số f(x)= 
Ta có dx= = ln+ 
Bài tập tương tư. tìm nguyênhàm của các hàm số
a, f(x)=3x2-4x+5 Hướng dẫn : Viết lại f(x)= 
b,f(x)=(x3-2)2 Hướng dẫn :	Viết lại f(x)= x6 –4x+4
c,f(x)= Hướng dẫn :	Viết lại f(x)= 
 Dạng 3 :Xác định nguyên hàm bằng việc sử dụng bảng nguyên hàm của hàm hợp :
 Ví dụ : Tìm I= 
 Ta có = -4sin x dx sin xdx= - 
Vậy I =-= -ln +C
 Bài tập tương tư: Tính
a, J= Hướng dẫn : Ta có J= d (3x+5)
b, k= Hướng dẫn :	Ta có k=
c, m= Hướng dẫn : Ta có m=
d , n = Hướng dẫn : Ta có n=
f , p = Hướng dẫn : Ta có p=2
g , q = Hướng dẫn : Ta có q= 
 I , Nhận dạng các bài toán tính Tích phân
A, Phương pháp đổi biến số :
Dạng 1: Nếu hàm số trong dấu tích phân là sin x (hoặc cosx) bậc lẻ
 Ví dụ a, I= b, J = 
*Phương pháp chung: Ta tách một sin x (hoặc cosx) ra chuyển phân mũ chẵn còn lại về cos x (hoặc sin x) nhờ công thức sin2x +cos2x =1
Giải : a, ta có I ==
Đặt t= cos x dt =- sin x dx
 với x= 0 t=1
 với x= t=0
 Vậy I= - = =(t- =
b, J = = 
 Đặt t= sin x giải tương tự ta được : J=
 Dạng 2: Nếu hàm số trong dấu tích phân là sin x (hoặc cosx) bậc chẵn
 Ví dụ a, I= b, J = 
*Phương pháp chung : Ta dùng công thức hạ bậc
 Giải : a, Ta có : I= = = = 
 b, Giải tương tự ta có J= 
 Dạng 3 : Nếu hàm số trong dấu tích phân chứa căn bậc hai có thể đưa được về dạng f(u) du
Ví dụ 1 : Tính tích phân a, I= c, (đềTN 2006)
 b, J=
Phương pháp chung : Đặt t bằng biểu thức trong căn (hoặc bằng cả căn). hoặc biểu thức dưới mẫu
 Giải : a, Đặt t= x3+2 dt =3x2dx x2dx =
 Với x=1 t = 3
 x=2 t = 10
 	I== = = 
	b, J= =
 Đặt t= x2+2 x2= t-2
 dt =2xdx xdx =
 Với x=0 t = 2
 Với x= t = 4
 Vậy J= Tính toán ta có J = 
c, K= HD : Viết K= Đặt t= 4- cos2x
Dạng 4 : Nếu hàm số trong dấu tích phân chứa căn bậc hai mà biểu thức trong căn là 1- x2 hoặc a2-x2 (a>0)
Phương pháp chung : 
 Đặt x= sin t hoặc x= a sin t (Với t )
Ví dụ : Tính I = 
Đặt x= sin t dx = cos t dt
 Với x=0 t = 0
 Với x= t = 
Ta có == ==sin2t
Vậy I==== 
 áp dụng phương pháp trên ta có thể giải được các tích phân sau :
a, 
 b , 
Dạng 5 : Nếu hàm số trong dấu tích phân là phân thức có mẫu chứa biểu thức a2+x2 hoặc căn của a2+x2 (a>0)
Phương pháp chung : 
 Đặt x= a tg t (Với t )
Ví dụ : Tính tích phân: I= 
Giải : Đặt x= 2 tg t Với t 
Đổi cận : x= 0 t = 0
 x=2 t = 
Vậy ta Đặt x= 2 tg t Với t 
 	I== = =
	Dạng 6 : Nếu hàm số trong dấu tích phân là phân thức hữu tỷ có bậc của tử bằng hoặc cao hơn bậc của mẫu
*Phương pháp chung : 
 Ta phân tích nó bằng cách chia tử cho mẫu
Ví dụ : Tính các tích phân sau : 
a, I= 
b, J=
Giải : 
a, I= = = =
b, J= Giải tương tự 
Dạng 7 : Nếu hàm số trong dấu tích phân là phân thức hữu tỷ có bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu mà mẫu có nghiệm
*Phương pháp chung : 
 Ta phân tích mẫu thức Thành tích các nhân tử bậc nhất rồi đồng nhất hóa tử thức 
Ví dụ : Tính I==
Ta có =
Ta tìm A và B sao cho =+= = 
=
Đồng hóa tử thức ta có hệ 
Vậy=-
	I==== ln-ln2 =ln
Bài tập tương tự :Tính tích phân : a, 
 b, 
Dạng 8 : Nếu hàm số trong dấu tích phân có dạng tích của hai hàm số lượng giác 
*Phương pháp chung : Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
 Ví dụ : Tính tích phân I=
Giải : Ta có:
I===(sin4x-sin8x)=
Bài tập tương tự :Tính tích phân : a, 
 b, 
2 .Phương pháp tính tích phân từng phần
Dạng 1:Biểu thức trong dấu tích phân có dạng P(x)lnxdx
*Phương pháp chung: Đặt 
VD:Tính
a, I= 	b, J=
Giải:
a, I= 	
	Đặt 
Vậy = -
	 =
	 = =
b,J= . Giải tương tự ta có J=18ln3-8
Dạng2:Biểu thức trong dấu tích phân là tích của 1 đa thức với sinx hoặc cosx dạng hoặc 
*Phương pháp chung: Đặt 
VD:Tính
a,I= b, J=
Giải
 a,Đặt 
Vậy I= xsinx - = xsinx + cosx 	
	=(xsinx+cosx) ==
b, J=. Giải tương tự J=
Dạng 3:Biểu thức trong dấu tích phân có dạng 
*Phương pháp chung: Đặt 
VD: 
a,I=	b, J=
Giải:
a, Đặt 
Vậy I= -= (xex-ex) = ex(x-1) = e(1-1)-e0(0-1) = 1
b, J= . Giải tương tự J=
Dạng 4: Biểu thức trong dấu tích phân có dạng: sinx.ex dx hoặc cosx.ex dx 
*Phương pháp chung : Ta sử dụng phương pháp truy hồi