Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp miền giá trị của hàm số và chiều biến thiên của hàm số tìm điều kiện để phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình có nghiệm hoặc có n nghiệm

Chuyên Đề : Sử dụng phương pháp miền giá trị của hàm số và chiều biến thiên của hàm số tìm điều kiện để phương trình,hệ phương trình,bất phương trình,hệ bất phương trình có nghiệm hoặc có n nghiệm
 A.Lí do viết sáng kiến kinh nghiệm : 
Trong các kì thi Đại học và Cao đẳng , trong các kỳ thi học sinh giỏi Tỉnh thường có một câu về tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình,hệ phương trình,hệ bất phương trình có nghiệm . Đối với dạng toán này học sinh thường lung túng vì không định hướng được cách giải hoặc giải sai vì không tìm đúng điều kiện của ẩn mới khi chuyển bài toán trên về một bài toán đơn giản hơn bằng phép đặt ẩn phụ . Để giải quyết một phần nào đó những khó khăn và những sai lầm mà học sinh gặp phải tôi rất muốn trao đổi với các đồng nghiệp một cách giải dễ tiếp cận như sau 
 B.Giải quyết vấn đề
Mệnh đề1 : Cho phương trình f(x) = , hàm số y=f(x) xác định trên D . khi đó 
phương trình trên có nghiệm nếu thuộc miền giá trị của hàm số y=f(x) trên D
*Chú ý :
 Nếu bài toán yêu cầu tìm m để phương trình có n nghiệm thì ta cần lập bảng biến thiên của hàm số y=f(x) trên D. Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện để phương trình có n nghiệm
Dạng1 : Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm hoặc có n nghiệm
*Bài toán đặt ra như sau : Tìm m để phương trình f(x,m)=0 có nghiệm hoặc có n nghiệm
Bước1 : Tìm điều kiện của phương trình 
Bước2 : Chuyển phương trình về dạng : g(x)=g(m)
Bước3 : Tìm miền giá trị của hàm số : y=g(x) 
Bước4 : Tìm m dựa vào mệnh đề 1 hoặc chú ý trên
Bài1:Tìm m để phương trình sau có nghiệm : 
 Giải
Điều kiện : . Đăt t = với 
Ta có : 
Bài toán đã cho trở thành : tìm m để phương trình : (1) có nghiệm . Đặt f(t) = . Ta có 
(loại)
(2) = 4 , . Vậy, 
Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là : 
Nhận xét :
+)Sai lầm học sinh thường gặp phải khi giải bài toán trên là tìm sai điều kiện của t,thông thường học sinh chỉ đặt, đk : hoặc 
+)Nếu bài toán yêu cầu tìm m để phương trình có n (n = 1,2,3,4) nghiệm thì ta cần tìm được điều kiện tương ứng của t : dựa vào phương trình
 t = (1)
Xét hàm số : y=f(x)= 
Bảng biến thiên :
x
 -1 1 3 
y/
 + 0 - 
y
 2
 2 2
Ta thấy :+)Với thì pt (1) có duy nhất 1 nghiệm x
 +)Với 1 nghiệm t thõa mãn thì phương trình (1)có 2 nghiệm x
Từ đó ta tìm được điều kiện tương ứng của m để phương trình có n nghiệm 
(n = 1,2,3,4)
Bài2:(TSĐHKhốiA_2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực : 3 (1)
	Giải:
Điều kiện : 
Th1: xét x = 1 phương trình (1) trở thành : 
Th2: xét x > 1 thì Đăt điều kiện 0<t<1
Ta có phương trình : (2) 
Bài toán đã cho trở thành : Tìm m để phương trình có nghiệm 
 Đặt : y = Suy ra : 
 Ta có : , , . 
Bảng biến thiên: 
t
 0 	 	1 
y/
 + 0 -
y
	0
	 -1
Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là : 
Suy ra : Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là : 
Nhận xét: 
+>sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải bài toán trên là : không xét trường hợp x=1 và đặt điều kiện sai cho ẩn t , thông thường học sinh sẽ đặt điều kiện là , nhiều học sinh không biết cách tìm điều kiện của t vì thấy biểu thức quá phức tạp , thực ra để tìm điều kiện của t ta chỉ cần khảo sát hàm số : với x>1
+)Nếu bài toán yêu cầu tìm m để phương trình có n (n = 1,2,3,4) nghiệm thì ta cần tìm được điều kiện tương ứng của t : dựa vào phương trình (1)
 Với 1 nghiệm t thõa mãn : 0<t<1 thì pt (1) có duy nhất 1 nghiệm x.Do đó 
+)Với thì phương trình đã cho có 1 nghiệm
+) Với thì phương trình đã cho có 2 nghiệm
Bài3: (HVKT Quân sự_2001)
 Tim m để phương trình : (1) có hai nghiệm thực phân biệt
Giải:
Ta có (1) (I)
Th1 : Với x = 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm
Th2 : khi đó (I) 
Xét hàm số : . Đạo hàm với mọi 
Bảng biến thiên 
x
 0	
y/
 + 	+
y
Phương trình có 2 nghiệm khi : 
Bài4:(TSĐH KHỐI A_2002)
 Tìm m để phương trình : có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 
	Giải:
Đặt : điều kiện 
Ta có : . Phương trình đã cho được viết lại như sau : (2)
Bài toán đã cho trở thành : Tìm m để phương trình có nghiệm 
Đặt : ta có , 
, . Vậy , 
Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi : 
Nhận xét: Bài toán tìm m để phương trình có nghiệm hoặc có ít nhất một nghiệm 
có cách giải giống nhau 
Dạng2: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm , có n nghiêm 
Đối với một số bài toán : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( hệ phương trình có chứa tham số) . Ta cũng có thể quy về được phương trình có chứa tham số và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
Các bước giải : 
Bước1 : Đặt điều kiện cho hệ phương trình
Bước2 : Sử dụng phép biến đổi tương đương hoặc đặt ẩn phụ đưa hệ đã cho về hệ đơn giản hơn 
Bước3 : Từ hệ đơn giản trên ta chuyển về bài toán tìm m để phương trình có nghiệm hoặc có n nghiệm 
Bài5 :( Đề TSĐH khối D, 2007):
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm : 
Giải
Đặt : khi đó 
Tương tự : 
Ta có :
Khi đó hệ trở thành : 
Û là nghiệm của phương trình bậc hai
Hệ có nghiệm có 2 nghiệm thỏa mãn . 
Lập Bảng biến thiên của hàm số y= với 
 -22 
 - - 0 +
 22 
 2
	7/4
Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm 
Nhận xét : Trong bài toán trên để tìm điều kiện của u,v ta còn có cách khác là khảo sát hàm số : 
Bài6 :Cho hệ phương trình 
Tìm m để hệ có nghiệm
Giải
Đặt : 
Điều kiện : . Khi đó hệ đã cho trở thành hệ sau : 
Do : nên điều kiện của v là : 
Hệ đã cho có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm v thỏa mãn : 
Ta có : 
Đặt : Suy ra : 
; .Vậy : , 
Điều kiện bài toán thõa mãn khi : 
+)Sai lầm của học sinh gặp phải khi giải bài toán trên là : Tìm không đúng điều kiện của v , thông thường học sinh chỉ tìm điều kiện để phương trình : có nghiệm v>0 trong bài toán trên cần thể hiện được điều kiện của u qua điều kiện của v bằng cách giải bất phương trình: 
Một số bài toán : 
 1.Tim m để phương trình : có nghiệm thực 
 2. Tìm m để phương trình : có nghiệm 
3. Tìm m để phương trình : có nghiệm 
(TSĐH KHỐI A_2008)
4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm : (TSĐH KHỐIB_2004)
5. Xác định a để phương trình : có 2 
nghiệm dương phân biệt (Đề thi thử ĐH_2008)
6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm : 
 ( Đề thi thử ĐH_2009)
7.Tìm m để phương trình sau có nghiệm
a) 	b)
c)	d) 4x - 2x + 1 = m 
8. Cho hệ phương trình: . Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm
9.Cho hệ phương trình : Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm
10.Cho hệ phương trình : Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm
11.Cho hệ phương trình : Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm
12.Cho hệ phương trình : Tìm a để hệ phương trình trên có nghiệm
Dạng3: Tìm điều kiện để bất phương trình có nghiệm
II.Mệnh đề 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D . Giả sử trên D hàm số tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất .Khi đó điều kiện để bất phương trình : 
1.có nghiệm là : 
2. có nghiệm với mọi là : 
Chú ý: 1. Nếu thay bất phương trình trên bởi bất phương trình : . Điều kiện để bất phương trình : 
a).có nghiệm là : 
b) có nghiệm với mọi là : 
2.Nếu trên D hàm số không tồn tại gtln v à gtnn mà miền giá trị của hàm số là 
khoảng (a;b) , (a; ) thì tìm m tương tự 
*Bài toán đặt ra như sau : Tìm m để phương trình f(x,m)0 có nghiệm
Bước1 : Tìm điều kiện của bất phương trình
Bước2 : Chuyển bất phương trình về dạng : g(x) g(m) hoặc g(x)g(m) 
Bước3 : Tìm miền giá trị của hàm số : y=g(x) 
Bước4 : Tìm m dựa vào mệnh đề 2 và chú ý trên 
Bài1(ĐHQG TPHCM_1997) : Tìm m để bất phương trình có nghiệm với 
 Giải 
Đăt : t = suy ra . Ta có bất phương trình mới là :
Bài toán đả cho trở thành : Tìm m để bất phương trình : có nghiệm với mọi . Đặt ta có: 
 . Tính ; ; 
Vậy : ; 
Bất phương trình : có nghiệm với mọi khi và chỉ khi : 
Bài2: (Đề thi hs giỏi tỉnh năm học 2008_2009 lớp12 bảng A )
Tìm m để bất phương trình : có nghiệm với mọi 
 Giaỉ
Đặt : -1 điều kiện t
Bất phương trình đã cho trở thành : (1)
TH1 : t = 0 khi đó (1) trở thành : (thoả mãn với mọi m)
TH2 : 
+> Nếu thì (1) (2)
+> Nếu thì (1) (3)
Xét hàm số y = f(t) = ta có : với mọi t\{0}
Bảng biến thiên : 
 t
	0	1
 -
 -
f(t)
 -
 9 
Để (2) thoả mãn với mọi thì 
Để (3) thoả mãn với mọi thì 
Trong trường hợp 2 để thoả mãn với mọi thì 
Kết luận : tóm lại 
Chú ý : Ngoài việc ứng dụng mệnh đề trên tìm điều kiện để bất phương trình có nghiệm thì ta cũng có thể dựa mệnh đề trên để phát triển thêm những dạng toán khác như : Tìm số m lớn nhất hoặc nhỏ nhất sao cho bất phương trình có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định của bất phương trình.Ta xét ví dụ sau đây
Bài3: (Đề thi hs giỏi tĩnh năm học 2009_2010 lớp12 bảng A)
Cho bất phương trình : 
Tìm số dương a bé nhất sao cho bất phương trình luôn đúng
 Giai
 Điều kiện : 
 Đặt : điều kiện :
Bất phương trình đã cho trở thành : (1)
+>xét t = 2 thì (1) luôn đúng với 
+>xét khi đó (2)
Xét hàm số : suy ra : >0 với mọi 
Do đó ; Vậy : 
Đ ể (2) thoả mãn với mọi thì : 
Kết luận: Vậy số dương a nhỏ nhất bằng 4
+)Từ bài toán trên ta có bài toán tương tự
 Cho bất phương trình : 
Tìm số dương a lớn nhất sao cho bất phương trình luôn đúng
Dạng4: Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm
Đối với bài toán tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm ta cũng có thể chuyển về bài toán tìm m để bất phương trìn nghiệm có nghiệm
Các bước giải :
Bước1 : Đặt điều kiện cho hệ 
Bước2 : Sử dụng phép biến đổi tương đương hoặc đặt ẩn phụ đưa hệ đã cho về hệ đơn giản hơn 
Bước3 : Ta chuyển bài toán tìm m để hệ đơn giản trên có nghiệm về bài toán tìm m để phương trình hoặc bất phương trình có nghiệm
Bài4 : (ĐHSPI Khối A-2001)
Tìm m để hệ bất phương trình:
 có nghiệm (x;y) thõa mãn 
Giải : Đặt suy ra điều kiện : 
Ta có : 
Hệ đã cho có nghiệm khi bất phương trình : (2) có nghiệm t thõa mãn 
Xét hàm số : 
Đạo hàm :
(1)
Do : nên (1) (pt này không có nghiệm trên đoạn ta đang xét)
 , . Suy ra
, 
Bất phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi : 
Do đó hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi : 
Môt số bài tập : 
Bài1 : Tìm m để bất phương trình : mx4-4x+m0 có nghiệm với mọi x thuộc R
Bài2 : Tìm a để bất phương trình : có ít nhất một nghiệm x>1
Bài3 : Tìm m để hệ bất phương trình 
 có nghiệm
Bài4 : Tìm a để bất phương trình : 3cos4x-5cos3x-36sin2x-15cosx+36+24a-12a2>0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc R
Bài5 :Tìm m để bất phương trình: có nghiệm
Bài 5: Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng "x(0; 1).
Bài 6: Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng "xR.
Bài 7: Tìm m để bất phương trình: có nghiệm x (-1; 2).
Bài 8: Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng "xR.
Bài 9: Tìm m để bất phương trình: có nghiệm.
Bài 10: Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng "x(1; 2).
Bài11: Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm
Bài12: TÌm a để hệ sau có nghiệm 
C.Kết luận : 
Ưu điểm : Sáng kiến trên đã giải quyết được phần nào những lớp bài toán : Tìm m để phương trình , hệ phương trình , bất phương trình ,hệ bất phương trình có có nghiệm hoặc có n nghiệm ,trong đó tham số m phải cùng bậc ,chỉ ra được điểm khác nhau giữa tìm m để phương trình có nghiệm va có n nghiệm ; chỉ ra được cách đưa bài toán : Tìm m để hệ phương trình , hệ bất phương trình có nghiệm về bài toán tìm m để phương trình , bất phương trình có nghiệm
Ngoài ra sáng kiến trên còn chỉ ra một số sai lầm học sinh thường hay gặp phải khi giải các bài toán dạng này đó là : Đặt sai điều kiện cho ẩn phụ 
Nhược điểm : +)Sáng kiến trên chỉ giải quyết được lớp bài toán có chứa tham sồ m mà tham số m phải cùng bậc nếu tham số m không cùng bậc thì việc giải sẽ gặp rất nhiều khó khăn hoặc không giải được
+)Trong nhiều trường hợp ta có thể quy về được bài toán đã cho về bài toán tìm m để phương trình hoặc bất phương trình (hoặc ) có nghiệm .Tuy nhiên nếu hàm số quá phức tạp dẫn đến việc miền giá trị của hàm số y=f(x) gặp khó khăn khi này ta nên sử dụng phương pháp khác
Đề xuất ý kiến:
+)Sáng kiến kinh nghiệm trên là một số kinh nghiêm khi dạy phần phương trình , bất phương trình , hệ phương trình , hệ bất phương trình có chứa tham số chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót rất mong các đồng nghiệp đóng góp ý kiến để sáng kiến trên được hoàn thiện hơn
+)Do thời gian có hạn nên tôi chưa sưu tập được nhiều các dạng bài tập liên quan .Do đó rất mong các đồng nghiệp đóng góp các bài tập liên quan để phần bài tập được hoàn thiện hơn 
 Gv thực hiện : Bùi Đình Hạnh
 Đồng lộc, Ngày 2/5/2011