Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình, bất phương trình vô tỉ

A. PHẦN MỞ ĐẦU
1 . Lí do chọn đề tài
 Về mặt lý luận
Trí thông minh là sự tổng hợp, phối hợp nhịp nhàng các năng lực trí tuệ như: quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng và chủ yếu là năng lực tư duy mà đặc trưng là năng lực tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo, vận dụng những hiểu biết đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách tốt nhất. Chính vì vậy, nghị quyết của Bộ chính trị về cải cách giáo dục đã nhấn mạnh nhiệm vụ phát triển trí thông minh cho học sinh cấp III. Nghị quyết đã chỉ ra rất rõ yêu cầu “Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”.
 	Một điểm đổi mới trong phương pháp dạy học hiện nay luôn coi trọng việc lấy người học làm trung tâm, người thầy chỉ đóng vai trò là người giúp các em đi đúng hướng, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, sáng tạo. Chính vì vậy, ở THPT, việc phát triển trí thông minh cho các em thông qua môn toán là hết sức cần thiết.
Về mặt thực tiễn
Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn Toán nói riêng là nguyện vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên THPT. Như chúng ta đã biết, Toán là khoa hoc suy diễn trừu tượng nhưng Toán học THPT lại mang tính trực quan, cụ thể bởi vì mục tiêu của môn toán ở trung học là hình thành những biểu tượng toán học ban đầu và rèn luyện kĩ năng toán cho học sinh, tạo cơ sở phát triển tư duy và phương pháp cho học sinh sau này. Một mặt khác toán học còn có tính thực triễn. Các kiến thức toán học đều bắt đầu từ cuộc sống. Mỗi mô hình toán học là khái quát từ nhiều tình huống trong cuộc sống. Dạy học toán học ở trung học là hoàn thiện những gì vốn có trong học sinh, cho học sinh làm và ghi lại một cách chính thức các kiến thức toán học bằng ngôn ngữ và các kí hiệu toán học. Mỗi tiết học là dịp để học sinh hình thành những kiến thức và kĩ năng mới, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán trong cuộc sống sau này. Chính vì vậy, người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, trí thông minh của học sinh thông qua giờ học toán.
Về cá nhân 
Xuất phát từ lý luận và thực tiễn trên, để góp phần vào việc “ Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học” cho học sinh trong giai đoạn hiện nay, và qua thực tiễn kiểm tra và giảng dạy học sinh ở trường , tôi nhận thấy việc hình thành những kiến thức và kĩ năng mới trong Phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán trong cuộc sống cho học sinh là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của người giáo viên. Đó là lý do tại sao tôi chọn đề tài này.
Mục đích nghiên cứu:
 	 Một vấn đề thường gặp trong đại số, làm cho học sinh lúng túng đó là những bài toán về phương trình, bất phương trình vô tỉ, thông thường những bài toán về loại này là những vấn đề khó. Thực sự nó là một phần quan trọng của đại số và những kiến thức về phương trình, bất phương trình vô tỉ trong đại số cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng đại số trong cuộc sống.
Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu Phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ.
Nhiệm vụ nghiên cứu
 Nghiên cứu một số vấn đề về Phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ. Những bài toán về phương trình, bất phương trình vô tỉ có nội dung rất hấp dẫn và khó giải quyết. Một trong những nguyên nhân gây khó giải quyết của nó là vì phương pháp tiếp cận , mổ xẻ vấn đề không phải là các phương pháp thông thường hay hay được áp dụng trong đại số. Để giải quyết phần nào những khó khăn trên, tác giả viết sáng kiến kinh nghiệm này nhằm cung cấp những phương pháp học và giải bài tập phương trình, bất phương trình vô tỉ cho các bạn yêu thích toán học, các thầy cô giáo, các em học sinh các trường làm tài liệu tham khảo và tiếp tục phát triển.
Giới hạn của đề tài
Nghiên cứu về phương trình, bất phương trình vô tỉ, đặc biệt là các phương pháp hàm số, và bài tập vận dụng để giúp học sinh có thể học tốt hơn và hình thành những kiến thức, kĩ năng mới, vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán cũng như trong cuộc sống .
Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận 
“Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”.
Phương pháp quan sát 
Nhìn nhận lại quá trình học tập môn toán của học sinh của trường trong năm học vừa qua..
Đưa ra một số biện pháp để nâng cao kết quả học tập cho học sinh của trường trong giai đoạn hiện nay.
B. PHẦN NỘI DUNG
Phần một. Phương trình có chứa căn thức
I.Phương pháp biến đổi tương đương
 1.Kiến thức cơ bản
 a. 
 b. 
Chú ý : Các trường hợp khác ta phải tìm điều kiện trước khi biến đổi.
2.Ví dụ minh hoạ
Ví dụ1: Giải phương trình sau:
 (1)
 Pt (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
 (2)
 ĐK :
 Pt (2) 
 (do x = -2 loại)
Ví dụ 3: Giải phương trình sau:
 (3)
Pt(3)(*) hoặc
 (**)
Giải phương trình (*) ta có phương trình vô nghiệm
Giải phương trình(**) ta được nghiệm của phương trình là 
Vậy nghiệm của phương trình(3)là :
Ví dụ 4: Giải phương trình sau:
 (4)
ĐK 	
Ta xét theo 3 trường hợp như sau:
 +)Trường hợp 1: Nếu thì pt(4) trở thành 
 (t/m).
+)Trường hợp 2: Nếu thì pt(4) trở thành 
 (loại).
+)Trường hợp 3: Nếu x = 0 pt(4) luôn thỏa mãn
Vậy nghiệm của pt(4) là x = 0 , .
II) Phương pháp đặt ẩn phụ 
1.Dạng1: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình không chứa ẩn ban đầu
Nếu có và f(x), đặt t = 
Nếu có màthì đặt 
Nếu có đặt 
Nếu có đặt 
Nếu có đặt 
 * Bài tập áp dụng :
 Bài1: Gpt 2(x2- 2x) + đặt t = 
 Bài2: Gpt 
 đ/k x ≥ 1 , đặt t = đ/k t ≥ 1dẫn tới pt t2-5t+6=0
 Bài3:Gpt: đ/k -1 ≤ x ≤ 1 đặt x = cost 
 PT trở thành
 Bài4: Gpt: 
 (4)
 Do không là nghiệm của phương trình (4) nên ta chia cả 2 vế của 
 PT(4) cho 
 Pt đặt 
 Pt(5) tt 
 Bài5: Gpt : đ/k x > 1 đặt 
 Đặt
2. Dạng2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình còn chứa ẩn ban đầu
**Bài tập áp dụng : 
 Bài1: Gpt : (1)
 ĐK : Đặt 
 Khi đó pt(1)tt x2 -2tx-1 = 0 ,= t2+1 = (x-1)2 →x = t±(x-1) khi và chỉ khi
 Bài2: Gpt : (4x-1)8x2+2x+1 
 đặt t = ≥ 1 ,pttt : 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 ( loại do t)
 với t =2x-1 PTvô nghiệm
 3. Dạng3: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
 Trong đó m và n nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2
***Bài tập áp dụng :
 Bài1: Gpt: 
 Đặt PT 
 Bài2:Gpt: 
 Đặt Pt 
III) Phương pháp đánh giá 
 1) Kiến thức cơ bản: 
f2(x) + g2(x) + h2(x) = 0 
2) ( trong đó k là hằng số)
3) (trong đó k là hằng số)
 2) Bài tập áp dụng :
 Bài1:Gpt: 4x2 + 3x +3 = 4x 
 đ/k x ≥ 1/2 . Phương trình tương đương
 (t/m).
 Bài2: Gpt: = 4 – 2x – x2
 Ta có VT = 
 VP = 4 - 2x- x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5 
 Vậy phương trình chỉ thỏa mãn khi và chỉ khi 
 Bài 3:Gpt: . (1)
 ĐK : 5x3 + 3x2 +3x + 2.
 BĐTCôsi
 Ta có .
 Do đó pt (1) x2 + x + 1 = 5x – 2 (thoả mãn).
IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số : 1) Cơ sở lý thuyết
 Dùng tính đơn điệu của hàm số để khẳng định số nghiệm phương trình
 2) Bài tập áp dụng 
 Bài1:Gpt : .
 ĐK : x.
 Xét hàm số f(x) = trên tập .
 Ta có với h/s f(x) đồng biến
 trên tập xác định D.
 Mặt khác với x = -1 thì f (-1) = 0.
 Vậy pt có nghiệm duy nhất là x = - 1.
 Bài2 : Gpt : .
 Pt (*)
 Đặt t = x2- x đ/k ( -3≤ t ≤2)
 PT(*) trở thành (**)
 Xét h/s f(t) = trên tập D = . Ta có với 
 h/s f(t) đồng biến trên tập xác định D.
 Mặt khác h/s g(t) = 1+ với h/s g(t) 
 nghịch biến trên tập D.
 ta thấy với t = 1 thì f(1) = g(1) = 2
 Do vậy Pt (**) có nghiệm duy nhất t =1 .
 Với t = 1 thì x2- x = 1 .
 Bài 3 :Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình sau luôn có 2 nghiệm thực phân 
 biệt (1) ( Khối B – 2007).
 ĐK 
Pt (1) 
Ta c/m phương trình (2) có nghiệm với 
 Xét hàm số f(x) = x3 + 6x2 -32 với .
 Ta có với h/s f(x) đồng biến trên.
Bảng biến thiên
x
2 
 +
f(x)
0
 Dựa vào bảng biến thiên ta có với Pt(1) luôn có một nghiệm .
Vậy Pt(1) luôn có 2 nghiệm thực phân biệt.
Phần hai. Bất phương trình có chứa căn thức
I)Phương pháp biến đổi tương đương :
 1) Kiến thức cơ bản : 
 1) 
 2) 
 2) Bài tập áp dụng:
 Bài1: gbpt tương đương với tương đương với
 Bài3: gbpt: điều kiện 
Với - bpt tương đương -
Với 0<x bpt tương đương 0<x
 Vậy nghiệm của bpt là 
II)Phương pháp đặt ẩn phụ
Dạng1: Đặt ẩn phụ hợp lý dẫn tới bất phương trình đại số quen thuộc 
 Bài1 : Gbpt: đặt t = dẫn tới bpt
 t2+2t-15 ≤ 0 suy ra 0 ≤ t ≤ 3 suy ra suy ra x2 -3x+11 ≤ 9 suy ra nghiệm
của bpt 1 ≤ x ≤ 2
 Bài2. Gbpt
 đặt t = có bất phương 
 t2-3t+2 > 0 suy ra t > 2 hoặc t < 1. 
1) xét bpt >2 
2) xét bpt <1
 nghiệm của bpt là 
 Bài3: Gbpt: 
 điều kiện x > 0 đặt t = ≥ 
dẫn tới bất phương trình bậc hai: 2t2 – 5t + 2 > 0 có nghiệm t > 2 khi và chỉ khi 
 >2 Pt có nghiệm 
 Bài4: Gbpt 
 Đặt
 PT dẫn tới t2 -2t -3 >0 có nghiệm t≥ 3
Cho ta tập nghiệm của bpt là 
 2.Dạng2 : đặt ẩn phụ t dẫn bpt xem t là ẩn ,x là tham số,hoặc bpt xem x là ẩn, t 
 là tham số.
 Bài tập:Gbpt: x2-1 
 Đặt t = dẫn tới bpt: x2-2tx-1≤ 0 
 Ta có . PT dẫn tới ( khi và chỉ khi 
 3.Dạng3: Đặt 2 ẩn phụ dẫn tới một hệ.
Bài1: gbpt điều kiện x ≥ 0 biến đổi đặt 
 Trường hợp u = v 
 Vậy để u
 Bài2:gbpt đặt bất phương trình có dạng
III)Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 
 Cơ sở lý thuyết: dựa vào bảng biến thiên của hàm số phát hiẹn miền nghiệm cuả bất phương trình
 Bài tập áp dụng
Bài1: gbpt: xét hàm số f(x) = trên tập x ≥ -2 
 Có đạo hàm luôn dương với mọi x thuộc tập xác định suy ra hàm số luôn đồng biến lại có f(0) = 5
 vậy nghiệm của bpt là x > 0 
Bài2: gbpt: 
 Tương đương 
 Xét hàm số f(t) = Trên có f’(t)hàm số đồng biến trên tập xác định vậy ta có 
 f(x-1)>f(3-x) khi và chỉ khi x-1>3-x cho ta x>2 vậy nghiệm của bất phương trình là 2 < x ≤ 3
 Bài3: gbpt: 2x+ xét hàm số trên tập xác định x≥ 0
 F(x) = 
 Hàm số đồng b iến trên tập xác định vì vậy f(x) < 35 = f.
Vậy nghiệm bpt 0< x <
 IV) Phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất nhỏ nhất hàm số 
 Kiến thức cơ bản Lập bảng biến thiên từ đó có kết quả của bài toán 
 Bài tập áp dụng
 Bài1 Tìm m để bpt sau có nghiệm: mx - đặt t = t ≥ 0 ta có 
 m( t2+2) ≤ t+1 tương đương với xét hàm số f(t) = trên tập t≥ 0 có 
 f,(t) = 0 khi t = 1
 Ta có bảng biến thiên t
 f’
f(t)
0
-
+
0
-1
Nhìn vào bảng biến thiên để bất phương trình có nghiệm thì m ≤ 
V) Phương pháp đồ thị : 
 Kiến thức cơ bản : dùng đẻ giải các bài toán tìm tham số để bất phương trình có nghiệm thực hiện các 
 bước sau :
*) sử dụng các phép biến đổi tương đương đưa bất phương tình đã cho về một hệ
*) xét trên hệ trục tọa độ Oxm 
 +) Biểu diễn các điểm M(x,m) thỏa mãn các bất phương trình trong hệ ,giả sử các tập đó là X1,X2,..
 +) Xác định X= X1 ∩ X2 ∩
 +) Chiếu vuông góc tập X lên trục m ,giả sử là Im 
*) Khi đó:
 +) Để hệ vô nghiệm khi m Im 
 +) Để hệ có nghiệm khi m € Im 
 +) Để hệ có nghiệm duy nhất khi đường thẳng m = giao với tập X đúng một điểm duy nhất.
Bài tập áp dụng:
 y
 Bài1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đặt y = khi đó bất phương trình tương đương với một hệ
 x
M(1,5)
1
Các điẻm thỏa mãn (2) ký hiệu là X1 là tập hợp các điểm mằn nửa trên của đường tròn tam O bán kính R=1 các điểm thỏa mãn (3) ký hiệu là X2 là tập hợp các điểm nằm phía trên của đưòng thẳng x + y = m lấy với y ≥ 0 Vậy để bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0khi m 
Bài2: Tìm m để bất phương trình sau đúng mọi x thuộc – 4 ≤ x ≤ 6 
 x2 - 2x +m đặt y = ≥ 0 suy ra y2 = 24 + 2x – x2
y
 Tương đương với ( x -1 )2 +y2 = 25 như vậy vế trái của bất phương trình là nửa trên của đường tròn tâm I(1,0) bán kính R = 5 , còn vế phải của bất phương trình y = x2 – 2x + m là một pảabol có đỉnh nằm trên đường thẳng x = 1 để bài toán nghiệm đúng
 với mọi x thuộc – 4 ≤ x ≤ 6 thì pảa bol luôn nằm
 phía trên nửa đường tròn và đỉnh của pảabol tiếp xúc
 với đường tròn tại điểm M(1,5) tức là 5 = m0 – 1 suy ra m0 = 6
 vậy giá trị m cần tìm là m ≥ 6
VI) Phương pháp điều kiện cần và đủ
 Cơ sở lý thuyết : dựa vào đặc điểm của bất phương trình ta có thể
 Suy ra đặc điểm của nghiệm của bất phương trình từ đó suy ra
 Giá trị tham số m , điều kiện đủ với m tìm được thay vào bẩt phương trình ,giá trị m thỏa mãn điều kiện của bài toán là giá trị cần tìm
 Bài tập áp dụng
 Bài toán1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm duy nhất (1)
 Điều kiện cần : giả sử (1) có nghiệm là x0 thì – x0 cũng là nghiệm , do đó muốn có nghiệm duy nhất thì phải có x0 = - x0 suy ra x0= 0 thay vào (1) ta có m = 0 
 Điều kiện đủ : với m = 0 thay vào bất phương trình ta có ngay nghiệm duy nhất x = 0 , vậy m = 0 là giá trị cần tìm.
 Bài toán2: Tìm m để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi 
 Điều kiện cần: để bất phương trình đúng mọi thì x = 1 cũng là nghiệm thay vào (1) ta có m≥ 4 
 Điều kiện đủ : với m ≥ 4 khi đó áp dụng bất đẳng thức Cô si vế trái ta có VT = , 
VP = x2 – 2x + m = (x-1)2+ m – 1 ≥ 3 
Suy ra VP ≤ VT, vậy với m ≥ 4 là giá trị cần tìm .
VII) Phương pháp đánh giá: 
Đó là các bài toán giải thông thường gặp khó khăn .nếu để ý đặc điểm của bài toán và kết hợp với mọt số bất đẳng thức cơ bản ta có thể suy ngay ra nghiệm của bài toán
 Bài toán áp dụng : giải bất phương trình sau 
 Ta có điều kiện 
 Khi đó vậy bát phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Vế trái = 2 khi và chỉ khi 
 vậy x = 1 là nghiệm của bất phương trình .
C. PHẦN KẾT LUẬN
 Từ nhận thức của bản thân trên cơ sở thực tiễn chọn đề tài và các biện pháp triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu của học sinh, tôi thấy đã đạt được một số kết quả cụ thể như sau:
Với việc trình bày các bài toán cơ bản, cùng với các ví dụ minh họa ngay sau đó, sẽ giúp tăng cường bài giảng cho các thầy , cô giáo và với các em học sinh sẽ dễ hiểu và biết cách trình bày bài, học sinh biết vận dụng thành thạo các kiến thức đã học làm cơ sở cho việc tiếp thu bài mới một cách thuận lợi, vững chắc.
Đặc biệt là nội dung phần bình luận sau một vài bài tập ví dụ sẽ giúp các em học sinh củng cố những hiểu biết chưa thật thấu đáo, cùng với cách nhìn nhận vấn đề đặt ra cho các em học sinh, để trả lời một cách thỏa đáng cấu hỏi “ Tại sao lại nghĩ và làm như vậy?”
Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinh phát huy trí thông minh, óc sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, tư duy độc lập và thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả năng nói lưu loát, biết lí luận chặt chẽ khi giải toán.
Học sinh biết vận dụng các kiến thức đơn lẻ để giải các bài toán tổng hợp nhiều kiến thức.
Ngoài ra có rất nhiều bài toán được giải nhiều cách khác nhau sẽ giúp các em học sinh trở nên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải.
Với phong cách trình bày như vậy, bộ tài liệu này còn nhằm giúp cho các em học sinh rèn luyện năng lực vận dụng lý thuyết được học .Tạo không khí sôi nổi, niềm say mê hứng thú cho học sinh bằng các bài toán sinh động, hấp dẫn thực sự biến giờ học, lớp học luôn là không gian toán học cho học sinh. 
 Cuối cùng, cho dù đã rất cố gắng bằng việc tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu sách hiện nay để vừa viết, vừa mang đi giảng dạy ngay cho các em học sinh của mình từ đó kiểm nghiệm và bổ sung thiếu sót, cùng với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến của các bạn đồng nghiệp để dần hòan thiện bộ tài liệu này, nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót bởi những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, rất mong nhận được những đóng góp quý báu của quý thầy giáo, cô giáo, các bạn đồng nghiệp và các bạn đọc gần xa.
	 Người thực hiện
 Nguyễn Văn Xá
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên, tài liệu chuẩn kiến thức – kĩ năng môn Toán THPT.
[2]. Các bài giảng luyện thi đại học – Phan Đức Chính (cb).
[3]. Các chuyên đề luyện thi đại học – Trần Văn Hạo (cb).
MỤC LỤC
Phần mở đầu . 02
Phần nội dung 04
Phần 1. Phương trình có chứa căn thức ...04
Phần 2. Bất phương trình có chứa căn thức .11
Phần kết luận .17
Tài liệu tham khảo ..19
Mục lục .....20
Ý kiến nhận xét đánh giá
của hội đồng xét duyệt sáng kiến kinh nghiệm